Материал: Физика металлов и дефекты кристаллического строения

Квантовая механика базируется на математической теории вероятности. Принципиальное ее отличие от классической со­ стоит в том, что квантовая механика позволяет определить лишь вероятность события, например нахождение частицы в данной точке пространства в конкретное время, т. е. она позво­ ляет познавать распределение вероятностей для различных ве­ личин, а не численное их значение. В связи с тем, что микро­ частицам присущи как корпускулярные, так и волновые свойст­ ва, квантовая механика, используя законы классической физи­ ки, применяет их в форме, учитывающей те и другие свойства микрочастиц. Подобно тому как в классической механике основ­ ной закон изменения состояния системы определяется диффе­ ренциальным уравнением Ньютона, так и в квантовой механике состояние системы вполне определенно, если известны началь­ ные условия и соответствующее дифференциальное уравнение движения.

Первый вклад в этом направлении сделал Э. Шредингер. Ис­ пользуя математический аппарат классической физики, он пред­ ложил дифференциальное волновое уравнение в частных произ­ водных, с помощью которого можно описать движение заряжен­ ных частиц, когда их скорость движения значительно меньше скорости света ( К с ) . Уравнение Шредингера может быть по­ лучено из уравнения классической физики, описывающего рас­ пространение волн:

V2qp(r, t)

1 дгФ(г, О

4 dt2

Здесь Vo— скорость распространения волн; ср — некоторая вели­ чина, характеризующая волновой процесс.

Если рассматривать монохроматическую волну, то решение уравнения будет иметь вид

Чтобы из последнего уравнения получить волновое, описываю­ щее движение электрона, введем в него вместо значения длины волны X выражение Ц.4), отвечающее дебройлевской длине волны:

X — h/(mv) = 2лй/р; р = 2яй/Х.

Учитывая закон сохранения энергии, согласно которому р2/(2/п) + + U (г) = Е = const, находим, что 4я2/Х2 = (2т/Й2) [£ — U (г)].

Подставив последнее выражение в уравнение (1.8), получим стационарное (т. е. не зависящее от времени) уравнение Шредингера:

ческие волны определенной частоты v или энергии Е и распре­ деление в пространстве амплитуды волновой функции 4я.

Волновая функция 4я не имеет непосредственного физическо­ го смысла, так как с ее помощью возможно лишь вероятност­ ное описание движения частицы, т. е. предсказание вероятности нахождения частицы в определенном месте в данном энерге­ тическом состоянии.

Уравнение Шредингера (-1.9) является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Его ре­ шения для заданных условий дают волновую функцию, которая полностью характеризует поведение частицы. В связи с тем, что уравнение (1.9) может иметь бесчисленное количество решений из которых физический смысл имеют лишь те, которые отве­ чают определенным граничным условиям, налагаемым на вол­ новую функцию, то к волновой функции предъявляются сле­ дующие требования: она должна

быть непрерывной и иметь непрерывную первую производ­ ную, поскольку соответствует некоторому непрерывному волно­ вому процессу;

быть однозначной, поскольку элементарная частица не мо­ жет одновременно находиться в двух или более точках про­ странства;

быть конечной во всем пространстве и при бесконечно боль­ шом удалении от начала координат стремиться к нулю;

удовлетворять определенным граничным условиям.

Кроме того, должно выполняться условие нормировки волно­ вой функции; если достоверно известно, что элементарная ча­ стица находится в объеме V, то вероятность такого события

должна равняться единице, т. е. ^ -ф2 rfV' = 1.

Выполнение всех этих требований показывает, что решения для волновых уравнений существуют не при любых, а только при определенных значениях параметра, так называемых собст­

т. е. изменяется прерывно: скачкообразно, через определенные энергетические интервалы. В случае же свободной частицы (£/(г) = 0) энергетический спектр будет непрерывным.

