Материал: Физика металлов и дефекты кристаллического строения

Если уравнение (1.15) рассматривать для более сложного атома с зарядом ядра, равным ze, и учитывать при этом, что движение электрона происходит в центрально-симметричном поле, то наиболее удобным является представление уравнения Шредингера в сферической системе координат. Из рис. 1.5 вид­ но, что положение частицы в сферической системе координат

сферически-симметричным (т. е. определяется лишь расстоянием от центра атома и совершенно не зависит от направления), то уравнение Шредингера для атома водорода в сферической си­ стеме координат имеет вид

При решении уравнения Шредингера для атома водорода находят функции #(г), 0(0), Ф(ф), отвечающие условиям ко­ нечности, которые можно получить только при введении трех целых квантовых чисел n, / и /Л/. Произведение этих трех функ­ ций определяет волновую функцию, характеризующую состоя­ ние электрона в атоме водорода. Для каждого энергетического состояния волновая функция имеет свой вид, определяемый различными комбинациями квантовых чисел. Так, например, для функции R(r) решения уравнения Шредингера обладают сферической симметрией. Состояния электрона, которые описы­ ваются такими решениями, называются s-состояниями и в зави­ симости от значения квантового числа п называются ls-состоя- ниями при п = 1 , 25-состояниями при п = 2 и т. д.

Для определения этих состояний электрона относительно ядра необходимо рассмотреть трехмерную модель атома с яд­ ром в центре, решить уравнение Шредингера и определить вид волновых функций R(r). Так, например, для ls-состояния, соот­ ветствующего минимальной энергии электрона, волновая функ­ ция имеет вид

Фи = ( У ^ Г ехр (г/а),

причем a = h /( m e 2) = 0,05292 нм (0,5292А) и соответствует боровскому радиусу первой электронной орбиты в атоме водо­ рода. Следовательно, для 15-состояния волновая функция опре­ деляется только расстоянием от центра атома и не зависит от направления, т. е. от углов 0 и ф. Такой класс волновых функ­ ций называют сферически-симметричными, поскольку их значе­ ния во всех точках сферы данного радиуса имеют одинаковые значения. Так как волновая функция XY\S изменяется в зависи­ мости от расстояния во всех направлениях одинаково, то чтобы представить ее характер, достаточно рассмотреть ее изменение вдоль одного из направлений: Функция Wis будет монотонно

убывать с увеличением расстояния от ядра; наибольшее значение этой

между электроном и ядром. На рис. 1.6~приведена вероятностная кривая распределения электронной плот­ ности (р(г)) в атоме водорода в состоянии 15. По оси абсцисс отло­

жено расстояние от центра ядра атома, а по оси ординат — ве­ личина р, пропорциональная Ф2. Кривая р(г) определяет элек­ тронную плотность (вероятность пребывания электрона) на рас­ стоянии г от ядра в объеме AV Как видно из рисунка, элек­ тронная плотность на расстоянии, превышающем 0,2 нм (2 А), ничтожно мала, и наоборот, она возрастает по мере приближе­ ния к ядру атома. Следовательно, движение электрона в атоме водорода ограничивается сферой с диаметром 0,4 нм (4 А). Вероятность нахождения электрона вне сферы ничтожно мала и стремится к нулю. Схематически эту сферу можно предста­ вить в виде симметричного облака вероятностей, которое назы­ вают электронным облаком.

Итак, согласно квантовым представлениям движение элек­ трона в атоме водорода происходит не по круговой плоской орбите, а в пространстве, ограниченном сферой, внутри которой электрон может оказаться в любой точке. Так как электрон движется очень быстро относительно ядра (~0,7 от скорости света), то трудно указать место его нахождения. И поэтому можно считать что электрический заряд электрона в сфере «размазан» в облако отрицательного электричества с большей

часто является наглядным методом изображения электрона в

атоме. При этом не следует думать, что в какой-то момент элек­ трон занимает всю область электронного облака, так как рас­ пределение его в сфере дает только вероятность его пребыва­ ния относительно ядра атома.

Из рис. 1.6 следует, что плотность электронного облака резко убывает с увеличением расстояния от центра атома, но ис обращается в нуль. Большая же часть электронного облака сосредоточена вблизи ядра. Поэтому условно размеры облака ограничивают его поверхностью, внутри которой сосредоточена определенная (например, 90 и 95%) плотность электронного заряда. Эту граничную поверхность, приближенно характери­ зующую форму электронного облака, называют атомной орби­ талью. Однако форма электронного облака может не совпадать с формой орбитали, так как первое представляет собой облако вероятностей, не имеющее четких границ.

Зависимость р(г), представленная на рис. 1.6, не позволяет оценивать наиболее вероятное нахождение электрона в состоя­ нии Is относительно центра атома. Но так как Ч?2 представляет вероятность пребывания электрона в объеме AV, или плотность электронного облака в этом объеме, то, следовательно, Чг2 и плотность электронного облака можно выразить через вели­ чину заряда, отнесенного к единице объема, а также определить заряд в элементе объема, например в слое сферы с радиусами г

4nr2dr. Если количество электронов в единице объема равно р(г), то в сферическом слое толщиной dr оно составит 4nr2p(r)d/\ Вероятность пребывания электрона в сферическом слое радиу­ сом г и толщиной dr характеризуется функцией W {г), умножен­ ной на толщину слоя: W(r)dr. Тогда для атома со сферическисимметричным электронным облаком следует

W{ r) = 4nr2p (г).

Получаемая при этом кривая (см. рис. Г.6) представляет собой относительную вероятность пребывания электрона на разных расстояниях от ядра, т. е. радиус вероятных орбит. Наиболее вероятное пребывание электрона в атоме водорода в состоянии Is обусловлено сферой с радиусом 0,05292 нм (0,5292А).

Если /г > 1 , то s-состояния также будут обладать Сфери­ ческой симметрией, но при этом электронное облако будет представлять собой размытый шар, внутри которого существуют сферические слои с плотностью электронного облака, равной нулю. На рис. 1.7 показана кривая р(г) для 2S-COCTOHHHH, кото­ рая понимается так: электронное облако для 2S-COCTOHHHH в ато­ ме водорода представляет собой размытый шар, внутри кото­ рого имеется сферический слой, где вероятная плотность элек­ тронного облака равна нулю. Электронное облако 2S-COCTOHHHH

по сравнению с is-состоянием в пять раз больше, но плотность в его каждой точке примерно в 50 раз меньше. Вероятность пребывания электрона на разных расстояниях от центра атома

в несколько раз больше, чем в точке п, и, следовательно, элек­ трон в состоянии 2s большее время пребывает на расстоянии 4а от центра атома. Это расстояние соответствует второй боровской орбите в атоме водорода. Однако в отличие от боровской

ны; чем больше квантовое число л, тем более «размыто» элек­ тронное облако, тем на большее расстояние оно распростра­ няется от центра атома и тем меньше его плотность; число максимумов в функции W(r) равно квантовому числу л. При ns-состоянии электрон большее время пребывает в области про­ странства, соответствующего n-му максимуму функции W(r). Следовательно, чем больше значение квантового числа п, тем