Материал: Физика металлов и дефекты кристаллического строения

Теория Бора позволила определить радиусы стационарных орбит (г), скорость движения электронов (и), величины полной (Е), кинетической (Ек) и потенциальной (U) энергии. Согласно Бору, радиус возможных орбит, например в атоме водорода, пропорционален квантовым числам в квадрате:

а скорость движения электрона на этих орбитах обратно про­ порциональна квантовым числам:

v = 2ne2/(nh).

Потенциальная энергия электрона на орбите с номером п равна

Un = —4л2meAl{ti2h2)1

а кинетическая:

Из формул (4:2) и (КЗ) следует, что полная энергия электрона на разных орбитах обратно пропорциональна соответствующим квантовым числам в квадрате; она всегда отрицательна и ра­ стет по абсолютной величине при уменьшении радиуса орбиты.

Переход электрона с внешней орбиты на внутреннюю свя­

по отношению к ней возможен только при сообщении электрону дополнительной энергии. Поэтому самая внутренняя орбита является стабильной и представляет собой нормальное состоя­ ние электрона, все же остальные состояния — орбиты — счи­ таются возбужденными.

Исследование свободных электронов, потерявших связь со своими атомами, позволили Л. де Бройлю указать на двойствен­ ный характер их свойств: волновой и корпускулярный — и уста­ новить математическую связь между длиной волны (?с) и энер­ гией. В соответствии с принципом эквивалентности массы и энергии, предложенным А. Эйнштейном, энергия (Е) кванта электромагнитного излучения, соответствующая массе, опреде­ ляется выражением

где с — скорость света. С другой стороны, эта энергия опреде­ ляется соотношением М. Планка: E = hvt откуда

тс2 = hv.

Л. де Бройль, применив последнее соотношение к частицам и допустив, что в левой части уравнения для частицы должна на­ ходиться не скорость света, а скорость движения частиц (у), получил

mv2= hv.

Так как v = v/X, то

Таким образом, Л. де Бройль показал, что движение мате­ риальной частицы, обладающей количеством движения р, свя­ зано с монохроматической волной, длина которой X определяет­ ся уравнением (1.4), называемым соотношением де Бройля. Это соотношение показывает, что длина волны частицы обратно пропорциональна величине ее импульса, а следовательно, длина волны будет изменяться при ускорении или замедлении частицы.

ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В соответствии с положениями классической механики со­ стояние движения материальной точки для каждого момента однозначно определяется значениями ее координат (х, у, z ) и составляющих количества движения (рх, ру, Pz). Причем эти значения строго определенны в любой момент времени и могут быть измерены с вполне конкретной точностью. Совокупность таких последовательных измерений параметров движущейся точки характеризует ее траекторию и состояние в пространстве. Однако рассматриваемое описание физического процесса или явления несовершенно. Классическая механика, имея объектом изучения тела более крупного масштаба, чем микрочастицы, не ставила вопроса о зависимости наблюдаемого явления от усло­ вий наблюдения. Физический процесс в рамках этого раздела рассматривался как нечто, происходящее само по себе, а не как явление, конкретно познаваемое при помощи тех или иных средств наблюдения. Такой подход к изучению физических яв­ лений может быть до некоторой степени оправдан только в том случае, когда приходится иметь дело с крупными телами, по отношению к которым воздействие, связанное с актом измере­ ния, имеет ничтожное значение и не оказывает заметного влия­ ния на результаты измерений или, в крайнем случае, оно может быть учтено в конечных результатах.

Совсем иначе обстоит дело, когда изучаются микрочастицы. Допустим, что необходимо определить положение микрочасти­ цы. Попытаемся это сделать с помощью светового луча. Но так

как световой луч представляет собой поток фотонов, обладаю­ щий определенной энергией, то в процессе опыта при столкно­ вении фотона с частицей в результате акта обмена энергиями между ними количество движения частицы в какой-то мере станет неопределенным, и полученные данные будут представ­ лять собой значения, найденные с некоторой степенью вероят­ ности. Следовательно, при переходе к микрочастицам уже нельзя не учитывать факта взаимодействия самой частицы с прибором, работающим в конкретных физических условиях и создающим эти условия. Поэтому необходимо выяснить, в ка-

Рис. 1.1.

кой степени обычный метод описания тел, используемый в клас­ сической механике, применим к микрочастицам, сочетающим корпускулярные и волновые свойства.

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, которая имеет бесконечную протяженность, например в направлении оси х, но точно заданную длину волны и определенную скорость (рис. 1.1,а). Из волновой теории следует, что интенсивность волны пропорциональна ее амплитуде в квадрате. Тогда Чг2 яв­ ляется мерой интенсивности волны и зависит от координат и времени. С другой стороны, плотность электронной волны равна числу частиц в кубическом сантиметре. Следовательно, для мощного пучка электронов Т 2 можно приравнять числу элек­ тронов в кубическом сантиметре. Но если рассматривается один электрон с импульсом рх и длиной волны X= h/pXf то можно ли его ассоциировать с волной и описывать как волну? Интенсив­ ность такой волны постоянна во всем пространстве, поэтому электрон в равной степени можно обнаружить в любой точке монохроматической волны, простирающейся вдоль оси х от —оо до +°°> и, следовательно, интервал Дх, в котором локали­ зован электрон с импульсом рх, равен бесконечности. Итак, от­ вет отрицателен.

