Величину называют сферическим радиусом, - широтой, - долготой. Для 0 широта и долгота неопределенна.
При =90 сферическая система координат вырождается в полярную.
Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с началом O и осью Ox прямоугольной системы координат, то при условии, что для измерения , x, y, z использованы равные единицы масштаба, декартовы и сферические координаты связаны соотношениями.
.
Стереографической проекцией называется проекция сферы из одного полюса (скажем южного) на касательную плоскость к другому полюсу (северному). Стереографическая проекция является взаимно однозначным отображением сферы с выколотой точкой на плоскость. С ее помощью можно получать плоское изображение сферы (например, земной поверхности или « небесной сферы»), и поэтому ею с давних времен пользуются астрономы и картографы.
Изобретение стереографической проекции обычно приписывают греческому астроному Гиппарху, жившему 160-125 гг. до н. э.; впоследствии, ее использовали навигаторы, кристаллографы, геологи и всесторонне изучали математики. Стереографическая проекция лежит в основе работы астролябии.
Первое свойство сферической проекции - оно сохраняет углы между линиями. Рассмотрим, например, пересечение линий Г1 и Г2 на сфере. Угол ( Г1, Г2) измеряется углом между большими окружностями сферы, касающимися кривых Г1, Г2 в точке их пересечения или углом между касательными к этим окружностям прямыми. Пусть Г1 и Г2 перешли при проекции в 1 2. Нужно доказать равенство. (Г1 ;Г2) = ( 1 ; 2).
Не нарушая общности, можно предположить, что Г1 проходит через полюсы сферы. Тогда нужно доказать равенство углов UPW и UP'W.
Для этого рассмотрим плоскость = (МSV), параллельную и проходящую через полюс S, и плоскость (MPV), касающуюся сферы в точке Р. Эти плоскости пересекаются по прямой МV и значит, они симметричны относительно плоскости МОV. Отсюда следует равенство углов UPW и TSR. Но из параллельности плоскостей и сразу следует UP'W =TSR, откуда UPW=UP'W.
Второе свойство стереографической проекции: окружности на сфере переходят в прямые или окружности на плоскости .
Сразу видно, что окружность на сфере, проходящая через полюс S, отображается на прямую. Покажем, что все другие окружности на сфере стереографическая проекция переводит в окружности на . Для этого вспомним, что плоская кривая, составляющая прямые углы со всевозможными лучами, исходящими из одной точки, является окружностью.
Пусть окружность l проектируется на кривую l', Pl и P' - образ Р. Пусть Q - точка пересечения перпендикуляра к плоскости окружности l, проходящего через ее центр I, и касательной QP к сфере в точке P. Пусть Q' - точка пересечения SQ с . Ясно, что QP l; значит, по первому свойству, QP l' и в силу замечания из предыдущего абзаца это значит, что l' - окружность.
Третье свойство стереографической проекции: при вращении сферы относительно оси, проходящей через точки S и N, стереографическая проекция произвольной точки P на сфере будет вращаться около (SN). Другими словами, параллели сферы проектируются в концентрические окружности плоскости , и проекция вращающейся по параллели точки станет вращаться по такой окружности.
Четвертое свойство стереографической проекции; если Р' - проекция точки Р, то |SP| |SP'| = d2, где d/2 - радиус сферы. Доказательство легко получить из подобия прямоугольных треугольников SP'N и SPN.
Стереографическая проекция и её свойства лежат в основе конструкции и принципа действия астролябии. Название этого прибора означает «схватывают звезды». Схватывание это состоит в измерении координат интересующего нас светила. Сам прибор - сложная металлическая конструкция; он состоит из «паука», вращающегося по криволинейной координатной сетке - «паутине».
1.5 УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ ТОЧЕК
1. Определение геометрического места точек
Геометрическое место точек - это множество всех точек, удовлетворяющих определённым заданным условиям.
Пример 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:
Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d. Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.
Пример2. Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (одна из этих точек - А).
Тогда отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности AmB, называется дугой. Прямая PQ, проходящая через точки M и N окружности, называется секущей, а её отрезок MN, лежащий внутри окружности - хордой. Хорда, проходящая через центр круга например, BC называется диаметром и обозначается d или D. Диаметр - это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2r). Предположим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А определяется координатами х = 7, у = 3, z = 5. Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то откладывают на оси х от некоторой точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Ах, отрезки АХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем проекции А' и А". Для построения достаточно взять только ось х. Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Например, отрезок ОАХ - выражает абсциссу точки А, отрезок АХА' - ее ординату, отрезок АХА" - аппликату. Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость, параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны заданной величине. Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная соответствующей координатной оси.
Например, имея заданными абсциссу и ординату, получаем прямую, параллельную оси z (это прямая АВ). Она является линией пересечения двух плоскостей _ и _, где _ - геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны между собой ординаты. Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. Точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых _ есть геометрическое место точек по заданной абсциссе, _ - по заданной ординате и _ - по заданной аппликате. Точка может находиться в любом из восьми октантов. Следовательно, нужно знать не только расстояние данной точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают относительными числами.
2. Определение уравнения геометрического места точек
Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.
Входящие в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные - параметрами.
Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:
1) взять произвольную (текущую) точку M(x, y) линии;
2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;
3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки M(x, y) и через данные в задаче.
В прямоугольных координатах уравнение прямой на плоскости задается в одном из следующих видов:
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b, (1)
где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b = 0 уравнение (1) имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.
Уравнением (1) может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси Ox.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом разрешено относительно текущей координаты y.
2. Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0. (2)
Частные случаи общего уравнения прямой:
а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид
Ax + By = 0,
и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.
б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид
Ax + С = 0, или .
Уравнение не содержит переменной y, а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy.
в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид
By + С = 0, или ;
уравнение не содержит переменной x, а определяемая им прямая параллельна оси Ox.
Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.
г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.
Это уравнение оси Ox.
д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.
Это уравнение оси Oy.
3. Уравнение прямой в отрезках на осях
(3)
где a - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox; b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.
Каждый из этих отрезков отложен от начала координат.
Особенности этого уравнения такие: в левой части уравнения между дробями сосит знак плюс, величины a и b могут быть как положительными, так и отрицательными, правая часть уравнения равна единице.
4. Нормальное уравнение прямой
(4)
p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, измеренная в единицах масштаба, а - угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ox. Отсчитывается этот угол от оси Ox против часовой стрелки. Для приведения общего уравнения прямой (2) к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель:
(5)
причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена C в общем уравнении прямой (2).
Особенности нормального уравнения прямой: сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна единице, свободный член отрицателен, а правая его часть равна нулю.
1.6 ПРИМЕНЕНИЕ И ЗНАЧЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ
Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, используя специальные системы координат на воображаемой небесной сфере, определяли положение наиболее ярких звёзд, составляли карты звёздного неба, вели отличавшиеся большой точностью наблюдения за перемещением Солнца, Луны и планет относительно неподвижных звёзд. В более позднюю эпоху широко развилось использование системы географических координат для составления карт земной поверхности и определения местонахождения корабля в открытом море. Однако до XVII века применение метода координат имело односторонний характер: им пользовались, по сути, только для указания положения определённого объекта -- неподвижного (гора, мыс) или движущегося (корабль, планета).
Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов. Благодаря универсальности подхода к решению различных задач, метод аналитической геометрии стал основным методом геометрических исследований и широко применяется в других областях точного естествознания - механике, физике.
Сферическая система координат широко применяется в астрономии, в частности при расчетах траектории движения спутников и других объектов. Пример ее использования астролябия.
Стереографическая проекция является взаимно однозначным отображением сферы с выколотой точкой на плоскость. С ее помощью можно получать плоское изображение сферы (например, земной поверхности или « небесной сферы»), и поэтому ею с давних времен пользуются астрономы и картографы.
Изобретение стереографической проекции обычно приписывают греческому астроному Гиппарху, жившему 160-125 гг. до н. э.; впоследствии, ее использовали навигаторы, кристаллографы, геологи и всесторонне изучали математики. Стереографическая проекция лежит в основе работы астролябии.
Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы -- такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра -- гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.
Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат.
Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны.