Ход решения задачи:
1. строим произвольную трапецию;
2. через команду «Площадь» меню «Измерения» вычисляем площадь трапеции;
3. через встроенный калькулятор меню «Измерения» вычисляем величину, равную полупроизведению диагоналей;
4. двигаем вершины трапеции, добиваясь равенства величин, вычисленных в пунктах 2 и 3;
5. анализируем особенности трапеции, для которой равенство выполняется, выдвигаем предположение: угол между диагоналями прямой;
6. проверяем предположение: с помощью меню «Измерения» вычисляем угол между диагоналями.
При необходимости корректируем чертёж, двигая вершины трапеции, и формулируем ответ на вопрос задачи (рис. 24).
Рисунок 24 Иллюстрация решения задачи
При изучении темы «Координатная плоскость» в 6 классе, я тоже прибегла к помощи данного УМК. В компьютерной программе есть возможность задать систему координат, построить точки по заданным координатам, и выполнить обратную задачу: найти координаты построенных точек. Очень понравилась ребятам работа по созданию рисунков животных, космических моделей в компьютерной программе. Перед ними ставилась задача придумать свой индивидуальный рисунок на бумаге, затем записать координаты полученных точек для построения фигуры и наконец, воссоздать красочный рисунок на компьютере в системе координат при рассмотрении данной квадратичной функции.
При изучении темы «Построение сечений многогранников». В программе много готовых анимационных задач по данной теме: это и построение сечений параллелепипеда, призмы, пирамиды и др. Есть возможность рассмотреть построенное сечение с разных углов обзора, прийти к выводу, о многоугольнике получившимся в результате сечения в зависимости от заданных точек
3. Применять программу в других разделах математики
Легко убедиться, что «Живая Математика» -- незаменимый инструмент для изучения не только геометрии, но и вообще всех математических курсов, например, алгебры (тема «Функции и графики»), так же во внеурочное время.
Удивительные геометрические объекты -- фракталы, которые моделируют сложные и красивые явления природы и поэтому являются элементом многих графических компьютерных программ. Фрактал -- это самоподобный геометрический объект, который выглядит одинаковым образом при любом увеличении изображения (рис. 25). Построение фрактала включает в себя изготовление простой конструкции, которая формирует все меньшие и меньшие детали фигуры. Команда «Итерации» позволяет построить конструкции такого рода, впрочем, как и другие фигуры с повторяющимся алгоритмом построения элементов. Построение фракталов позволяет иллюстрировать не только интереснейшее геометрическое явление, но и привлечь учащихся к исследовательской работе, заинтересовать их в изучении геометрии на более высоком уровне, что способствует активизации познавательной деятельности учащихся.
Рисунок 25 Фрактал. Снежинка Коха
Возможности программы поистине уникальны. Чтобы построить грамотный чертёж, нужно знать, как минимум, определения и свойства рассматриваемых фигур.
3.3 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММЫ «GEOGEBRA»
GeoGebra - это бесплатная, кроссплатформенная динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику в одном удобном для использования пакете. Она завоевала несколько образовательных наград в Европе и США [33].
Краткие характеристики:
- графика, алгебра и таблицы связаны между собой и полностью динамичны;
- легкий в использовании интерфейс, обладает мощными возможностями;
- вы можете сами создать интерактивный обучающий материал, такие как веб-страницы;
- доступна на многих языках для миллионов пользователей по всему миру;
- бесплатная программа с открытым кодом.
Решение задач с использованием GeoGebra очень удобно, приведу пример:
Пример (ЕГЭ-2012, С4)
Дан параллелограмм ABCD, AB=2, BC=3, ? A= 60?. Окружность с центром О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника ABOD.
На Рисунке 26 приведено решение задачи в программе GeoGebra. Окружностей две, каждая из них вписана в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 3 и 2 - соответственно. Поэтому радиусы окружностей равны третьей части высоты правильного треугольника.
Для треугольника со стороной 3 радиус равен . Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как
сумму площадей треугольников АОВ и AOD:
Для треугольника со стороной 2 радиус равен
Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади
параллелограмма площадь треугольников BOC и DOC:
Рис. 26 Решение задачи в GeoGebra (2 случая)
Сравним полученные ответы с результатами GeoGebra:
Результаты, полученные в GeoGebra, совпадают с решением задачи.
Программу GeoGebra [33] можно применять на уроках геометрии для построения чертежей (задача 1) и на уроках алгебры для построения графиков функций, графического решения уравнений и неравенств, а также их систем (задача 2).
Задача № 1
Основание АВ равнобедренного треугольника равно 20. Окружность радиуса 15 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АВ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение.
Пусть точка О - центр окружности, расположенной
вне АВС. Радиус окружности, вписанной
в треугольник лежит на пересечении его биссектрис. Пусть точка М - центр окружности, вписанной в
АВС, тогда МТ - радиус вписанной окружности.
Рассмотрим ОАМ. Угол ОАМ прямой, как угол между биссектрисами смежных углов; АТ - высота, опущенная из вершины прямого угла. Следовательно АТ2 = МТ· ТО.
АТ= АВ = 10; ТО=15; 102 = МТ· 15, отсюда МТ= = = 6 .
Ответ: 6 .
Задача №2
Для каждого значения a найдите число корней уравнения Iх -2I - 1= а - 3х.
Решение.
1 способ.
Решим графически:
Из графика видно, что при любом а уравнение имеет один корень.
Ответ: (-?; + ?).
2 способ.
Iх -2I - 1= а - 3х;
Iх -2I = а - 3х +1;
1) х?2, х?2, х=(а+3):4 ?2, значит а+3 ? 8. Х - 2= а+1 - 3х; х=(а+3):4;
2) х<2, х<2, х = (а - 1):2<2, значит а<5 - х+2 = а+3 - 3х; х = (а - 1):2;
При всех значениях а решение единственное.
