Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

которое, как показано в [71], верно и при наличии магнитного поля в системе. Итак, матричный элемент Gmn матрицы кондактанса есть поток локального тензора проводимости между проводниками п и

m. Более того, матрица ˆ полностью определяется исключительно

G

поведением тензора σˆ (r , r′) вдали от области рассеяния, что и позволяет выразить ее в терминах S-матрицы системы. Уравнение непрерывности, которое в статическом случае имеет вид j(r ) = 0, немедленно приводит к закону Кирхгоффа:

Поскольку глобальный закон сохранения заряда (П 2.18) должен выполняться при любых Vn, приходим к правилу сумм:

Выясним, наконец, как именно матричные элементы Gmn выражаются через матрицу рассеяния. Рассмотрим сначала самый простой случай идеального одноканального проводника, когда роль исходящих идеальных проводников 1 и 2 играют левая и правая асимптотические области образца. Согласно выводам гл. 1, ожидаемый результат для двухтерминального кондактанса такой сис-

темы имеет вид G21 = 2e2 h. Для того чтобы получить его из общих

соотношений (П2.14) и (П2.17), выберем в качестве базиса точных состояний рассеяния полную ортонормированную систему собственных функций одномерного идеального провода:

Здесь роль непрерывного индекса α выполняет одномерный

151

Подставляя это выражение в (П 2.14.1), найдем для вещественной части тензора проводимости в пределе ω → 0:

Мы учли, что в этом пределе ввиду двух дельта-функций в исходной формуле для Re{σˆ} вклад в интеграл дают только значения

β = k′ = ±(kF +ωυF ) и α = k = ±kF .

Видно, что в статическом случае σ(x, x′) = 2e2 h и не зависит от

координат, как и должно быть в силу трансляционной инвариантности идеального провода бесконечной длины. Интегрирование по поперечным координатам в (П2.17) в одномерном случае отсутствует, а ex1 ex2 = −1, так что для двухтерминального кондактанса по-

лучим

как и ожидалось. Этот простой пример показывает, что статическая локальная проводимость σ(x, x′) является хорошо определенной

величиной даже в случае, когда рассеяние в системе отсутствует вовсе. Более того, результат (П2.22) для ненулевых частот соответствует бесконечной макроскопической проводимости, определенной в соответствии с (П2.1.1):

где учтено, что при d = 1 плотность электронов n и фермиевская скорость связаны формулой πnm = 2υF . Отсюда, используя соотношения Крамерса–Кронига, можно получить для мнимой части σ(ω): Imσ(ω) = ne2 mω, что соответствует свободному ускорению

всех электронов внешним полем.

Мы видим, что выражение (П2.22) описывает и конечный статический кондактанс идеального проводника, соединяющего два резервуара (см. (П2.23)), и идеальную проводимость (σ δ (ω) ) бесконечного образца.

152

Следуя [71], обратимся теперь к общему случаю мезоскопической системы с п = 1, ..., NL идеальными проводниками (на рис. П1 NL = 4), которые для простоты будут считаться идентичными вдали

от неупорядоченной области. Для произвольной энергии ε каналы проводимости a = 1, ..., N характеризуются значениями продольных проекций волнового вектора ka > 0, определяемых условием

ε = εa + 2ka2 2m,

где εα – дискретная энергия поперечного движения в a-м канале (общее количество открытых каналов в каждом из проводников определяется величиной энергии Ферми этого проводника).

плоским волнам в идеальных проводниках; множитель (2π υa )−12 выбран из условия, чтобы все состояния ψ(a±) (r ) переносили равные потоки при любых α . Далее состояния ψ(a±) (r ) используются для того, чтобы по их асимптотическому поведению в проводнике

Состояние рассеяния ψεna (r ) описывает падающюю волну в

канале a проводника n, которая, рассеиваясь на потенциале неупорядоченной области, формирует исходящие волны во всех каналах всех проводников системы. В (П2.27) Smn,ba −безразмерная ампли-

153

туда рассеяния электрона из a-го канала n-го проводника в b-й канал m-го проводника.

Ввиду выбранной выше нормировки асимптот (П2.25) истинные состояния рассеяния также ортонормированы:

Наконец, состояния рассеяния (П2.27) подставляются в выражение (П2.14.1) в качестве точных ортонормированных состояний системы в отсутствии внешнего поля. Тогда ввиду наличия уже упоминавшихся выше двух дельта-функций интегрирование в этом

сводится к дискретной сумме по индексам проводников и каналов проводимости при ε = ε′ = εF. Соответственно, для коэффициентов матрицы кондактанса будем иметь:

– вклад состояний αβ в исходящий ток на единичный интервал энергии в n-м проводнике. Подставляя сюда асимптотики (П2.28)

состояний рассеяния ψα и учитывая свойство ортонормированности волновых функций поперечного движения, получим

а-м канале n-го проводника. Последняя формула допускает простую физическую интерпретацию: полный исходящий ток в n-м

154

проводнике, приходящийся на единичный интервал энергии, обусловленный падающей волной nа есть разность падающего тока и полного отраженного тока для этой моды (напомним, что заряд электрона есть e). Переобозначая индексы в (П2.32), получим

Чтобы убедиться в унитарности матрицы рассеяния, введенной формулой (П2.27), определим матрицы Snm размерности N×N для каждой пары проводников m и n их матричными элементами в подпространстве каналов:

составленную из N×N субматриц Snm. Для идеального проводника, в частности,

То обстоятельство, что даже в отсутствии рассеяния выражение (П2.37) отлично от единичной матрицы, обусловлен принятым в мезоскопике определением S-матрицы, когда на главной диагонали располагаются не амплитуды прохождения, как принято в стандартных учебниках квантовой механики, а амплитуды отражения. S-матрица, определенная согласно (П2.36), унитарна, т.е. удовле-

что является следствием закона сохранения заряда, который можно записать в виде тождества ∑m Gmn = 0. Используя это выражение

и формулу (П2.32), получим

155