Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

3.5.4. Параллельное соединение квантовых резисторов

Применим метод Ландауэра для вычисления сопротивления системы из двух квантовых резисторов, соединенных между собой параллельно при помощи идеальных проводников, как показано на рис. 25.

Рис. 25. К расчету сопротивления при параллельном соединении двух квантовых резисторов. Стрелками обозначены амплитуды прошедших и отраженных волн, измеренные вблизи соединений. Фазы, набранные волнами при прохождении каналов, включены в параметры рассеяния

Как мы увидим, при наличии фазовой когерентности в системе (т.е. при L << Lφ ) закон Ома нарушается и в такой геометрии.

Будем считать, что все набеги фазы, обусловленные распространением волн, и сдвиги фаз при рассеянии волн в каналах включены в параметры рассеяния. Тогда симметрия задачи по отношению к обращению времени дает: ti = ti′, i =1,2; а сохранение пото-

Пусть контур цепи пронизывает магнитный поток Ааронова–

Бома Φ (т.е. напряженность магнитного поля H = × A (где A – векторный потенциал) равна нулю всюду в объеме кольца, но цир-

куляция векторного потенциала ∫ A dl = Φ вдоль любого конту-

ра, который охватывает отверстие (см. гл. 4). Тогда амплитуды рассеяния изменяются следущим образом:

потока.

Такое поведение S-матрицы является следствием теоремы Бай- ерса–Янга и Блоха [12], согласно которой локальное калибровочное преобразование волновой функции электрона

41

где rj – координата j-го электрона, а фаза χ определяется условием

A = χ , позволяет исключить векторный потенциал из много-

электронного уравнения Шредингера. Однако в результате такого преобразования изменяются граничные условия для преобразованных волновых функций электронов: эти условия больше не являются периодическими и учитывают изменение фазы волновой функции на δχ = 2πΦΦ0 каждый раз, когда при движении элек-

трона по кольцу его радиус-вектор совершает один полный оборот вокруг оси кольца.

Из теоремы Байерса–Янга и Блоха следует, в частности, что 1) значения фазы Ф и Ф + пФ0, п = ±1, ±2, ..., физически не-

различимы, т.е. все физические свойства системы периодически зависят от магнитного потока с периодом Ф0;

2) этот набег фазы возникает из-за наличия векторного потен-

циала в области проводников, где магнитное поле отсутствует.

Преобразование амплитуд рассеяния в (3.16) фактически учитывает новые граничные условия для волновой функции.

Наконец, для того чтобы найти сопротивление кольца, следует задать S-матрицы для двух узлов, в которых соединяются три идеальных проводника, затем записать все волны, распространяющиеся в кольце, когда на вход (левый контакт на рис. 22) подается плоская волна, и учесть условия сохранения потока электронов на всех рассеивателях. Подробности расчета можно найти в оригинальной работе [13], мы приведем ответ для полной прозрачности системы (для простоты – в одноканальном случае), которая и есть безразмерный кондактанс кольца g||:

где коэффициенты α ÷ε определяются амплитудами раcсеяния:

α = A 2 + B 2 , β = 2Re(AB ),

42

B=t22t1 −t1(1−r2 )(1−r2′),

D = E =t1t2 ,

C =t12 +t22 −(2 −r1 −r2 )(2 −r1′−r2′).

Анализируя результат (3.18)–(3.19), мы обнаруживаем большое разнообразие в поведении этой сравнительно простой мезоскопической системы. Пусть, например, магнитное поле отсутствует, а

одна из ветвей структуры совершенно непроницаема, t1 = 0. Тогда,

как нетрудно видеть, кондактанс системы все еще зависит от характеристик непроводящей ветви и изменяется в широких пределах с изменением фаз амплитуд отражения r1 и r1′. В самом деле, в этом

случае

A = −t2 (1−r1)(1−r1′), B = D = E = 0,

C=t22 −(2 −r1 −r2 )(2 −r1′−r2′),

α= t2 2 (1−r1)(1−r1′)2 , β= 0,

γ= t22 −(2 −r1 −r2 )(2 −r1′−r2′) 2 ,δ = ε = 0.

Полагая здесь r1 = 1, получим Т = 0; с другой стороны, можно добиться увеличения кондактанса квантового проводника, подключая параллельно с ним другой регулируемый проводник очень большого номинала.

Все это многообразие свойств системы обусловлено интерференцией электронных потоков. При Lφ ≤ L интерференция исчезает,

и мы приходим к классической формуле (т.е. к закону Ома) для кондактанса в данной геометрии.

43

4.ЭФФЕКТ ААРОНОВА–БОМА И НЕЗАТУХАЮЩИЕ ТОКИ

ВНОРМАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКАХ

Классическая теория проводимости Друде основана на предположении, что при каждом столкновении электрона вся информация о том состоянии, в котором он пребывал перед столкновением, полностью теряется. Это утверждение, однако, верно лишь для неупругих столкновений, когда ни временные, ни пространственные координаты каждого отдельного акта столкновения непредсказуемы в принципе. При упругих же столкновениях, в отличие от неупругих, изменение фазы волновой функции электрона для каждой конкретной электронной траектории известно заранее, т.е. абсолютно предсказуемо. Последнее обстоятельство является физической причиной явления квантовой интерференции электронных волновых функций на расстояниях, масштаб которых – длина дифейзинга Lφ – определяется механизмами неупругого рассеяния. При Lφ > l это явление приводит к наблюдаемым изменениям, например, в проводимости системы.

Исследуем два таких эффекта – эффект Ааронова–Бома и существование незатухающих токов в нормальных (т.е. в несверхпроводящих) проводниках. Эти явления тесно связаны между собой: оба имеют место в мезоскопических кольцевых структурах, оба обусловлены квантовой интерференцией электронных волновых функций.

4.1. Эффект Ааронова–Бома в металлических кольцах

Рассмотрим более подробно влияние магнитного поля на перенос электронов через проводники кольцеобразной формы при низких температурах, когда фазовая когерентность электронной волновой функции в пределах кольца сохраняется хотя бы частично. Мы увидим, что в этом случае магнитный поток, пронизывающий кольцо, модулирует его прозрачность, причем в этой модуляции присутствуют гармоники не только с периодом Ф0, но и с периодом Ф0/2. Такое поведение прозрачности приводит к осцилляциям кондактанса кольца при изменении напряженности магнитного поля. Мы обнаружим, что при низких температурах и малых значени-

44

ях падения напряжения на кольце амплитуда осциллирующей части кондактанса равна кванту проводимости G0 = 2e2 h на каждый

открытый канал и убедимся в том, что при увеличении хотя бы одного из этих параметров на величину порядка энергии Таулесса эти осцилляции исчезают.

4.1.1. Краткое введение

Эффект Ааронова–Бома (АБ) носит имя ученых, предложивших мысленный эксперимент для иллюстрации влияния магнитного потока на интерференцию электронов в схеме Юнга [14]. Смысл этого эксперимента состоит в том, чтобы показать, что векторный потенциал электромагнитного поля – не математическая абстракция, а вполне реальная физическая величина. На рис. 26 представлена схема эксперимента АБ: две парциальные электронные волны интерферометра огибают область локализации магнитного поля таким образом, что всюду в области пространства, доступной для электронов, напряженность магнитного поля в точности равна ну-

лю, а с ней тождественно равна нулю и сила Лоренца, дейст-

вующая на электроны со стороны магнитного поля.

Рис. 26. Схема эксперимента (а), предложенного Аароновым и Бомом. Магнитное поле в соленоиде экранируется таким образом, чтобы напряженность магнитного поля в области, доступной для электронов, была тождественно равна нулю. Стационарная картина (б) интерференции электронов в плоскости входного зрачка детектора

Однако векторный потенциал, соответствующий такой конфигурации магнитного поля, независимо от выбора калибровки элек-

тромагнитных потенциалов не может обратиться в нуль всюду в

45