Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

dr m

где τ – среднее время упругих столкновений, E – напряженность поля, m – эффективная масса электрона. Подвижность носителей μ определяется как

Таково классическое выражение для проводимости диффузионного проводника с электронным типом проводимости. При этом ток есть результат дрейфа всех электронов в системе.

С другой стороны, при kBT << EF и в пренебрежении электрон-

электронным взаимодействием электронная подсистема представляет собой вырожденный ферми-газ, в котором квазиимпульс – хорошее квантовое число, а все разрешенные состояния ферми-моря заполнены вплоть до k = kF (и E = EF), где

d – размерность пространства, gσ – кратность спинового вырождения, gv – число эквивалентных долин (например, для GaAs при H=0 gσ = 2, gv = 1, так что при d = 2 получим kF = (2πn)1/2, EF = π 2 nm ). Вклад в ток дают лишь электронные состояния с энергиями в интервале порядка нескольких kBT вблизи EF, которые в присутствии

6

электрического поля заполнены анизотропно – так как заполнение более глубоких состояний под действием поля не изменяется.

Записывая плотность тока в виде j = en(υdr υF )υF , где υF = kF m – фермиевская скорость, можно выразить друдевскую

проводимость системы через коэффициент диффузии электронов проводимости и плотность электронных состояний на поверхности Ферми. Например, используя (1.4), при d = 2 имеем:

где l =υFτ – длина упругих столкновений. Мы видим, что проводимость двумерного проводника зависит от отношения длины сво-

кой фундаментальной величины, имеющей размерность обратного сопротивления, e2 h ≈(25,812 kΩ)−1 . В двумерном случае плот-

ность состояний невзаимодействующих электронов не зависит от энергии (см. формулу (2.6) ниже), так что для ее значения на фер- ми-поверхности можно записать:

где νd – плотность электронных состояний на поверхности Ферми, а D – коэффициент диффузии электронов d-мерной системы.

7

1.2. Характерные масштабы расстояний, времен и энергий

Существует несколько важных масштабов длины, времени и энергии, которые естественным образом возникают при рассмотрении мезоскопических систем. Вот их краткое описание.

Фермиевская длина волны электрона λF. При kBT << EF ток в системе обусловлен движением электронов, занимающих состояния с энергиями в узком слое толщины порядка нескольких kBT в окрестности уровня Ферми. Параметр размерности длины, характери-

Этот масштаб зависит только от электронной плотности. Например, в двумерном случае (d = 2) λF = (2πn)12 ; при п 2 1011 cм–2 и

т = 0,067т0, где т0 – масса свободного электрона, получим EF = 7

мэВ, vF 1,95 107 см/с, λF 5,6 10–6 см = 56 нм.

Длина упругих столкновений l. Средняя длина свободного пробега электрона относительно упругих столкновений дается соотношением

Упругое рассеяние электронов происходит на локализованном в пространстве и не-

зависящем от времени потенциале – на-

пример, на статическом потенциале атомов примесей, хаотически распределенных в системе, или на ее неподвижных границах

(рис. 2)

Поскольку подвижность определяется электрическим сопротивлением, l по существу есть мера интенсивности рассеяния назад, а не малоуглового рассеяния. Для

μ=106см2 В с и τ = 3,8 10–11 с для длины свободного пробега и коэффициента диффузии имеем: l = 7,4 10-4см, D = 7,2 103 см2 с.

8

Соотношение длины свободного пробега и характерного размера системы L определяет характер движения носителей заряда, которое, например, при l >> L будет баллистическим, а при l << L – диффузионным.

Длина lε и время τε неупругих столкновений. При рассеянии электронов на колебаниях кристаллической решетки и друг на друге изменяются не только импульсы электронов, но и их энергия. Среднее расстояние между последовательными актами неупругого рассеяния называется длиной неупругих столкновений (lε), а соответствующее время τε =lε υF – временем неупругих столкновений.

Неупругое рассеяние электронов обусловлено взаимодействиями, зависящими от времени – например, электрон-фононным и элек- трон-электронным (рис. 3).

При низких температурах заселены в основном длинноволновые акустические моды фононного спектра, и рассеяние электронов на фононах является малоугловым, а относительное изменение энергии электронов при столкновениях с фононами малó: EE sυF <<1, где s –

скорость звука.

При электрон-электронных столкновениях величина переданной энергии и

соответствующие длина рассеяния и время между столкновениями сильно зависят от разницы энергий электронов до столкновения, а переданный импульс может быть большим, так как во взаимодействии участвуют частицы равной массы.

Время фазовой когерентности τф. Электрон – квантовомеха-

нический объект, которому присущи не только заряд, масса, импульс, энергия и спиновое состояние, но и фаза. Например, в стационарном состоянии с заданным импульсом фаза его волновой

функции ψp (r ) – величина θ = (kr + ϕ(t)) – вполне определена. И

поскольку при интерференции волн, как, например, в классическом опыте по двухлучевой интерференции, полная интенсивность суперпозиции волн не равна сумме интенсивностей компонент:

9

I = A1 + A2 2 = A1 2 + A2 2 + δIint

где ... – операция усреднения по времени, а

δIint = 2 A1 A2 Re{exp i(k1r1 − k2r2 )+i(ϕ1 −ϕ2 ) }

– интерференционное слагаемое, то разность фаз электронных волновых функций может стать существенной. Если эта разность фаз по каким-то причинам изменяется во времени хаотически, результат усреднения интерференционного слагаемого по времени (которое всегда происходит в процессе измерения) обращается в нуль, – ввиду потери фазовой когерентности или, как еще говорят, ввиду

дифейзинга. Как правило,

δIint (t ) exp(−tτφ ),

где τφ – среднее время, за которое интерференционное слагаемое

уменьшается в e = 2,71828… раз, или время фазовой когерентно-

сти (называемое в литературе также временем дифейзинга). Время дифейзинга – самый существенный временной масштаб

мезоскопической системы, и поэтому значительная часть исследований в этой области посвящена выяснению физических механизмов, ответственных за процессы потери фазовой когерентности волновых функций (рис. 4). Здесь важно отметить, что к дифейзин-

гу приводят только неупругие взаимодействия. Это легко по-

нять, вновь обратившись к электронной плоской волне, фаза которой, как известно, линейно зависит от времени: ϕ(t) = Ept +ϕ(0) –

при столкновениях электронов друг с другом, с фононами или с примесями, имеющими внутренние степени свободы (например,

спиновые), их энергия изменяется во времени случайным обра-

зом, что приводит к случайным изменениям фазы волновых функций электронов.

Разумеется, при столкновениях на статических дефектах фаза волновой функции электрона также изменяется. Однако эти изменения не зависят от времени – в том смысле, что они воспроизводятся, как только рассеивающийся электрон вновь движется по той же траектории – и к дифейзингу не приводят.

10