Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

Длина свободного пробега электронов в 2DEG может быть очень большой (> 10 мкм).

Рис. 7 иллюстрирует образование 2DEG в гетероструктуре GaAl–AlGaAs: ввиду того, что ширина запрещенной зоны в AlGaAs больше, чем в GaAs, на границе двух полупроводников возникает скачок потенциала, а в приконтактной области – изгиб зон. При определенной степени легирования n-области на границе полупроводников возникает инверсионный слой.

На рис. 7, с дана реалистическая схема изгиба зон в гетероструктуре металл – p-AlxGa1-xAs – GaAs. Здесь 2DEG образуется в собственном GaAs на границе с p-AlGaAs, а на границе между полупроводником и металлическим электродом возникает барьер Шоттки.

Данные приложения 1 позволяют составить представление о численных значениях некоторых важных величин, характеризующих физические свойства двумерного электронного газа в инверсионных слоях в кремнии и в гетероструктурах GaAs-AlGaAs.

16

2.НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Рассмотрим некоторые свойства систем пониженной размерности, которые необходимо знать для понимания физических явлений в мезоскопических структурах.

2.1. Волновые функции электронов в 2DEG

Найдем энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний электронов в 2DEG в пренебрежении их взаимодействием друг с другом. Считая движение электронов вдоль поверхности раздела свободным (так что переменные в уравнении Шредингера разделяются), направим ось Оz прямоугольной декартовой системы координат в вдоль нормали к плоскости 2DEG и запишем волновую функцию электрона в виде произведения:

где ψ(r ) = exp{i pr } , векторы p и r лежат в плоскости Oxy, а функция χ(z) удовлетворяет уравнению

Здесь ε = E − p2 2m и E − полная энергия электрона с эффек-

тивной массой m . Мы предположили, что потенциальная энергия электрона в 2DEG может быть аппроксимирована треугольным барьером (рис. 8):

Замечая, что уравнение (2.2) задает собственный масштаб дли-

ны

lF = (2meF 2 )−1/3 ,

введем безразмерную переменную

ξ(z) = (z −εeF )lF

изапишем его в стандартном виде:

17

χ/ / − ξχ = 0.

Как легко видеть, (безразмерные) расстояния в этом уравнении отсчитываются от классической точки поворота электрона на треугольном барьере. Его решение, удовлетворяющее граничным ус-

Рис. 8. Поведение зависящей от z компоненты волновой функции электрона, χ(z), в треугольном потенциальном барьере. Масштаб энергии соответствует GaAs при F = 5 МВ/м

Мы видим, что масштаб lF определяет и характер осцилляций волновой функции электрона в классически разрешенной области движения, и темп ее затухания вглубь полупроводника. Собственные значения энергии {εп} определяются из условия Ai (ξ) z=0 = 0 :

18

εn = ( 2e2 F 2 2m)13 ξn ,

где ξ1 ≈ 2,337 , ξ2 ≈ 4,088 , ...

Для постоянных {ξn} справедлива квазиклассическая формула:

при малых п. Например, при n = 1 получим квазиклассическую оценку ξ1 ≈ 2,338.

Каждому значению квантового числа п = 1, 2, 3... соответствуют подзоны свободного движения электрона в плоскости Oxy c за-

коном дисперсии

En,p = p2 + εn . 2m

Рис. 8 иллюстрирует характер локализации волновых функций электрона для n = 1, 2 и 3 вблизи поверхности GaAs.

2.2. Плотность состояний электронов в системах пониженной размерности

Плотность электронных состояний ν(ε) – это количество квантовых состояний электронов, приходящихся на единицу объема системы в единичном интервале энергий вблизи данной. Если Ω – (d-мерный) объем системы, {α} – полный набор квантовых чисел электрона, то

{α}

Как нетрудно видеть, ν(ε) ≡ dn(ε)dε, где п(ε) – полное число

электронных состояний на единицу объема системы с энергией, не превосходящей ε.

Плотность состояний в 2DEG. Для этого случая {α} =

={n,σ,v, p} , где п – номер подзоны размерного квантования, σ –

спиновое квантовое число, v – номер долины электронного спектра полупроводника, p – двумерный импульс свободного движения

19

электрона в плоскости 2DEG. Предполагая спектр электрона вырожденным по проекции спина и номеру долины, получим

Как мы видим, в двумерном случае плотность состояний электронов в пределах каждой подзоны не зависит от их энергии, так что ν(ε) представляет собой последовательность ступеней равной высоты, каждая из которых отвечает возможности заполнения соответствующей подзоны размерного квантования. При низких температурах ( kBT << EF ) в системе заполнены все состояния вплоть

до EF, и число электронов на единицу площади 2DEG линейно зависит от фермиевской энергии:

ns =N gσgvm EF +const, 2π 2

где N – число поперечных мод с εn < EF , а фермиевское волновое число зависит он номера подзоны:

На рис. 9 представлен вид плотности состояний электронов в невзаимодействующем двумерном электронном газе.

Рис. 9. Зависимость плотности состояний электронов от энергии в невзаимодействующем 2DEG. На вставке: ход удерживающего потенциала в направлении поперек плоскости свободного движения. Дискретные уровни соответствуют дну первой и второй подзон размерного квантования электронного спектра

Плотность состояний в квази1D-проводнике. Если двумер-

ный электронный газ заперт в узкий канал (см., например, рис. 10, где проводящий квазиодномерный канал создан на основе 2DEG в

20