Ответ: (-?; + ?).
Аналогично прогамме «Живая математика» [29] в GeoGebra [30] есть возможность задать систему координат, построить точки по заданным координатам, и выполнить обратную задачу: найти координаты построенных точек. Можно создавать рисунки животных, космических моделей в компьютерной программе.
«Построение сечений многогранников» так же возможно в данной программе. В программе много различный функций, которые помогают достаточно легко построить многогранник и его сечение. Например: построение сечений параллелепипеда, призмы, пирамиды, куба (рис 27/1 и 27/2) и др. Есть возможность рассмотреть построенное сечение с разных углов обзора, прийти к выводу, о многоугольнике получившимся в результате сечения в зависимости от заданных точек
Рис. 27/1 Построение сечения куба
Рис. 27/2 Построение сечения куба
GeoGebra -- это программа, которая даёт возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки [33].
Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т.--д.) за счёт команд встроенного языка, который позволяет управлять и геометрическими построениями.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает им при дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.
В данной выпускной квалификационной работе:
1. проанализировано несколько действующих школьных учебников относительно темы «Метод координат»;
2. описан сам метод координат, виды и этапы решения задач методом координат;
3. выделены основные умения, необходимые для овладения данным методом и приведен ряд задач, формирующих их;
4. рассмотрены некоторые математические программы, которые возможно применять при обучении теме: «Метод координат» и вообще математике, которые очень сильно облегчат работу учителя и кардинально изменят отношение учащихся к математике.
5. показана целесообразность и возможности компьютерного обучения, рассмотрены проблемы взаимодействия человека и компьютера в сфере образования.
6. рассмотрены предпосылки для подачи учебного материала с применением ЭВМ.
Также было проведено опытное преподавание, которое подтвердило гипотезу о том, что изучение метода координат в школьном курсе геометрии необходимо. Оно будет более эффективно, если в 5-6 классе проведена пропедевтическая работа по формированию основных умений и навыков, в системном курсе планиметрии учащиеся знакомятся со структурой данного метода, и используется продуманная система задач для формирования отдельных компонентов метода. В данной работе, в полное мере, удалось показать все положительные и отрицательные стороны при обучении математике с помощью компьютера.
Библиографический список
1. Автономова, Т. В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя [Текст]/ Б. И. Аргунов. М. Просвещение, 1988г. 127 с.
2. Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. М. Просвещение, 1992г. 335 с.
3. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. [Текст]/ А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд. М. Просвещение, 1989г. 304 с.
4. Виленкин, Н. Я. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И Шварцбурд. М. Мнемозина, 2001г. 304 с.
5. Гельфанд, И. М. Метод координат [Текст]. М. Наука, 1973г. 87 с.
6. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова. М. Просвещение, 2000г. 368 с.
7. Дорофеев, Г. В. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова. М. Дрофа, 1998г. 416 с.
8. Живая Математика: Сборник методических материалов. М.: Институт новых технологий. 176 с.
9. Изучение координат в III - IV кл. / Л. Г. Петерсон // Математика в школе. 1983г. №4.
10. Индивидуальные карточки по геометрии для 7-9 кл. / Т. М. Мищенко // Математика в школе. 2001г. № 8.
11. Итоги работы в 7 кл. по учебнику Шарыгина И. Ф. 7-9 / О.В. Бощенко // Математика в школе. 2002г. №5.
12. К изучению перемещений на координатной плоскости / Г.Б. Лудина // Математика в школе. 1983г. №2.
13. К началу обучения геометрии 1-7 кл. // Математика в школе 1983г. №6.
14. Лускина М. Г. Факультативные занятия по математике в школе: Методические рекомендации [Текст]/ В. И. Зубарева. Киров ВГПУ, 1995г.
15. Лященко, Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов [Текст] / К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко. М. Просвещение, 1988г. 233 с.
16. Метод координат / А. Савин // Квант. 1977г. №9.
17. Мишин, В. И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев. М. Просвещение 1987г. 416 с.
18. Никольская, И. Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. ср. шк. [Текст]. М. Просвещение, 1991г. 383 с.
19. Новые компьютерные технологии. Координатная плоскость // Математика - Приложение к газ. «Первое сентября». 2004г. №29.
20. Нужна ли школе XXI века геометрия /И. Шарыгин // Математика - Приложение к газ. «1 сентября». 2004г. №12.
21. О конкретном учебнике геометрии для 7-9 кл. / Л.С. Атанасян // Математика в школе. 1989г. №1.
22. Обсуждение одного учебника / И.Е Феоктистов // Математика в школе -2001г. №5.
23. Погорелов, А. В. Геометрия для 7-11 классов средней школы. М: Просвещение, 1990г. 384 с.
24. Понтрягин, Л. С. Знакомство с высшей математикой. Метод координат [Текст]. М. Наука, 1987г. 128 с.
25. Понтрягин Л.С., Метод координат. М., Наука, 1977.
26. Постников М.М., Аналитическая геометрия, М., Техника, 2004.
27. Программа по математике для средней школы. М. Просвещение, 1998г. 205 с.
28. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике [Текст]. М. Просвещение, 1995г. 240 с.
29. Сикорский, К. П. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов [Текст]. М. Просвещение, 1974г. 315 с.
30. Упражнения по теме «Координатная плоскость» / О.А. Леонова // Математика в школе. 2001г. №10.
31. Шарыгин, И. Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб для общеоразоват. учеб. заведений [Текст]. М. Дрофа, 2000г. 368 с.
32. Энциклопедия элементарной математики. Геометрия, том 4.
33. www.geogebra.org -официальный сайт GeoGebra.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ВИДЫ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ МЕТОДОМ КООРДИНАТ
Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов.