тах получили Скоув и Стилвелл, которые обнаружили сильное увеличение удельного сопротивления нитевидных кристаллов и лент в результате химического травления их поверхностей.
Размерные эффекты в сопротивлении галлиевых проволок изучали Фредеркинд и Рейман [181], Вейсберг и Джозефе [142] и Кохрэн и Якуб [182—184]. Галлий обладает орторомбической кристаллической структурой и является сильно анизотропным, с различным удельным сопротивлением вдоль каждой из трех главных осей. Кохрэн и Якуб выращивали монокристаллические проволоки квадратного сечения со стороной от 0,1 до 1 мм и с осями вдоль кристаллографических осей а, b [184] и с [183].
Поскольку галлий был очень чистым, с длиной свободного про бега электронов около 1 см при 0 К, результаты измерения раз мерной зависимости удельного сопротивления при низких тем пературах можно сравнивать с формулой Макдональда и Саргинсона для чисто диффузного рассеяния при малых k [см.
формулу (20)]]). Получаемые при этом значения ро/ для 0К составляли 23; 8,17 и 81,1 • 1042 Ом-см соответственно для тока, направленного вдоль осей а, Ь и с. Все эти значения превышали
значение ро/ = 4,4-10~12 Ом-см2, полученное в предположении, что на атом приходится по 3 свободных электрона; это озна чает, что в проводимость вносит вклад лишь часть поверхности Ферми. Объемное удельное сопротивление для галлия при 273 К вдоль осей а, Ь и с составляет соответственно 16, 7,5 и
50,3 мкОм-см [185].
Поскольку отношения сопротивлений не очень сильно зави сят от ориентации, можно сравнить отношения рос/роа и роь/роа с соответствующими отношениями величин р0/. Это сравнение показывает, что анизотропия проволок несколько больше анизо тропии массивных кристаллов, но разница меньше той, которую наблюдал Александров в оловянных и цинковых проволоках
[168]. Для всех |
трех |
ориентаций имело место увеличение ро/ |
с температурой в области от 0 до 4,2 К. |
||
Александров |
[186] |
измерял также размерную зависимость |
удельного сопротивления поликристаллических таллиевых про
волок при температуре от 1,5 до |
5,1 К. В результате экстрапо |
|
ляции |
удельного сопротивления |
для 0К получается значение |
ро/ = |
43-10-12 Ом-см2, что хорошо согласуется с данными Зава- |
|
рицкого [187]. Это значение ро/ оказывается больше, чем в слу чае других трехвалентных металлов — алюминия, галлия и индия, — и соответствует всего 0,15 электрона проводимости на атом. При повышении температуры от 0 до 5 К ро/ возрастает на 18%.
4) Однако использование формул разд. 11,3 для анализа данных, полу ченных на монокристаллах, не оправдано; в этом случае предпочтительнее анализ Бейта и др. [71] и Александрова г Каганова [72] (ср. разд. 11,5,6).
4. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
До сих пор основное внимание уделялось размерной зависи мости удельного сопротивления тонких пленок и проволок. В этом разделе мы рассмотрим температурную зависимость сопротивления тонких образцов, особенно в области низких температур, где наблюдаются отклонения от теории Фукса для пленок и теории Дингла для проволок. Согласно расчетам Фукса, сопротивление тонкой пленки не выражается в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит, а другое не зависит от температуры [см. (1)]. Это отклонение от пра вила Маттиссена делает затруднительным анализ зависящих от размеров отклонений от теории Фукса. Теория Дингла, на оборот, предсказывает относительно малое отклонение от пра вила Маттиссена, так что размерные отклонения от теории Дингла обычно отождествляют с размерными отклонениями от правила Маттиссена. Это, однако, не вполне оправдано, по скольку из теории Дингла следует отклонение от правила Мат тиссена [187а].
а. Тонкие пленки. Размерные отклонения от правила Маттис сена были впервые обнаружены Эндрю в ртутных проволоках и оловянных фольгах [96]. В области температур 1—4,2 К зави сящая от температуры часть сопротивления при уменьшении толщины проволоки или фольги возрастала быстрее. Такого рода размерные отклонения от правила Маттиссена наблюда лись затем в фольгах, проволоках и пленках многих металлов. Сообщалось об отклонениях от правила Маттиссена, наблюдав шихся в пленках серебра [188, 189], золота [189, 190] и алюми ния [141], в алюминиевых фольгах [82, 139], алюминиевых пластинах [191], индиевых фольгах [148] и индиевых пластинах [85].
Таннер и Ларсон [188] измеряли удельное сопротивление серебряных пленок как функцию от температуры в области от 4,2 до 295 К. Пленки эпитаксиально выращивались на нагретых подложках из каменной соли и слюды и имели толщину от 1700 до 28 000 А. Для выделения размерных эффектов в том же тем пературном интервале измерялось удельное сопротивление мас сивного серебряного образца. Отношение удельных сопротивле ний Р295/Р4.2 изменялось от 12 до 175 для пленок и составляло
250 для массивного образца.
График температурной зависимости удельного сопротивле ния серебряных пленок приведен на фиг. 24. На фиг. 25 по казана температурно-зависимая часть удельного сопротивления (полное удельное сопротивление минус остаточное удельное со противление) как функция от температуры. Ниже 40 К сопро тивление массивного образца, как и следовало ожидать, про-
Т, К
Фиг. 24. Полные удельные сопротивления р серебряных пленок в зави симости от температуры [188].
порционально Р . Сопротивление пленок изменяется с темпера турой медленнее и для наиболее тонких пленок пропорцио нально Р . Выше 50 К все кривые совпадают и в области ком натных температур температурная зависимость сопротивления становится приблизительно линейной. Если сопротивления, обусловленные рассеянием электронов фононами и поверх ностью, аддитивны, то должно выполняться правило Маттиссена и все кривые на фиг. 25 будут совпадать при всех темпе ратурах. Из экспериментальных данных следует, что правило Маттиесена нарушается; отклонения от него представлены на фиг. 26.
Из приведенных здесь данных видна разница между темпе ратурно-зависимыми частями удельного сопротивления тонких пленок и массивного образца. Эта разница исчезает при высо ких и низких температурах и достигает максимума при 25 К для всех пленок. В облцети от 10 до 40 К температурно-зависимая
Ф иг. 25. Температурно-зависимая часть удельного сопротивления серебря ных проволок как функция температуры [188].
часть удельного сопротивления пленки толщиной 1700 А весьма заметно отличается от аналогичной величины для массивного образца. В этой области разность составляет 7% от полного удельного сопротивления, или, что более важно, 50% от его температурно-зависимой части. У более толстых образцов отклонение температурно-зависимой части удельного сопротив ления от объемного значения этой величины заметно в более узком температурном интервале, а величина этого отклонения примерно вдвое меньше.
Согласно теории Олсена, наиболее важную роль играет рассеяние на малые углы, которое приводит к столкновениям с поверхностью. Если пренебречь процессами переброса, угол рассеяния электрона на фононе приблизительно равен T/Q, где
0 — дебаевская температура. При низких температурах отно шение Т/0 становится очень малым и размерный эффект должен исчезнуть. При относительно высоких температурах, когда дли
на свободного пробега электрона становится меньше толщины, размерный эффект также исчезает.
В промежуточной области температур размерный эффект должен наблюдаться, когда величина Г/0 сравнима с d/l, где d — толщина пленки, а I— длина свободного пробега электрона
для комбинированного рассеяния электронов на дефектах и фононах, т. е. 1/1 = 1/lei + 1 /1ер. Результаты, представленные на
Ф иг. 26. Разность между температурно-зависимой частью удельного сопро тивления пленки и температурно-зависимой частью удельного сопротивления массивного образца как функция от температуры [188].
фиг. 26, качественно согласуются с этой моделью. Подставляя значение дебаевской температуры для серебра 0 = 226 К, най дем, что величина Г/0 становится сравнимой с d/l в интервале
температур от 10 до 40 К. Как видно из фиг. 8, теория Фукса предсказывает также размерно-зависимое возрастание темпера турно-зависимой части удельного сопротивления, но отклонения от правила Маттиссена, следующие из теории Фукса, оказы ваются меньше наблюдаемых. На фиг. 8 представлена также температурная зависимость в теории Азбеля— Гуржи [79]. Однако наблюдаемые отклонения от правила Маттиссена не столь велики, как это следует из модели Азбеля — Гуржи.
Кривые на фиг. 26 указывают на размерно-зависимое воз растание температурно-зависимой части удельного сопротивле ния при низких температурах, приблизительно пропорциональ ное Т2. Это хорошо согласуется с расчетами Ван Зитвельда и