Материал: Физика металлов и дефекты кристаллического строения

Классическая теория рассматривает перемещение электронов как незаряженных частиц, пренебрегая их взаимным отталки­ ванием, а поле периодической решетки, создаваемое положи­ тельными ионами, — как поле с постоянным потенциалом, в ре­ зультате чего электроны в полном смысле являются свободны­ ми, а не просто отделенными от своих атомов. В связи с этим П. Друде и А. Лоренц высокую склонность металлов к электро- и теплопроводности объясняют легкой подвижностью электро­ нов, на движение которых не накладывается никаких ограниче­ ний. В своих рассуждениях они исходили из следующих пред­ посылок.

При перемещении в металле свободные электроны должны испытывать столкновения с ионами кристаллической решетки, а следовательно, их движение должно быть обусловлено сред­ ней длиной свободного пробега, который, учитывая размеры элементарных ячеек кристаллических решеток, П. Друде и А. Лоренц положили равным 10~8 см. Следуя принципам клас­ сической статистики, они считали, что средняя кинетическая энергия движения электронов равна средней кинетической энер­ гии поступательного движения: 3/ 2kT (k — постоянная Больц­ мана; Т — температура по абсолютной шкале). Обозначая среднеквадратичную скорость беспорядочного теплового движе­ ния электрона через иср, а его массу через т , записываем:

(3.1)

Если предположить, что свойства электронного газа сходны со свойствами идеального, то при абсолютном нуле температу­ ры электроны должны находиться в состоянии покоя, а их пол­ ная энергия равна потенциальной, которая зависит от глубины потенциальной ямы (U0 на рис. 2.1). В данном случае это — энергия, которую необходимо приобрести электрону для преодо­ ления сил, удерживающих его в металле, и она может быть названа работой выхода. При температуре Т > О К электроны, помимо потенциальной, обладают кинетической энергией, рав­ ной 3/ 2£7\ а их движение хаотично.

Если на металл накладывается электрическое поле с напря­ женностью £, то свободные электроны начинают приобретать направленное движение вдоль силовых линий поля. Результа­ том такого движения является электрический ток, плотность которого определится из выражения

вием поля за время т. Добавочная скорость может быть опреде­ лена из выражения

При выводе этого уравнения предполагалось, что электрон те­ ряет добавочную скорость каждый раз, как только он испыты­ вает столкновение с узлом решетки, и вновь приобретает ее под воздействием поля. В этом уравнении член еЕ/(2т) пред­ ставляет собой ускорение электрона между двумя столкнове­ ниями, которое он приобретает под действием поля Е\ х — время свободного пробега между двумя столкновениями (время ре­ лаксации).

Если подставить значение добавочной скорости электрона в уравнение (3.2), то с помощью модели свободных электронов придем к основному закону электропроводности металлов — за­ кону Ома, согласно которому плотность электрического тока пропорциональна напряженности электрического поля:

(3.3) Полагая, что средняя скорость электронов иср значительно пре­

Отношение I/E называется электропроводностью и обозначается буквой о:

I _ пеЧ

Е2mvCp

Так как электропроводность есть величина, обратная электро­ сопротивлению, то для электросопротивления получим

Подставим сюда выражение средней скорости через темпера­ туру—(3.1), тогда

(Т —температура по Международной практической шкале ре­ дакции 1968 г.; индекс, указывающий год редакции, везде опу­ скаем). Из (3.5) следует, что электросопротивление тем меньше, чем больше свободных электронов в единице объема и чем больше средняя длина свободного пробега /. Оказывается, что если I считать равным межатомному расстоянию (10-8 см), то

при комнатных температурах получается хорошее совпадение расчетных значений электропроводности и электросопротивле­ ния с экспериментально полученными данными.

В соответствии с теорией Друде — Лоренца достигается так­ же хорошее согласие закона Видемана— Франца с опытом. Согласно этому закону соотношение между тепло- и электро­ проводностью, если они измерены при одной температуре, долж­ но быть постоянным для всех металлов. Тогда, если X = lvcpkn/2 представляет собой теплопроводность металлов, то отношение

X/o = 3(k/e)2T

(k и е — постоянные) выражает закон Видемана — Франца, из которого следует, что Х/а— универсальная величина, не завися­ щая от природы металла.

Классическая теория металлов хорошо объясняет также оптические свойства металлов. В соответствии с этой теорией при падении луча света на металл свободные электроны могут колебаться в переменном электромагнитном поле, возникающем в металле под действием светового луча. При этом электрон поглощает энергию луча и тем самым делает металл непро­ зрачным, сам же, находясь в возбужденном состоянии, стре­ мится вернуться на более низкие энергетические уровни, испу­ ская при этом энергию. Таким образом, за счет обмена энер­ гией между квантом света и электроном световой луч будет полностью отражаться от металла, вследствие чего появится блеск.

Однако классическая теория обладает рядом недостатков. Неверным является отождествление электронного газа с идеаль­ ным, так как единственным сходством между ними является хаотическое движение в отсутствие электрического поля. Если же поле существует, то электронный газ имеет не беспорядоч­ ное движение, обусловленное только тепловым эффектом, а вполне определенное, что не наблюдается в случае идеального газа.

Кроме того, скорость коллективных электронов незначитель­ но изменяется с повышением или понижением температуры, в то время как движение частиц идеального газа существенно зави­ сит от нее: частицы идеального газа при температуре абсолют­ ного нуля находятся в покое, т. е. их скорость равна нулю. Коллективные же электроны никогда не имеют нулевой ско­ рости. Кинетическая энергия свободных электронов при комнат­ ной температуре на два порядка больше, чем кинетическая энергия частиц идеального газа. Только при очень высоких тем­ пературах энергия электронов асимптотически приближается к энергии обычного газа. __

Зависимость электросопротивления от температуры как д/Т также не оправдывается. Опыт дает пропорциональную зависи­ мость г от Т.

Не согласуются опытные данные с теорией и по относитель­ ному увеличению теплоемкости металлов, рассчитанному по за­ кону классической физики, согласно которой теплоемкость ме­ таллов должна складываться из теплоемкости решетки (с^еш)

и теплоемкости электронного газа (с^г). Последняя ве­

личина существенно отличается от значения теплоемкости идеального газа.

3.2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

Исследование электронов в одномерной потенциальной яме при U ф О показало, что энергетический спектр частиц дискре­ тен и состоит из отдельных уровней, а энергия электрона кван­ тована (см. (1.13)).

При переходе к более общему случаю необходимо рассмат­ ривать поведение электрона в трехмерном пространстве. До­ пустим, что имеем объем металла в виде куба с длиной ребра L и объемом V = L3, в котором по всем направлениям свободно движутся коллективизированные электроны. Тогда по аналогии с одномерным пространством необходимо иметь три квантовых числа: пХ} пу, nz, соответствующие компонентам по трем взаимно перпендикулярным осям х, у , г. При этом пх, пУ1 пг могут быть любыми целыми числами, независимыми друг от друга. Так как рассматриваются свободные электроны, не подверженные дей­ ствию поля (/7 = 0), то удобнее пользоваться не обычным трех­ мерным пространством, а трехмерным пространством импуль­ сов (или как его еще называют, фазовым пространством) с ко­ ординатными осями рх, рУу pz (рис. 3.1,а). В этом случае части­ ца с соответствующим импульсом изобразится в пространстве в виде точки с координатами pXl руу р2. Полный импульс части­ цы (р) характеризуется радиус-вектором, проведенным от на­ чала координат до этой точки. Если имеем N частиц, обладаю­ щих разными импульсами, то в пространстве импульсов N то­ чек образуют своеобразное облако из точек. Чем меньшим импульсом обладает частица, тем ближе к началу координат располагается точка, изображающая эту частицу. Так как в от­ сутствие внешнего поля полная энергия частицы Е равна ее ки­

Из этой формулы видно, что большим значениям импульса со­ ответствует и более высокое значение энергии. Поэтому у нача­ ла координат в пространстве импульсов концентрируются точки, соответствующие частицам с малой энергией.

Нас будет интересовать случай распространения энергии электронов, движение которых по всем направлениям при

нулевой температуре равновероятно. Если исходить из классиче­ ской кинетической теории газов, то при понижении температуры до нуля по аналогии с обычным электронный газ должен собрать­ ся с бесконечно большой плотностью на уровне, где импульс и энергия электронов равны нулю, т. е. в начале координат (см.

ния, налагаемые принципом неопреде­ ленности и принципом Паули. Соглас­

ствует точно рассчитанным значениям) накладывает неопределенность на по­ ложение электрона в твердом теле, ко­ торая, например, по оси х будет равна размеру кристалла в этом направле­ нии, т. е. Ax = L. Если предположить,

что неопределенность в измерении импульса рх будет минималь­ ной, то тогда

При переходе к трехмерному пространству, если неопреде­ ленность в направлении каждой оси составляет /i/L, то для куба со стороной L она в измерении импульса каждого состоя­ ния будет равна

(Ар3) = h3/L3= h3/V

и может быть представлена в трехмерном (фазовом) простран­ стве в виде минимального объема: h3/V. В связи с этим все пространство импульсов, связанное со значениями энергии, можно представить как состоящим из маленьких ячеек с длиной ребра /i/L и объемом h3/L3= h3/V (рис. 3.1,6).