Умножая на обе части уравнения 4x - 3y + 12 = 0, приведем его к нормальному виду
Запомнить: В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах должна быть равна единице, а свободный член должен быть отрицательным. Эти два требования в полученном нами последнем уравнении, как легко проверить, выполнены. В пункте 2 решения мы получили уравнение прямой в отрезках на осях: a = -3, b = 4. Зная эти отрезки, мы легко построим нашу прямую (см. рисунок).
Задача 13. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 3x - 6y + 5 = 0, а также координаты основания этого перпендикуляра.
Решение.
Приведем данное уравнение к нормальному виду:
После умножения на нормирующий множитель уравнение примет вид
Из сравнения с заключаем, что .
Для определения координат основания этого перпендикуляра из рисунка получим формулы
(эти формулы верны при любом расположении прямой относительно координатных осей).
как видно из уравнения
и искомые координаты основания перпендикуляра равны
Задача14.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.
Решение.
Возьмем прямоугольную систему координат, и пусть две данные точки B и C лежат на оси абсцисс и имеют координаты (x1, 0) и (x2, 0) (см. рисунок). Пусть точка A принадлежит искомому геометрическому месту. Обозначим ее координаты через x и y: A(x, y).
На основании формулы для определения расстояния между двумя точками , значит, так как по условию AB = AC, можем написать, что . Это и есть уравнение искомого геометрического места.
Возводя в квадрат обе части искомого равенства, будем иметь
(x - x1)2 + y2 = (x - x2)2 + y2.
После очевидных упрощений получим 2x(x2 - x1) = (x2 - x1)(x2 + x1); сокращая на , имеем 2x = x1 + x2, или .
Это уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox и проходящей через середину отрезка BC.
Итак, искомым геометрическим местом является прямая, перпендикулярная к отрезку BC, соединяющему данные точки, и проходящая через его середину.
Замечание. При решении задачи нам пришлось уничтожить радикалы в уравнении искомого геометрического места
(1)
в результате чего было получено уравнение
(2)
Из алгебры известно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к уравнению, которое не равносильно (не эквивалентно) исходному. Это значит, что уравнение, полученное от возведения в квадрат обеих частей исходного уравнения, может иметь решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, т. е. иметь так называемые "посторонние" корни. Поэтому всегда в тех случаях, когда обе части уравнения приходится возводить в квадрат, следует ставить вопрос об эквивалентности полученного и исходного уравнений.
В интересующем нас случае вопрос ставится так: не содержит ли линия (2) точек, которых нет на линии (1), т. е. таких, координаты которых не удовлетворяют уравнению (1) и таким образом не удовлетворяют исходному условию AB = AC.
Чтобы убедиться в том, что линия (2) не содержит точек, которых нет в линии (1), надо показать, что уравнение (2) может быть преобразовано в уравнение (1).
Произведя в обратном порядке операции, с помощью которых было получено уравнение (2), мы придем к уравнению (x - x1)2 + y2 = (x - x2)2 + y2, откуда следует, что
(3)
т. е. что ; отсюда видно, что или AB - AC = 0, или AB + AC = 0.
Но AB > 0 и AC > 0, а следовательно, , так как сумма двух положительных величин не может быть равна нулю, а потому остается только одно равенство AB - AC = 0, т. е. AB = AC, и знак минус перед правой частью уравнения (3) должен быть отброшен. Поскольку из уравнения (1) получается уравнение (2) и обратно - из уравнения (2) следует уравнение (1), то эти уравнения равносильны (эквивалентны). Таким образом, поставленный вопрос решен: линия (2) не содержит таких точек, которых нет на линии (1).
Задача 15. Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек A и B есть величина постоянная, равная a2. Длину AB считать равной 2a.
Решение.
Проведем вывод уравнения в прямоугольных координатах. Направим ось Ox по прямой, соединяющей A и B, как обычно, вправо, начало координат поместим в середине отрезка AB, ось Oy направим вверх по перпендикуляру к оси Ox. Длина отрезка AB по условию равна 2a (AB = 2a); тогда точки A и B будут иметь координаты: A(-a, 0); B(a, 0). Пусть точка M принадлежит кривой. Ее координаты обозначим через x и y (см. рисунок).
Из условия задачи AM * BM = a2. По формуле расстояния между двумя точками
Значит,
Возведем обе части этого уравнения в квадрат:
[(x + a)2 + y2][(x - a)2 + y2] = a4,
Или [(x2 + y2 + a2) + 2ax][(x2 + y2 + a2) - 2ax] = a4;
(x2 + y2 + a2)2 - 4a2x2 = a4.
Упрощая, получаем (x2 + y2)2 = 2a2(x2 - y2).
Это и есть искомое уравнение.
Задача 16. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и :
Как мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми и есть расстояние от точки до плоскости :
Решение:
Рассстояние от точки до плоскости вычисляется по такой формуле:
Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае призмы это не столь очевидно.
Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки и точек , и , задающих плоскость вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:
Запишем координаты нужных нам точек:
Чтобы найти коэффициенты , , и в уравнении плоскости , примем коэффициент , и подставим координаты точек , и в уравнение плоскости. Получим систему уравнений:
Отсюда:
,
,
Подставим значения коэффициентов и координаты точки в формулу для расстояния. Получим:
Ответ:
Задача 17. В единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости .
Решение:
Рассстояние от точки до плоскости вычисляется по такой формуле:
Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим куб в систему координат:
В задаче роль точки играет точка . То есть , ,
Теперь задача найти коэффициенты , , и в уравнении плоскости .
Плоскость определяется тремя точками , и . Если координаты точек подставим в уравнение плоскости , то получим верное равенство.
Коэффициент в уравнении плоскости можно принять равным 1.
Чтобы найти коэффициенты , и , подставим координаты точек , и в уравнение плоскости . Получим систему уравнений:
Отсюда: , ,
Подставим координаты точки и значения коэффициентов в формулу для расстояния:
Ответ: