Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах. Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность.
В инженерной деятельности при изучении свойств геометрических объектов используют прямоугольную систему координат, отличающуюся от декартовой системы координат, применяемой в математике, направлением осей.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕМЫ: МЕТОД КООРДИНАТ И ЕГО ИЗУЧЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
2.1 АНАЛИЗ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ
Хорошо известно, что, как бы ни строился школьный курс геометрии, в нем обязательно присутствуют различные методы доказательства теорем и решения задач. Среди таких методов важное место занимают такие методы, как метод геометрических преобразований, метод координат, векторный метод. Сами эти методы тесно связаны между собой. В зависимости от концепции, раскрываемой авторами учебников геометрии для средней школы, тот или иной метод может занимать доминирующее значение. Так в учебнике [23] активную роль играет метод координат, который весьма плодотворен.
В школьной программе по математике методу координат уделяется сравнительно мало внимания. В разделе «Цели изучения курса геометрии» говорится: «При доказательстве теорем и решении задач… применяются геометрические преобразования, векторы и координаты». Следовательно, программа не ставит целью изучение метода координат как метода решения задач. В программе говорится, что «в результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь использовать координаты для решения несложных стандартных задач». Ни слова не говориться об овладении учащимися методом координат для доказательства теорем и решении задач. Упор делается на «несложные стандартные задачи», тогда как метод координат лучше проявляет свои достоинства при решении нестандартных и довольно сложных (если не решать их другими способами) задач.
В соответствии с программой по математике для средней общеобразовательной школы координаты впервые появляются в 5 классе. При этом, ребята знакомятся с изображением чисел на прямой и координатами точек. Причем введение этих понятий в учебниках различно. Так в учебнике [3] в пятом параграфе первой главы рассматривается координатный луч, с его помощью в дальнейшем происходит сравнение натуральных и дробных чисел, а так же иллюстрация действий сложения и вычитания над натуральными числами. С понятием координатной прямой авторы учебника [4] знакомят учащихся в 6 классе. В учебнике же [6] нет определения «координатный луч». Авторы в начале 5 класса вводят понятие координатной прямой, хотя, до изучения отрицательных чисел, которое происходит в 6 классе, работа идет только с правой частью координатной прямой, представляющей собой координатный луч. Это не совсем удобно, так как могут возникнуть не нужные пока вопросы о другой части этой координатной прямой. В целом, учебники [3], [4] содержат больше заданий, связанных с определением координатного луча, (координатной прямой, а затем и координатной плоскости) и чаще обращаются к нему для введения других понятий или рассмотрения действий над числами, чем учебники [6], [7].
Согласно программе в геометрии координаты изучаются в следующем объеме: «Координатная плоскость. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнение прямой и окружности».[27]
Так, в учебнике [2] координатам посвящена отдельная глава в 9 классе. Причем этот материал изучается после изучения темы «Векторы», но до изучения скалярного произведения векторов. На рассмотрение темы отводиться 18 часов. В данном учебнике метод координат выделен в отдельную главу, в которой изучаются координаты вектора, уравнение окружности и прямой, решаются простейшие задачи в координатах. В этой главе дается понятие метода координат как метода изучения геометрических фигур с помощью средств алгебры. Школьники учатся решать задачи путем введения системы координат. Автор ставит целью научить школьников владеть методом координат не только в применении к задачам на построение фигур по их уравнению, но и при решении задач на доказательство, а также для вывода геометрических формул.
В отличие от других школьных учебников по геометрии в учебнике [23] координаты заняли одно из центральных мест. Они вводятся, начиная с 8 класса после изучения тем «Четырехугольники» и «Теоремы Пифагора». На изучение темы отводится 19 часов. Сразу, после рассмотрения основных понятий, связанных с введением координат на плоскости, уравнений окружности и прямой, с учащимися изучаются такие вопросы, как пересечение двух окружностей, пересечение прямой и окружности, определение синуса, косинуса и тангенса любого угла от 0° до 180°. Это и есть первые приложения метода координат, с которыми знакомятся учащиеся.
В курсе алгебры, исходя из уравнения y=f(x), где f(x) заданная функция, строили кривую, определяемую этим уравнением, т. е. строили график функции y=f(x). Таким образом, шли как бы «от алгебры к геометрии». При изучении метода координат в геометрии мы выбираем обратный путь: исходя из геометрических свойств некоторых кривых, выводим их уравнение, т. е. идем как бы «от геометрии к алгебре». В 8 классе по учебнику [23] и в 9 по учебнику [2] рассматривается уравнение прямой и окружности. При этом обращается внимание на общее понятие «уравнение фигуры»: «Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие данному уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры»[23]. Уравнение фигуры на плоскости в общем виде можно записывать так: F(х,у)=0, где F(х,у) функция двух переменных х и у.
Учебник [28] реализует авторскую концепцию построения школьного курса геометрии, в нем больше внимания по сравнению с традиционными учебниками уделяется методам решения геометрических задач. Метод координат по данному учебнику является предпоследней темой 9 класса. При его изучении учащиеся знакомятся с декартовыми координатами на плоскости, рассматривают два уравнения «плоских линий: прямой и окружности», которые в дальнейшем будут необходимы при решении задач. В процессе этого отрабатываются некоторые умения, необходимые для решения задач координатным методом. Следует отметить, что в учебнике сравнительно небольшой теоретический материал по данной теме. Так, например, единственной доказанной формулой (причем только для одного случая когда х1?х2 и у1?у2), если не считать уравнений линий, является формула расстояния между точками. В отличие от учебников [23] и [2] формула середины отрезка в теоретическом материале не рассматривается, хотя в практических заданиях присутствует задача «Рассмотрим на координатной прямой точки А(-2,5) и В(4,3). Найти координаты точки М, если М - середина АВ», таким образом учащимся предлагается самим вывести формулу координат середины отрезка, рассматривая данный конкретный случай и используя понятия координат и формулу расстояния между точками.
Автор не предлагает учащимся как такового понятия фигуры, но подробно рассматривает уравнения «плоских линий», которые понадобятся учащимся при решении задач. Это уравнения окружности и прямой.
А после изучения векторов рассматривается параграф «Координатный метод», в котором на примере двух разобранных задач, в одной из которых рассматривается окружность Аполлония, а в другой обращается внимание на выбор системы координат, учащимся предлагается ряд задач, решаемых данным методом. Это довольно сложные задачи, в основном связанные с нахождением геометрического места точек.
Автор данного учебника признает, что «координатный метод является одним их самых универсальных методов», но отмечает, что «метода на все случаи жизни нет».
2.2 ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КООРДИНАТ
Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом координат необходимо выполнение 3 этапов:
1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;
2) преобразование аналитического выражения;
3) обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.
Для примера рассмотрим алгебраическую и геометрическую задачи и проиллюстрируем выполнение данных 3 этапов при их решении координатным методом.
№1. Сколько решений имеет система уравнений.
Решение:
1 этап: на геометрическом языке в данной задаче требуется найти, сколько точек пересечения имеют фигуры, заданные данными уравнениями. Первое из них является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, а второе -- уравнением параболы.
2 этап: построение окружности и параболы; нахождение точек их пересечения.
3 этап: количество точек пересечения окружности и параболы является ответом на поставленный вопрос.
№2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.
Решение:
Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А Предположим далее, что АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0) и В(а,0). Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда АМ=МВ, или, что то же самое, АМ2=МВ2. Используя формулу расстояния от одной точки координатной плоскости до другой, получаем АМ2=x2+y2, MB2=(x-a)2+y2. Тогда х2+у2=(х-а)2 + у2
Равенство х2+у2=(х-а)2+у2 и является алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый этап ее решения (перевод задачи на координатный язык).
На втором этапе осуществляется преобразование полученного выражения, в результате которого получаем соотношение .
На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние , т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
2.3 ЗАДАЧИ, ОБУЧАЮЩИЕ КООРДИНАТНОМУ МЕТОДУ
Для разработки методики формирования умения применять координатный метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.
Задача №1. В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD - медиана. Докажите, что
.
Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох - прямая АС (рис. 7).
(умение оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек).
В выбранной системе координат точки А, С и D имеют следующие координаты: А(0,0), D(,0) и С(b,0)
(умение вычислять координаты заданных точек). Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда используя формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:
х2+у2=с2, (x-b)2+y2=a2 (1)
(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)
По той же формуле
. (2)
Используя формулы (1) находим х и у.
Они равны:
; .
Далее, подставляя х и у в формулу (2), находим
.
.
(умение выполнять преобразования алгебраических выражений)
Задача №2. Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.
Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А.
(умение оптимально выбирать систему координат).
Предположим АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0), В(а,0). (умение находить координаты заданных точек)
Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда только тогда, когда AM2-MB2=b2 где b - постоянная величина (умение переводить геометрический язык на аналитический, составлять уравнения фигур).
Используя формулу расстояний между двумя точками, получаем:
, ,
(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами), или . Данное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние . (умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)
Нетрудно видеть, что и для решения этой задачи необходимо овладение перечисленными выше умениями. Кроме того, для решения приведенной задачи, а также и других задач важно умение «видеть за уравнением» конкретный геометрический образ, которое является обратным к умению составлять уравнения конкретных фигур.
Выделенные умения являются основой при решении и более сложных задач.
Задача №3. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна , а основания равны а и b.