Уравнение Шредингера справедливо лишь для частиц с ма­ лыми скоростями по сравнению со скоростью света. При ско­ ростях, близких к скорости света, следует учитывать относи­ тельный характер движения. Обобщение уравнения Шредингера на случай больших скоростей было выполнено П. Дираком

в1929. г.

1.3.'частица в одномерной потенциальной яме

Вкачестве примера определения собственных значений па­ раметров энергии и собственных функций рассмотрим движение частицы в одномерной потенциальной яме с профилем потен­ циальной энергии U = U(x), характеризуемой определенной

за ее пределами простираются в бесконечность. Внутри ямы (об­ л асть// на рис. 1.2) потенциальная энергия постоянна, а так как для нас важны только ее относительные значения, то при­

В зависимости от соотношения энергии частицы и глубины потенциальной ямы необходимо различать два случая: 1) энер­ гия частицы превышает глубину ямы, и, следовательно, частица

с энергией, большей его высоты: частица движется как свобод­ ная. При сильной связи характер движения частицы сущест­ венно изменяется и в пространстве ограничивается областью потенциальной ямы. Отражение частицы от стенок ямы приво­ дит к периодическому движению частицы во времени. Перио­ дичность движения во времени, в свою очередь, обусловливает наложение условий квантования на энергию и импульс частицы.

Нас будет интересовать случай сильной связи, когда EK<CUa. Тогда уравнение Шредингера для области II (см. рис. 1.2) бу­ дет иметь вид

( 1. 10)

( И)

(Случай Ек < 0 не имеет физического смысла.) Поскольку ве­ роятность нахождения электрона вне потенциальной ямы равна нулю, волновая функция W вне интервала 0 < х < L должна быть равна нулю. В силу непрерывности она должна быть так­ же равна нулю в точках х = 0 и х = L. Следовательно, из усло­ вий непрерывности функции W для 4я (х) получаются следующие граничные условия: 4^(0) = W(L) = 0.

Общее решение уравнения (1.10), характеризующее колеба­ тельное движение, будет следующим:

ф„ М = Ап sin $х + Впcos Рл;.

р получаем для уровней энергии (собственных значений) выра­ жение

Соответствующие этим значениям энергии значения волновой функции (собственные функции) будут равны

ф„ М = An sin nnx/L.

Выражение (ФЛЗ) показывает, что энергия частицы в потен­ циальной яме квантуется. Энергетический спектр частицы ди­ скретный. Расстояние между уровнями энергии возрастает с увеличением квантовых чисел и пропорционально разности их квадратов:

При п = 1 уравнение Шредингера дает первое приемлемое ре­ шение, согласующееся с поведением электрона в потенциальной яме, а само решение — некоторое минимальное, не равное нулю значение энергии:

соответствующее основному состоянию движения частицы и основному уровню энергии электрон' Волновая функция основ­ ного состояния имеет вид у¥\(х) = А\ sin(n/L)x. Она ни в какой точке внутри ямы не обращается в нуль и не имеет узлов. Нуле­ вые значения волновая функция имеет лишь на границе ямы

электрона с заданной энергией в данной точке пространства. Как видно из рис. 1.3,6, при п — 1 пребывание электрона в лю­ бой точке по ширине ямы равновероятное, но она стремится к нулю при х = 0 и x = L. При значении п больше единицы внутри ямы появляются места, где вероятность нахождения электрона с заданным значением энергии стремится к нулю. Так, при п = 2 запрещенные области нахождения электрона со­ ответствуют значениям л; = 0, х = L/2 и х = L; при п = 3 х = О, x = L/3, x = 2L/3, x — L и т. д. Это указывает на то, что энер­ гетический спектр частицы дискретен, линейчатый, а значения энергии на каждой линейчатой ступеньке с номером п опреде­ ляются уравнением (1.13).

Таким образом, решение уравнения Шредингера, показывает, что энергия электронов в стационарных состояниях, описывае­

что при уменьшении линейных размеров ямы уменьшается длина волны частицы, соответствующая основному состоя­ нию, а уменьшение длины волны означает рост энергии ча­ стицы.