Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Вывод формулы Ландауэра

втеории линейного отклика

Вгл. 1 был дан простой вывод формулы Ландауэра для кондактанса квазиодномерного проводника в двухтерминальной геометрии (см. рис. 16, 18). Здесь, следуя [71], мы получим аналогичное соотношение более строго и в более общем случае, когда неупорядоченная область соединяет произвольное число N идеальных полуограниченных проводников (как, например, на рис. П1, где N = 4).

Рис. П1. Четырехконтактная мезоскопическая система с идеальными проводниками 1,…, 4. Рассеяние электронов происходит только в неупорядоченной области (заштрихована).

Cn – сечение nго проводника, yn – координаты точек в этом сечении, xn – координата вдоль нормали к поверхности Cn, внешней по отношению к неупорядоченной области

Для этого сначала воспользуемся стандартной процедурой теории линейного отклика и выведем формулу Кубо (т.е. – соотношение Кубо–Гринвуда для системы невзаимодействующих электронов) для локального тензора проводимости σˆ (r , r′) – тензора, ко-

торый связывает плотность тока в системе j(r) с локальным зна-

чением вектора напряженности электрического поля E(r) :

личину, которая связывает усредненную по пространственным пе-

ной в пространстве напряженностью электрического поля, которую

146

в задаче о статической проводимости можно считать константой. Соответственно,

Это определение понадобится нам в дальнейшем.

Важно подчеркнуть, что перенос заряда в мезоскопических системах является фазовокогерентным на расстояниях порядка длины дифейзинга Lφ l, которая сравнима с размерами всей системы:

Lφ L ; естественно, что именно масштаб Lφ определяет размер области нелокальности функции σˆ (r , r′) в соотношении (П2.1). Однако на практике тензор σˆ (r , r′), зависящий от координат, не

представляет большого интереса. Более полезно знать интегральную характеристику проводящих свойств системы – ее кондактанс G, поскольку как раз эту величину позволяет определить эксперимент: если асимптотические значения потенциалов Vn проводников вдали от области рассеяния неодинаковы, ток Im в m-ом контакте дается глобальной формой закона Ома:

n=1

Пусть рассматриваемая система находится под действием слабого зависящего от времени внешнего электрического поля с на-

пряженностью E(r, t) = − V (r, t), где V (r, t) – соответствующий скалярный потенциал, который для простоты выбирается в виде

Здесь параметр δ характеризует темп включения и выключения возмущения. Важно, что в статическом случае предел ω → 0 следует искать при конечном δ, и лишь затем устремить δ к нулю.

Будем считать, что потенциал V (r) быстро достигает постоян-

ных значений при стремлении координаты от неупорядоченной области вглубь каждого из присоединенных к ней полуограниченных идеальных проводников, так что электрическое поле сосредоточено только в самой неупорядоченной области, где имеет место рассеяние электронов. Поскольку спектр неограниченной системы

147

возмущенного перехода можно занумеровать непрерывной переменной α, а условия ортогональности и полноты, которым удовлетворяет ортонормированная система его собственных функций – состояний рассеяния {ψα (r )} , имеют вид

∫d 3r ψα(r)ψβ(r)= δ(α −β), ∫dαψα(r) ψα(r′)= δ(r − r′).

Плотность тока в проводнике определим из формулы

где ρˆ – матрица плотности системы, удовлетворяющая уравнению

либровочно-инвариантного) дифференцирования.

Для того чтобы вычислить ток в первом неисчезающем приближении по внешнему полю, следует линеаризовать уравнение фон Неймана вблизи равновесного решения:

148

Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию ρˆ(1) →0 при t → –∞, а при t < 0 имеет вид

Переходя в нем к представлению состояний рассеяния, получим соотношение между матричными элементами операторов плотности электронов и плотности тока:

Интегрируя это соотношение по частям, можно выразить матричные элементы Vαβ оператора внешнего возмущения через век-

тор напряженности электрического поля:

Из (П 2.9)–(П 2.12) найдем для плотности тока выражение вида j (r , t) = jω (r ) cos (ωt ), где амплитуда

Наконец, переходя в (П 2.13) к пределу ω → 0, получим формулу Кубо для нелокального тензора проводимости:

(П 2.14)

149

где f ′ ≡∂f ∂ε, знак P предполагает интегрирование в смысле главного значения, а символом обозначено тензорное произведение двух векторов (если a = aαeα ,..., объект a b есть тензор второго ранга с компонентами aαbβ ).

Для вещественной части σˆ(r,r′) из (П 2.13) можно также напи-

Поскольку в отсутствии магнитного поля при εα = εβ мы имеемjαβ (x) = 0 (см. (П2.6)), а нормальная компонента тензора проводимости – вектор σˆ (r , r′) er′ (здесь er′ = r′ r′ – орт направления

радиус-вектора r′) – должна обращаться в нуль на всех непроводящих границах, интергрирование по частям в (П 2.1) позволяет выразить плотности тока через асимптотические значения потенциалов в проводниках, Vn, и потоки тензора проводимости через поперечные сечения Сп (см. рис. 70, где изображен двумерный образец, так что вектор yn имеет всего одну компоненту):

j(r ) = −∫d 3r σˆ (r ,r′) V (r′) = −∑n Vn ∫Cn dynσˆ (r , rn ) ern . (П2.15)

Отсюда, как будет видно далее, следует, что не только токи в проводниках, но и локальные значения вектора плотности тока всюду в системе полностью определяются только асимптотами потенциалов Vn (т.е. различные распределения потенциала V (r ),

имеющие одинаковые асимптоты, дают одинаковые плотности тока). Вычисляя поток вектора j (r ) через поперечное сечение т-го

проводника, для тока, текущего по этому проводнику наружу, получим:

150