Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012
Рис. 14. СТМ-изображение металлического квантового точечного контакта, созданного на поверхности подложки SiO2 методом рентгеновской фотолитографии. Масштабный отрезок
200 нм
G = |
2e2 |
(νLd ) |
hD |
, |
(3.2) |
h |
2 |
||||
|
|
L |
|
||
g ( L)
где ν – плотность состояний в расчете на один спин, а универсальная константа
2e2 
h ≈ (12,906405… kΩ)−1
имеет размерность обратного сопротивления. Поэтому для кондактанса,
измеряемого в единицах 2e2 
h, получим
|
G(L) |
2 |
|
ETh |
|
|
|
g(L) ≡ |
= hD Ld |
= |
, |
(3.3) |
|||
2 |
|
||||||
|
2e h |
1 νL |
|
δ |
|
||
т.е. безразмерный таулессовский кондактанс (см. п. 1.2).
3.2.Баллистический режим проводимости
вквазиодномерных проводниках
Исторически первый эксперимент по исследованию проводимости двумерного электронного газа с баллистическим сужением (см. вставку на рис. 15) был осуществлен в работе [6], где узкий проводящий канал между двумя полуплоскостями 2DEG реализован с помощью двух управляющих (металлических) электродов (gate electrodes – «ворота»), нанесенных на поверхность GaAs над
2DEG.
Между управляющими электродами и слоем 2DEG подается отрицательное смещение Vg, что приводит к формированию обедненной электронами области в 2DEG в окрестности электродов. Простое варьирование напряжения Vg позволяет непрерывно изменять ширину проводящей области сужения от 0 до 360 нм; при l ≥ 10 мкм и достаточно низкой температуре (Т < 1 К) движение электронов в области сужения является баллистическим.
26
На рис. 15 приведен основной результат этой работы: зависимость кондактанса такой системы
(в единицах 2e2/h) от смещения на управляющих электродах Vg
имеет ступенчатый характер, причем каждая следующая ступенька появляется тогда, когда ширина проводящей области увеличивается на λF/2. Другими словами, кондактанс баллистического сужения квантуется.
Рис. 15. Эксперимент [6]: зависимость кондактанса баллистического сужения от напряжения на расщепленных управляющих электродах
3.3. Квантовые каналы проводимости
Квантование проводимости допускает простое объяснение в рамках теории Ландауэра [7]. Рассмотрим два больших резервуара электронов, разделенных непроницаемым потенциальным барьером, в котором имеется отверстие в форме узкого канала без примесей (рис. 16).
Рис. 16. Узкий проводящий канал, соединяющий два больших резервуара электронов, между которыми имеется разность потенциалов V
Предположим, что площадь отверстия W2 мала, а электрохимический потенциал в системе изменяется на отверстии скачком:
δEF = EF( L) − EF(R) = eV EF(L) , EF(R) ,
так что состояние каждого из проводников можно в первом приближении считать равновесным. Тогда при Т = 0 слева (L) (справа, (R)) заполнены все электронные состояния с энергиями, не превы-
27
Рис. 17. Закон дисперсии электронов в узком проводящем канале, изображенном на рис. 16 (схематически)
шающими энергию Ферми EF(L) (EF(R) ) ,
а перенос заряда между резервуарами осуществляется заполненными состояниями размерного квантования электронов в перемычке (рис. 17). Состояния, распространяющиеся слева направо (kz >
0), заполнены вплоть до энергий EF(L) =
= EF + δμ, где δμ = eV, а состояния, которые распространяются справа налево
– вплоть до энергии EF(R) = EF (выделены
жирными точками). Состояния с бóльшими энергиями не заняты (пустые кружочки).
Для тока всистеме можнонаписать:
|
|
|
|
I = 2∑ |
e |
|
∫ |
dkz |
∂εn (kz ) |
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2π |
|
|
|
∂k |
z |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
kz >0 |
|
|
(k |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e |
1 |
EF +eV |
|
∂kz |
|
|
|
|
∂ε |
n |
z |
|
|
2e |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 ∫EF |
|
dεn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
Nc V , |
(3.4.1) |
||
π |
|
∂εn (kz ) |
|
|
|
∂kz |
|
|
h |
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Nc – число открытых каналов проводимости (на рис. 17 – это разница между числом заполненных поперечноквантованных состояний, бегущих вправо и влево). Здесь, как и всюду ниже, мы считаем gs = 2, gv = 1. Соответственно, для кондактанса системы получаем выражение
G = |
2e2 |
Nc . |
(3.4.2) |
|
h |
||||
|
|
|
При выводе этой формулы неявно предполагалось, что вклады в ток от разных собственных состояний электрона в проводе –
квантовых каналов проводимости – некогерентны между собой
(в такой хаотизации фаз электронов, в частности, состоит роль макроскопических резервуаров).
