Таким образом, мы приходим к выводу, что задание на плоскости системы координат как упорядоченной тройки точек R={О, Е1, Е2}, не лежащих на одной прямой, равносильно заданию её как упорядоченной тройки R={О, 1, 2}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов 1 и 2. В результате в геометрическую картину, составленную из точек, вводятся векторы.
Первая точка О в системе координат R называется началом системы координат, а векторы 1 и 2 - её базисными или координатными векторами. Прямая ОЕ1 с направляющим вектором 1 называется координатной осью Ох, или осью абсцисс, а прямая ОЕ2 с направляющим вектором 2 называется координатной осью Оу, или осью ординат.
Пусть на плоскости задана система координат R={О, 1, 2} и произвольная точка М. Вектор = м называется радиус-вектором точки М относительно точки О (или системы координат R).
Определение. Координатами точки М в системе координат R={О, 1, 2} называются координаты её радиус-вектора в базисе 1, 2, то есть коэффициенты х, у в его разложении в линейную комбинацию векторов базиса: М(х, у)R = х1+ у2.
Итак, понятие координат точки тесно связывается с понятием координат вектора, а понятие системы координат для точек - с понятием базиса векторов. «Привязывая» векторный базис к фиксированной точке плоскости (началу координат), мы приходим к системе координат для точек. Если тот же векторный базис «привязать» к другому началу, мы получим другую систему координат для точек.
Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Каждой точке М плоскости поставим в соответствие вектор . Координаты вектора называются координатами точки М в данной аффинной системе координат. При этом если = (х, у), то пишут: М (х, у).
Пусть прямые, проведенные через точку М параллельно осям координат, пересекают оси координат соответственно в точках М1 и М2 (рис. 3).
Тогда имеем = 1 + 2.
С другой стороны, = х1+ у2.
Следовательно, х =1 / , у = 2 / 2.
Точки Е1 и Е2 имеют координаты: Е1 (1; 0), Е2 (0;1).
Если на плоскости даны две точки А (х1, у1) и В (х2, у2), то координаты вектора вычисляются так: = - = (х2 - х1, у2 - у1).
Пусть точка С делит отрезок АВ в данном отношении:
Тогда . Из правил действии над векторами в координатах следует, что координаты точки С определяются формулами:
,
В частности, если С - середина отрезка АВ, то
,
Рассмотрим различные способы задания прямой на плоскости.
Пусть требуется написать уравнение прямой l, заданной в некоторой аффинной системе координат точкой М1 (х1, у1) и ненулевым вектором , параллельным прямой l (рис. 2).
Вектор будет называться направляющим вектором прямой l.
Пусть М (х, у) - произвольная точка прямой l. Тогда, согласно условию, векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство , или = 1 + t,
где t - некоторое число (параметр). Это соотношение в координатах запишется так:
Полученные уравнения называют параметрическими уравнениями прямой. При и эти уравнения равносильны следующему уравнению первой степени:
Если прямая задана двумя различными точками: А (х1, у1) и В (х2, у2), то вектор = (х2 - х1, у2 - у1) является направляющим вектором прямой l. Следовательно, при х1х2 и у1у2 получаем уравнение
,
которое называется уравнением прямой, проходящей через две точки.
В частности, если прямая l проходит через точки А (а, 0) и В (0, b), отличные от начала координат, то уравнение прямой принимает вид
Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.
Исключая из параметрических уравнений прямой параметр t. При получим уравнение: у - у1 = k (х - х1),
где . Число k называют угловым коэффициентом прямой. В частном случае, при х1 = 0 и у1 = b, уравнение принимает вид
Если же , то прямая l параллельна оси Оy, а её уравнение запишется так: х = х1.
Таким образом, всякую прямую на плоскости можно задать уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0, где хотя бы одно из чисел А и В отлично от нуля. Верно и обратное предложение: всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0 есть уравнение некоторой прямой в аффинной системе координат на плоскости.
При уравнение Ах + Ву + С = 0 приводится к виду у = kх + b, где
,
Если же В = 0 и , то оно принимает вид х = а, где .
2. Декартова система координат на плоскости. Прямая и окружность.
Определение. Декартовой (или ортонормированной, или прямоугольной) системой координат на плоскости называется такая аффинная система координат, базисные векторы которой ортонормированны, то есть имеют единичные длины и ортогональны (перпендикулярны). Обозначение R = {O, , }; так что || = || = 1, перпендикулярен .
При решении задач, в которых существенную роль играет понятие расстояния между двумя точками, применяется, декартова или прямоугольная система координат.
Пусть даны две точки: А (х1, у1) и В (х2, у2). Тогда, как известно,
.
Пользуясь формулой, запишем уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом r:
.
Вышеизложенная теория прямой справедлива и для прямоугольной системы координат. В частности, при решении задач пользуются уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку А (х1, у1):
.
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками А (х1, у1) и В (х2, у2), вычисляется по формуле
Угловой коэффициент в прямоугольной системе координат имеет следующий геометрический смысл: , где - величина угла от оси абсцисс до прямой l.