Таким образом, в квантовой механике в противоположность классической нельзя определенно предсказать траекторию, по которой будет двигаться электрон, так как он может находиться в любом месте в пределах волны. В этом случае можно гово­ рить только о вероятности нахождения электрона в данный мо­ мент в конкретном месте. Причем вероятность задается ампли­ тудой волны в квадрате (Т2) и является функцией времени и пространственных координат. Следовательно, и в такой ситуа­

ции положение электрона неопределенно, а Дх представляет собой меру этой неопределенности.

Если мы хотим рассчитать точное положение электрона, т. е. локализовать его, то необходимо найти такую волновую функ­ цию воображаемых 'Г-волн, которая могла бы дать заметное значение амплитуды для малой части из бесконечно большой монохроматической волны. Для этой цели проделаем следую­ щий опыт. На пути движения монохроматической волны с дли­ ной ло и частотой v0 поставим апертурную щель со специальной заслонкой, которую откроем на очень короткое время, и пропу­ стим небольшую часть волны. Так как имеем дело с материаль­ ной волной, то действие заслонки исказит пропущенную часть, и в результате мы получим волновой пакет, состоящий из от­ дельных волн различной длины (рис. 1.1,6).

Допустим, что пакет будет содержать волны длиной от Хо ±

± ДА. Так как длина волны связана через уравнение де Бройля X0 = h/px с импульсом рХу то последний при этом изменится от рх — Ар до Рх +А р. Следовательно, скорость, импульс и энер­ гия в этом случае не могут иметь точных значений. (Назовем Ар неопределенностью по импульсу.) Чем меньше пространст­ венная длина пакета (х), в котором находится электрон, тем больший диапазон длин волн необходим для его образования и тем больше будет неопределенность импульса.

Таким образом, для монохроматической волны нам точно известны скорость, энергия и импульс частицы (Др = 0), но не­ известно положение электрона, так как Ах = оо; а для волнового пакета точно определено положение частицы (Ах—*0), но мы не можем точно рассчитать импульс электрона (Ар—*оо).

Следовательно, при рассмотрении частиц, обладающих вол­ новыми и корпускулярными свойствами, имеет место случай, когда для одних физических величин возможно указать их точ­ ные значения, а для других — только вероятные. Последнее обстоятельство приводит к следующему выводу: чем точнее определено положение частицы, тем менее точны ее импульс и скорость (узкий пакет), и наоборот, чем точнее определен им­ пульс частицы, тем менее точно известно ее положение (моно­ хроматическая волна).

Количественное выражение этого вывода было сформули­

Здесь Й = Ь/(2л)==5 1,05459* 10-34 Дж-с (1,05-Ю-27 эрг/с). Вы­ ражения (1.5) называются соотношениями неопределенности и означают, что произведение неопределенностей равно постоян­ ной величине, пропорциональной Й. Аналогичное соотношение

может быть получено для энергии и времени:

венство (1.6) иногда называют несовершенством Гейзенберга — Бора. Из него следует, что акт переноса энергии не может быть точно локализован во времени, в течение которого микрочасти­ ца обладает энергией Е0 ± АЕ.

Связанные с принципом неопределенности ограничения не носят временного характера, а объясняются несовершенством измерительных приборов и глубоко обусловлены самой приро­ дой. Иллюстрацией этого положения может являться атом. На­ пример, зная орбиту, соответствующую главному квантовому числу /г, можно точно указать возможное значение энергии электрона на этой орбите, но нельзя предсказать место его нахождения в конкретный момент. Положение электрона может быть указано только с помощью функции вероятности.

Для примера рассмотрим возможную величину неопреде­ ленности при расчете скорости движения электрона в атоме водорода. В этом частном случае Avx-A x = h/m. Примем, что

Поскольку скорость движения электрона в атоме водорода рав­ на ~ 108 см/с, то неопределенность по скорости фактически равна самой скорости. Если же скорость электрона задать с точ­ ностью порядка v, то неизвестным будет его положение в атоме, но известно, что электрон принадлежит данному атому.

Итак, рассмотренные примеры показывают, что в большин­ стве случаев состояние электрона нельзя описать координатами его центра тяжести. Сами координаты электрона, траектория его движения утрачивают привычный смысл. Поэтому необхо­ димо найти какую-то новую величину, заменяющую эти понятия и в то же время адекватно описывающую состояние электрона в любой момент.

Таким образом, обоснование планетарной модели атома Ре­ зерфорда— Содди — Бора, установление двойственности микро­ частиц и принципа неопределенности, открытие фотоэффекта, утверждение результатов исследований спектрального распреде­ ления в излучении атомов привели к противоречию установлен­ ных фактических данных с законами классической физики. Следствием этого явились необходимость пересмотра ее кон­ цепций и установление новых направлений в физике, которые были сформулированы квантовой механикой.

ю