Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

рядок средней (по ансамблю последовательностей результатов измерений) квадратичной флуктуации частоты, т.е.

δω0 ≈ (1N ) ∑iN=1(ω−ω0 )2 .

В этом случае отношение сигнал/шум равно единице. Более реальную оценку для δω0 дает результат интегрирования взвешенной спектральной плотности флуктуаций частоты Sω(ω) осциллятора с нормированной передаточной функцией внешней измерительной цепи Н(ω):

Здесь Sω(ω) измеряется в рад/с. Для простоты аппроксимируя Н(ω) прямоугольной передаточной функцией, отличной от нуля в интервале ω0 ±πΔf (где f ≈ 1/2πτ и зависит от длительности интервала времени усреднения измерений τ) с тем же интегральным спектральным весом, можно переписать (8.21):

Вид спектральной плотности Sω(ω) в (8.21), (8.22) зависит от того, какие именно физические процессы приводят к флуктуациям частоты осциллятора, и от конкретного способа ее измерения. Существует несколько физических механизмов флуктуаций фундаментальной частоты в рассматриваемой конструкции NEMSдетектора масс, которые накладывают фундаментальные ограничения на его разрешающую способность. В числе наиболее существенных:

а) флуктуации резонатора, обусловленные тепловым движением составляющих его атомов (термомеханический шум);

б) флуктуации температуры резонатора (ввиду малой теплоемкости флуктуации его температуры могут быть велики);

в) адсорбционно-десорбционный шум – молекулы газа в окрестности резонатора могут адсорбироваться на его поверхность или десорбироваться с нее; при этом эффективная масса резонатора, а с ней и собственная частота его колебаний изменяются случайным образом;

136

г) флуктуации импульса резонатора, обусловленные его взаимодействием с молекулами окружающей газовой среды.

В качестве примера мы, следуя [69], рассмотрим здесь только последний из этих механизмов; анализ остальных вкладов можно найти, например, в [68].

Уравнение движения резонатора, окруженного молекулярным газом низкого давления, имеет следующий вид:

Здесь первое слагаемое в круглых скобках отвечает потерям механической энергии внутри балки, второе – средней силе трения, действующей на нее со стороны молекул газа; Qi – внутренняя доб-

ротность балки, ν = kBT m – тепловая скорость молекул газа,

A = Lw – площадь поверхности балки резонатора, F(t) – дельтакоррелированная гауссова случайная сила (белый шум), описывающая хаотическое взаимодействие осциллятора с окружающей средой. Обозначая через Qgas вклад в добротность резонатора, обусловленный диссипацией его механической энергии в газе: Qgas =Meff ω0ν pA , определим полную добротность устройства со-

отношением Q =(Qi−1 +Qgas-1 )−1 . Случайная сила F(t) полностью характеризуется двумя кореляционными функциями:

Уравнение (8.23) с белым шумом в правой части называется уравнением Ланжевена (см., например, [50], § 118 и далее). Оно, в частности, описывает движение классической частицы в присутствии стохастических тепловых флуктуаций. Заметим, что парный коррелятор шума равен произведению коэффициента трения γ = = 2тω0/Q и температуры – в полном соответствии с флуктуацион-

137

но-диссипационной теоремой ([50], § 124). Последняя, как известно, верна, если среда, с которой взаимодействует рассматриваемая система, находится в состоянии термодинамического равновесия.

Предполагая, что Qi << Qgas и что все флуктуации в системе происходят из-за столкновений балки резонатора с молекулами га-

за, для спектральной плотности флуктуаций случайной силы в

(8.23), (8.24) имеем

Найдем установившееся решение уравнения (8.23) и вычислим при помощи (8.24) и (8.25) спектральную плотность флуктуаций смещения осциллятора:

Sx (ω) ≡ ∫−+∞∞ eiωτ x(t ) x(t + τ) dτ =

Рассчитаем, наконец, минимальную величину сдвига частоты δω0, которую можно зафиксировать при помощи NEMS-детектора, если в системе доминируют флуктуации импульса резонатора, обусловленные его взаимодействием с молекулами окружающей газовой среды. Как уже говорилось, при подобных измерениях в резонаторе детектора предварительно возбуждаются колебания с по-

стоянной среднеквадратичной амплитудой отклонения δx2 .

Флуктуации отклонения балки, которые обусловлены столкновениями молекул газовой среды с ее поверхностью, вызывают флуктуации частоты колебаний резонатора. Для спектральной плотности флуктуаций последней можно написать:

138

гия, которую имеет возбужденный резонатор; эта величина характеризует мощность сигнала на выходе детектора. Для нахождения δω0 следует теперь вычислить интеграл в формуле (8.22), используя выражение (8.27) для Sω(ω). В случае, когда Q >> 1, а 2πΔf << ω0/Q, нетрудно получить

возможная ширина диапазона измерений для устройств рассматриваемого типа имеет порядок ω0/2πQ, поскольку отклик резонатора на зависящие от времени возмущения характеризуется масштабом времени Q2ω0 .

Наконец, для массовой чувствительности детектора получим:

где мы вновь полагаем, что Q ≈ Qgas.

Отношение максимальной энергии на выходе детектора, Ec , к тепловой энергии Eth =kBT представляет собой эффективный ди-

намический диапазон, который определяется только внутренними параметрами наномеханического резонатора. Фактически это – измеряемое по мощности отношение сигнал/шум для случая, когда когерентный колебательный отклик детектора определяется на фоне шума, обусловленного столкновениями молекул газовой среды с поверхностью резонатора. Этот динамический диапазон (Dynamic

139

от давления газа в обоих случаях. Указанный механизм шума становится существенным только при Qgas >> Qi, т.е. при p >> 1 торр для резонатора из кремниевой нанопроволоки и при р >> 10 торр – из кремниевой балки. Ширина диапазона измерений ω0/2πQ ограничена и имеет порядок 104 Гц для Q = 103 и 106 Гц – для Q = 105.

Отметим, что механизм флуктуаций смещения балки, обусловленный рассеянием молекул газовой среды на поверхности резонатора, несуществен, если NEMS-детектор находится в вакууме.

Как показано в [68], выражение (8.30) для фундаментального предела чувствительности NEMS-детектора массы сохраняет свой вид при учете всех существенных механизмов шума. Из него следует, что существует несколько возможностей для увеличения δМ:

1)увеличение массового отклика R . Как видно из определения (8.19), для этого эффективная масса резонатора должна быть как можно меньше, а его рабочая частота – как можно выше;

2)частотный диапазон измерений должен покрывать всю допустимую параметрами системы область спектра;

3)динамический диапазон резонатора должен быть максимально возможным.

140