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: у = k1х + b1 и у = k2х + b2.
Если l1 || l2, то , поэтому k1 = k2, и обратно, т.е. условие k1 = k2 выражает признак параллельности прямых l1 и l2.
Введем формулу для вычисления угла между пересекающимися прямыми l1 и l2 (рис. 6).
Так как и , , то
или
Полученную формулу для вычисления угла от прямой l1 до прямой l2 можно записать и так:
Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда k1k2 = - 1, т.е. условие k1k2 = - 1 выражает признак перпендикулярности прямых l1 и l2.
Приступая к решению геометрической задачи, следует рационально выбрать систему координат, присоединить её к данной фигуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные точки располагались на осях координат, тогда среди координат будут нули. Это позволит упростить вычисления.
3. Полярная система координат на плоскости
Уравнения многих кривых удобно задавать не в декартовой системе, а в других системах координат. Координатами называются числа, при помощи которых можно определить положение точки. Например, положение точки на поверхности земного шара определяются ее географическими координатами - шириной и долготой. Одной из важных систем координат на плоскости является полярная система координат.
Полярная система координат задается точкой О и лучом ОА с началом в этой точке. Точка О называется полюсом, ось ОА - полярной осью. Полярными координатами точки М называются ее расстояние r от полюса и угол , который направленный отрезок ОМ образует с полярной осью.
Координата r называется полярным радиусом, а координата - полярным углом точки М. При этом употребляют запись М(r, ). Из определения полярных координат следует, что r0. Координата определяется неоднозначно, так как координатам (r, ) и (r, ), соответствует одна и та же точка. Если наложить на условие 0 или , то координата становится однозначной. При точка совпадает с полюсом, а координата не определена. Кривые могут задаваться уравнениями в полярных координатах так же, как они задаются уравнениями в декартовых координатах [24].
1.4 МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Координаты точек и векторов.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве задается тремя попарно перпендикулярными осями координат с общим началом:
Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Оz - ось аппликат.
Плоскости Оху, Оуz, Ozx называются плоскостями координат. Система координат Охуz называется правой, если для наблюдателя, стоящего на плоскости Оху и расположенного так, что ось Оz направлена от ног к голове, кратчайший поворот, совмещающий положительное направление оси Ох с положительным направлением оси Оу, происходит против часовой стрелки. Если же такой поворот происходит по часовой стрелке, то система называется левой. Названия "правая система" и "левая система" объясняются тем, что оси координат правой системы направлены как большой, указательный, средний палец правой руки, расположенные попарно перпендикулярно друг другу, а оси левой системы - как пальцы левой руки [31].
Радиус-вектором точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называется вектор . Координатами точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат называются проекции ее радиус-вектора на оси координат:
х=Прх , у=Пру , z=Прz ,
т.е. скалярные величины направленных отрезков на осях Ох, Оу, Оz: х=(ОР)х, у=(ОQ)y, z=(OR)z,
где P, Q, R - проекции точки М на оси Ох, Оу, Оz соответственно. При этом пишут
Существует определения координат вектора.
Определение. Координатами вектора относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называются его проекции на оси координат: ах=Прх, ау=Пру, аz=Прz. При этом употребляется запись =( ах,ау, аz).
Координаты вектора равны разностям между координатами его конца и начала: если , то , , выражение координат вектора через координаты его начала и конца. Действительно, . Следовательно,
.
Аналогичным образом можно найти выражения для , .
2. Цилиндрическая система координат в пространстве [31].
Цилиндрические координаты -- трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем (r,и,h). В терминах декартовой системы координат,
· (радиус) -- расстояние от оси z к точке P,
· (азимут или долгота) -- угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость
· h (высота) -- расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.
Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение 2x + 2y = 2c, тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = с
Пример: Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного сферой и параболой .
Воспользуемся формулами
,
, ,
где с - плотность тела в точке (x,y,z), а m - масса тела:. в которых положим с=1. Тело симметрично, центр тяжести лежит на оси Oz, поэтому и необходимо найти аппликату центра тяжести тела, т.е. . Т.к. тело симметричное, то в цилиндрической системе координат определяющие неравенства запишем в виде (рассмотрим первую четверть координатной системы.):
(V1): , , , а интеграл в виде
Следовательно, . Таким образом, центр тяжести данного тела находится в точке .
Замечание. Неравенства, определяющие область V1 получены следующим образом. Уравнение определяется пересечением параболоида и сферы . Откуда, , z=1 и в цилиндрической системе координат . Следовательно, ; функции , ; а .
Необходимо отметить, что при решении данной задачи не было необходимости выполнять чертеж. Достаточно записать неравенства, определяющие область V.
3. Сферическая система координат
Сферическая система координат определяется так [24]:
Для любой точки А, с прямоугольными координатами (x ; у, z) не совпадающий с началом координат, проводится радиус- вектор ОА, затем проецируется на плоскость xOy, тогда ОА1 =пр(хоу)ОА = угол отсчитывается от оси Ох, а угол в плоскости ZOA от оси Оz. Тогда три параметра (,, ) образуют сферическую систему координат.