Материал: Физика металлов и дефекты кристаллического строения

Каждая такая ячейка представляет собой одно из возмож­ ных квантовых электронных состояний, к которым применим принцип Паули, т. е. в каждом квантовом состоянии (ячейке) могут находиться максимум два электрона с противоположными спинами. Последнее означает, что все электроны при Т = О К

в объеме V занимали N/2 уровней энергии от Emin до EmSLX. Это значит, что совокупность N электронов при Т = О К обладает значительной кинетической энергией.

Какие же уровни будут заняты? Анализ показывает, что за­ няты будут те уровни, которым соответствует минимальная энергия. Последнее требует симметричного заполнения уровней относительно начала координат в пространстве импульсов, а занятые состояния образуют сферу с центром в начале коорди­ нат (рис. 3.1, в), которая названа по имени итальянского уче­ ного Э. Ферми сферой Ферми. Внутри этой сферы энергия убы­ вает от поверхности к центру, а граница сферы отвечает макси­ мально возможной энергии электронов при абсолютном нуле температуры.

Определим максимальную энергию электронов (энергию Ферми) на границе сферы Ферми. Из (3.6) следует, что кине­ тическая энергия электронов внутри сферы должна возрастать пропорционально квадрату расстояния (г = р) от начала коор­ динат. Все электроны, значения импульсов которых лежат на поверхности сферы радиусом Г\ (см. рис. 3.1,в), имеют одина­ ковую энергию и им отвечает максимальный импульс.

Объем всех занятых уровней — ячеек внутри сферы Ферми — можно найти из соотношения

N /г3 _Шг*_

2 V 2V

Так как ртах соответствует радиусу границы сферы Ферми, то объем занятых ячеек будет также равен

Из анализа следует, что при Т = О К электроны обладают впол­ не определенной энергией, заключенной в интервале от £min,

отвечающей квантовому состоянию вблизи начала координат (см. ряс. 3.1,6,в), в котором, согласно принципу Паули, нахо­ дятся два электрона с противоположными спинами, до £тах, от­ вечающей импульсу на поверхности Ферми. Однако говорить о принадлежности электронов к какому-нибудь определенному квантовому состоянию нельзя. В действительности свободные электроны непрерывно взаимодействуют с ионами и между собой, в результате чего они находятся в конкретном квантовом состоянии очень короткое время, по истечении которого проис­ ходит обмен состояниями между электронами.

Подставляя численные значения этих величин, можно найти энергию в электронвольтах для электронов, занимающих наи­ более высокие энергетические уровни при 7 = 0 К. Из формул (3.8) следует, что максимальная энергия электрЪнов (или ра­ диус заполненной сферы Ферми) не зависит от общего объема металла и определяется только концентрацией свободных элект­ ронов (n = N/V) и межатомным расстоянием /о. При увеличе­

нии объема металла и общего количества электронов происхо­ дит лишь возрастание числа энергетических состояний, т. е. уровней, и их сближение между собой. Из первой формулы (3.8) также следует, что максимальная энергия электронов возра­ стает с повышением электронной концентрации. Если известны плотность и атомные массы элементов, то можно легко найти численные значения ЕтахТак как в одном грамм-атоме метал­ ла содержится zN электронов (z — валентность элемента; N —

число Авогадро), то по известной плотности можно найти объем грамм-атомаметалла, а затем электронную концентрацию. Ниже приведены значения максимальной энергии свободных электронов (£шах) и атомные объемы одновалентных метал­ лов (Vr-a):

Анализ данных показывает, что максимальная энергия элек­ тронов при 7 = 0 К во много раз превосходит среднюю тепло­ вую энергию электронов при 7 ф 0 К.

Свойства совокупности свободных электронов зависят от их распределения по энергетическим состояниям. Оно характери­ зуется кривой, которая определяет плотность электронов с энец-

гией Е. Произведение N(E)dE представляет собой количества квантовых состояний в единице объема металла, которое при­ ходится на интервал энергий между Е и EdE. Произведение это равно числу электронов, которые заполняют указанный ин­ тервал. Кривая, характеризующая связь N(E) с £, называется N(E) -кривой. Для свободных электронов эта кривая описы­ вается уравнением

N (Е) dE = 4nV ( j p ) h У /Г dE

и имеет вид параболы. Из рис. 3.2 следует, что чем больше энергия электронов, тем больше плотность энергетических со-

стояний. В соответствии с принципом Паули при 7 = О К элект­ роны занимают все возможные наиболее низкие энергетические состояния, и так как при указанной температуре нет электронов с энергией, превышающей максимальную энергию свободных электронов, то плотность электронов N{E) будет ограничена

в одном энергетическом состоянии более двух электронов с про­ тивоположными спинами.

Определим длину волны электронов, обладающих макси­ мальной энергией на поверхности сферы Ферми. Значение дли­ ны волны можно найти из уравнения (1.14) при п = 1 и К = 2L:

Е = h2/(8mL2) или Е = h2/{2mX2),

откуда Xmin = h2/(2mEmax)- Подставляя значение £ max из (3.7), находим, что максимальная длина волны, которую могут иметь свободные электроны при Т = О К» равна

3.3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПО ЭНЕРГИЯМ

В теории твердого тела важное значение приобретает рас­ пределение электронов по энергиям при температуре, равной нулю и больше нуля.

Рассмотрим поведение частиц электронного газа при неко­ торой температуре Тк, ненамного превышающей температуру абсолютного нуля. Если бы электронный газ был подобен иде­

10~19 Дж), а £тах = 3 4-10 эВ. Отсюда следует, что электрон­ ный газ отличается от классического и не подчиняется подобно ему статистике распределения частиц Максвелла — Больцмана:

щая среднее число молекул, которые обладают энергией Е\ еа — величина, называемая постоянной нормировки. Так как сред­ няя кинетическая энергия электронов, согласно статистике Максвелла — Больцмана, находится в зависимости от темпера­ туры:

ти ср/2 = 3/о&7\

то при Т = 0 К средняя кинетическая энергия электронного газа должна быть равна нулю, а его частицы находиться в состоянии

покоя. Однако, как уже было показано электронный газ отли­ чается от идеального, а его энергия при Т = О К не равна нулю

вается как некоторая квантованная система, в которой частицы размещаются по различным энергетическим состояниям, а функ­ ция их распределения отвечает равновесному (наивероятней­ шему) состоянию системы. Таким образом, функция распреде­ ления характеризует степень вероятности заполнения электро­ нами конкретного квантового состояния внутри сферы Ферми. Энергетически полностью заполненному уровню соответствует

Здесь Е — энергия, соответствующая заполненному квантовому состоянию; E<t>= (U — TS + pV)/N — энергия, затрачиваемая при указанных условиях на увеличение числа частиц системы на единицу; U — внутренняя энергия системы; 5 — энтропия;. У — объем системы; р — давление; N — число частиц в системе. При Т = О К Еф= (U + pV)/N = Emax. Следовательно, для температур, при которых величиной TS можно пренебречь,

ветствующая квантовому состоянию, которое находится на гра­ нице сферы Ферми (см. рис. 3.1,в), т. е. энергия Ферми, а со­ стояние, соответствующее этой энергии, называется уровнем Ферми.

Из выражений (3.11) и (3.12) видно, что функция распреде­ ления электронов по занятым энергетическим состояниям f существенно отличается от максвелловского распределения молекул (от функции /м). При низких температурах {Т — О К) функция f удовлетворяет следующим условиям: если Е < Етах,

вале все квантовые состояния полностью заняты. При переходе через значение Emax функция f скачкообразно падает до нуля, соответственно уровни, энергия которых выше Emax, остаются