Мы пришли к очень важному заключению: идеальный квантовый провод (ideal quantum wire) имеет конечное сопротивление
h
(2e2 Nc ), величина которого не зависит от длины провода. По-
следнее, в свою очередь, означает, что даже в отсутствии неупруго-
28
го рассеяния в квантовом проводе протекание тока в системе сопровождается выделением тепла. Однако это тепло выделяется не в идеальном квантовом проводнике, а в объеме макроскопических резервуаров, к которым он присоединен.
3.4. Сопротивление квантового резистора. Формулы Ландауэра
Рассмотрим систему, состоящую из потенциального барьера, который соединен с резервуарами посредством идеальных квантовых проводов (рис. 18). Тогда каждый квантовый канал проводимости характеризуется определенной вероят-
ностью Тn прохождения через этот
барьер. Повторяя вывод предыдущего параграфа, вместо (3.4) получим Рис. 18. К расчету сопротивления
для кондактанса системы:
квантового резистора
|
2e |
2 |
Nc |
|
G = |
|
∑Tn. |
(3.5) |
|
|
h |
|
n=1 |
|
Выражение (3.5) называется двухконтактной (two-terminal) формулой Ландауэра. Оно соответствует такой постановке эксперимента, когда разность потенциалов измеряется между резервуарами, т.е. между теми же электродами, в которых измеряется и ток в системе.
Найдем теперь сопротивление собственно неупорядоченной области (см. рис. 18). Для этого достаточно из полного сопротивления каждого канала h / (e2Tn ) вычесть сопротивление идеального
проводника (который соединен с неупорядоченной областью последовательно), равное h / e2 . Поскольку разные квантовые каналы соединены между собой параллельно, а их вклады некогерентны, для кондактанса Gdis неупорядоченной области получим
|
2e2 |
Nc |
T |
|
||
Gdis = |
h |
∑ |
|
n |
. |
(3.6) |
1 |
−T |
|||||
|
|
n=1 |
n |
|
||
Это – так называемая четырехконтактная (four-terminal)
формула Ландауэра. Смысл последнего термина объясняет схема
29
эксперимента, который позволяет измерить сопротивление неупорядоченной области (рис. 19).
|
Идея свести проблему вычисле- |
|
|
ния проводимости (квази) одномер- |
|
|
ных проводников к решению зада- |
|
|
чи рассеяния электронов на потен- |
|
|
циальном барьере (рис. 20) была |
|
|
высказана Р. Ландауэром задолго |
|
Рис. 19. Измерение сопротивления |
до возникновения физики мезоско- |
|
неупорядоченной области |
пических систем [7] и развивалась |
|
четырехконтактным методом |
||
первоначально на феноменологиче- |
||
|
ском уровне; строгое обоснование формализма Ландауэра было дано много позже (см., например, [8]).
Рис. 20. Проводимость одномерного проводника как задача рассеяния на потенциальном барьере [7]
Приведем здесь простой вывод формулы (3.6), основанный на представлениях Ландауэра. Пусть в потоке электронов, падающих на неупорядоченную область (которой соответствует потенциальный барьер с коэффициентом прозрачности Т), движется n частиц в единице объема. Допуская, что скорости всех электронов одинаковы и равны υ , получим для плотности тока в системе:
j = neυT = neυ(1− R), |
(3.7) |
где R = 1 – T – вероятность отражения электрона. С другой стороны, поскольку в неупорядоченной области реализуется диффузионный режим проводимости, плотность тока связана с градиентом плотности электронов и коэффициентом диффузии обычным соотношением
j = −eD n. |
(3.8) |
Здесь n =(nL −nR )
L, где nL = (1+ R)n, nR = (1 + R)n – плотности электронов слева и справа от неупорядоченной области, L – ее размер. Поэтому n = −2Rn
L. Отсюда и из (3.7), (3.8) найдем
30