Кафедра математики и информационных технологий
выпускная квалификационная работа
по специальности 050201.65 «Математика»
МЕТОД КООРДИНАТ И ЕГО ИЗУЧЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
Содержание
Введение
1. Теоретические основы темы: Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии
1.1 Основные положения изучения метода координат в школе
1.2 Суть метода координат
1.3 Метод координат на плоскости
1.4 Метод координат в пространстве
1.5 Уравнения геометрических мест точек
1.6 Применение и значение метода координат
2. Методические основы темы: Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии
2.1 Анализ школьных учебников
2.2 Этапы решения задач методом координат
2.3 Задачи, обучающие координатному методу
2.4 Опытное преподавание
3. Использование ЭВМ при изучении темы: Метод координат и его изучение в школьном курсе геометрии
3.1 Роль и место компьютера в учебном процессе
3.2 Применение УМК «Живая математика»
3.3 Применение программы «GeoGebra»
Заключение
Библиографический список
Приложение
ВВЕДЕНИЕ
координата метод математический задача
В геометрии применяются различные методы решения задач - это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи.
Можно с уверенностью говорить о том, что изучение данного метода является неотъемлемой частью школьного курса геометрии. Но нельзя забывать, что при решении задач координатным методом необходим навык алгебраических вычислений и не нужна высокая степень сообразительности, а это в свою очередь негативно сказывается на творческих способностях учащихся. Поэтому необходима методика изучения метода координат, позволяющая учащимся научиться решать разнообразные задачи координатным методом, однако не показывающая этот метод как основной для решения геометрических задач. Этим и определяется актуальность выбранной темы: «Изучение метода координат в школьном курсе геометрии основной школы».
Объект исследования данной работы - это процесс изучения учащимися геометрии.
Предметом исследования является изучение метода координат в курсе геометрии основной школы.
Цель работы - разработать методику изучения и использования метода координат в школьном курсе геометрии.
Гипотеза: изучение метода координат в школе будет более эффективно, если:
§ в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков;
§ в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой этого метода;
§ используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода.
§ используется компьютеризация процесса обучения в целом.
Предмет, цель и гипотеза исследования определяют следующие задачи:
1. Анализ вариантов изучения метода координат в некоторых из действующих учебников, а также содержание программы по математике по данной теме.
2. Описание метода координат и способов его применения на примере конкретных математических задач.
3. Выделение умений, необходимых для успешного овладения методом координат и подбор задач, формирующих данные умения.
4. Опытная проверка.
5. Применение ЭВМ при изучении темы.
Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных выше задач были использованы следующие методы:
· анализ программы по математики, учебных пособий, методических материалов, касающихся метода координат;
· наблюдение за ходом образовательного процесса, за деятельностью учащихся при использовании в обучении новых компьютерных технологий.
Основной опытной базой являлась средняя общеобразовательная школа п.Обор.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕМЫ: МЕТОД КООРДИНАТ И ЕГО ИЗУЧЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
1.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ИЗУЧЕНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ В ШКОЛЕ
Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры -- единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат.
Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.
Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:
§ дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;
§ показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;
§ способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.
В школе изучение координатного метода и обучение его применению для решения различных математических задач происходит в несколько этапов. На первом этапе вводится основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается в 5-6 классах и систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел, дополняется до координатной прямой. И уже после введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, а, значит, и плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры VII класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции. В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным свойством (равноудаленности от 2 точек - для прямой, от одной точки - для окружности). Обучение применению самого метода координат для решения задач происходит в курсе геометрии 9 класса. Для этого сначала раскрываются основные этапы применения метода, а затем на примере ряда задач показывается непосредственное применение метода координат.
Но не следует принимать координатный метод за основной метод решения задач и доказательства теорем. Шарыгин И. Ф. в своей статье [19] говорит о вреде метода координат, как для сильных, так и для слабых учеников. Что касается слабых учеников, то «большей частью в этой группе находятся дети, которые плохо считают, с трудом понимают и запоминают формулы. Для этих детей Геометрия могла бы стать предметом, за счет которого они могли бы компенсировать недостатки общематематического развития. А вместо этого она ложится на них дополнительным грузом… Координатный метод оставляет в стороне геометрическую суть изучаемой геометрической ситуации. Воспитывается исполнитель, решающий заданную конкретную задачу. Не меньше, но и не больше. Не развивается геометрическая, и даже математическая интуиция, столь необходимая математику-исследователю», что в свою очередь составляет опасность для сильных учеников.
1.2 СУТЬ МЕТОДА КООРДИНАТ
Немного из истории координатного метода.
В настоящее время уже очень большое число специалистов из разных областей науки имеют представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой. Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-II веке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс.
Аполлоний задавал их уравнениями: у2 =рх (парабола)
(гипербола)
(эллипс, где р и q положительны)
Он, конечно, не выписывал уравнения в этой геометрической форме, так как в те времена не существовало еще алгебраической символики, а описывал уравнения, пользуясь геометрическими понятиями; у2 в его терминологии есть площадь квадрата со стороной у; рх - площадь прямоугольника со сторонами р и х и т.д. С этими уравнениями связаны названия кривых. Парабола по-гречески обозначает равенство: квадрат имеет площадь у2 равную площади рх прямоугольника. Гипербола по-гречески обозначает избыток: площадь квадрата у2 превосходит площадь рх прямоугольника. Эллипс по-гречески обозначает недостаток: площадь квадрата меньше площади прямоугольника.
Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.
Значение аналитической геометрии состоит, прежде всего, в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй. Эти две ветви математики ко времени Декарта достигли уже высокой степени совершенства. Но развитие их в течение тысячелетий шло независимо друг от друга, и ко времени появления аналитической геометрии между ними намечалась лишь довольно слабая связь.
Координаты позволяют определять с помощью чисел положение любой точки пространства или плоскости. Это дает возможность «шифровать» различного рода фигуры, записывая их при помощи чисел. Соотношения между координатами чаще всего определяет не одну точку, а некоторое множество (совокупность) точек. Например, если отметить все точки, у которых абсцисса равна ординате, т. е. точки, координаты которых удовлетворяют уравнению х=у, то получится прямая линия - биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Иногда, вместо «множество точек», говорят «геометрическое место точек». Например, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют соотношению х=у - это, как было сказано выше, биссектрисы первого и третьего координатного угла. Установление связей между алгеброй, с одной стороны, и геометрией - с другой, было по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку, в которой нет «китайской стены» между отдельными ее частями.
Суть метода координат
Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.
Метод координат - это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.
В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.
1.3 МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
1. Аффинная система координат на плоскости.
Определение. Аффинная система координат (или аффинным репером) на плоскости называется упорядоченная тройка точек этой плоскости не лежащих на одной прямой: R={О, Е1, Е2}.
Рассмотрим тогда векторы: 1= 1 и 2 = 2 (рис. 2). Поскольку точки О, Е1, Е2, не лежат на одной прямой, поэтому векторы 1 и 2 не коллинеарны, следовательно, они образуют базис совокупности V2 всех векторов плоскости. Таким образом, мы приходим к упорядоченной тройке R={О, 1, 2}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов 1 и 2.
Обратно если дана упорядоченная тройка R={О, 1, 2}, состоящая из точки О и двух неколлинеарных векторов 1 и 2, то от неё легко перейти к тройке R={О, Е1, Е2}, отложив векторы 1 и 2 от точки О и взяв соответственно концы этих векторов Е1 и Е2: 1= 1 и 2 = 2. Ясно, что точки О, Е1, Е2, не будут лежать на одной прямой, так как векторы 1 и 2 не коллинеарны.