Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

Вторые слагаемые в правой части представляют собой малые поправки к первым слагаемым. Отметим, что для струны со сво-

бодными концами характерна зависимость ω0 L −2 , а поведение ω0 L −1 свойственно струне, закрепленной с двух сторон. Резуль-

тат (8.17), таким образом, означает, что при увеличении VG поведение нанотрубки как механической колебательной системы претерпевает качественный переход – от режима «свободного» движения к режиму движения закрепленной струны. Для фундаментальной моды этот переход происходит при условии ξL 1, соответст-

вующем переходу от малого изгиба трубки к большому.

Кривая на рис. 76 показывает зависимость частоты фундаментальной моды ω0 = 140 МГц Е-нанотрубки от напряжения VG = 0 при нулевом значении остаточного механического напряжения в ней. Стрелкой отмечена область смены режима.

Рис. 76. Зависимость частоты ω0 фундаментальной моды Е- нанотрубки от напряжения VG для ненапряженной трубки, [64]

Из риунка видно, что зависимость ω0 = ω0 [VG ] имеет ступен-

чатый вид, причем каждая новая ступень возникает в момент, когда на нанотрубку последовательно туннелирует очередной электрон, что хорошо видно на вставке, где ход зависимости ω0 = ω0 [VG ] при

Т0 = 0 дан в увеличенном масштабе. Для Е-нанотрубки высота ступеней имеет порядок 5 МГц и вполне может быть измерена в эксперименте, если частота ω0 превосходит обратное время туннелирования электронов на трубку.

Итак, мы убедились в том, что состоянием нанотрубки в рассматриваемой системе можно манипулировать путем изменения

131

электрического напряжения на управляющем электроде, которое полностью определяет степень ее деформации и величину механического напряжения в ней, а также изменяет частоты собственных механических колебаний нанотрубки.

Отметим в заключение, что рассмотренная модель дает весьма упрощенную картину процессов в системе. Например, механические степени свободы здесь вводятся посредством классической теории упругости и предполагаются бездиссипативными, нанотрубка считается несжимаемой и не имеющей внутренней структуры, не учтены квантовые эффекты более высокого порядка по туннельной прозрачности – например, возможность совместного туннелирования электронов, а также дискретность электронного спектра нанотрубки. Насколько эти предположения оправданы, могут показать только эксперименты.

8.3. NEMS-детектор массы

Успехи полупроводниковых технологий последних лет дают возможность создавать наномеханические резонаторы с фундаментальной резонансной частотой порядка нескольких гигагерц и доб-

ротностью Q =103 105. Эти факторы в сочетании с исчезающей

малой массой подвижных элементов таких устройств обуславливают их рекордную чувствительность к изменениям инертной массы на очень высоких рабочих частотах.

Принцип действия резонансных детекторов массы, которые имеют сегодня широкую область научных и технологических применений, весьма прост: при дискретном изменении массы осциллятора его резонансные частоты также приобретают дискретные сдвиги, величина которых прямо пропорциональна изменению его массы. Лидерами по чувствительности к изменению массы долгое время считались детекторы, в которых фиксировались изменения частот определенных акустических мод фононного спектра кристаллов, [65], тонких пленок, [66], кантилеверов микронных размеров, [67]. Однако, как показали недавние эксперименты [68], детекторы массы на основе вакуумных радиочастотных NEMS значительно превосходят все другие известные устройства такого рода.

132

Они позволяют «взвесить» отдельные электрически нейтральные молекулы сточностью до1 а.е.м.1

Чувствительность резонансных детекторов массы в основном определяется двумя параметрами: а) эффективной массой движущейся части устройства и б) стабильностью резонансной частоты осциллятора на малых и больших временах. Первый из этих параметров зависит от геометрии резонансной структуры и свойств материалов, из которых она изготовлена, второй управляется двумя классами механизмов – внешними по отношению к структуре процессами в цепях преобразования и считывания сигнала, и физическими процессами в самом резонаторе. Причем в случае инерционных детектров массы на основе NEMS - в отличие от устройств, использующих макро- и микромеханические резонаторы - именно фундаментальные флуктуационные процессы в наноструктуре ограничивают их чувствительность.

Рис. 77. Высокочастотный наномеханический резонатор в виде закрепленной с двух сторон балки длиной L, шириной w и толщиной t

В качестве примера рассмотрим здесь резонансный детектор массы, роль сенсора в котором выполняет высокочастотный наномеханический резонатор в виде закрепленной с двух сторон кремниевой балки (рис. 77). Будем считать, что фундаментальная мода в этом случае имеет частоту ν0 = ω0/2π = 1 ГГц и представляет собой изгибные колебания балки в направлении оси Oz. Для описания изгибных колебаний резонатора с частотой, близкой к резонансной,

1 1 а.е.м. (или 1 Да (дальтон)) – внесистемная единица массы, равная 1/12 части массы атома изотопа углерода C12; 1 Да = 1/NA ≈ 1,66 10–27кг.

133

используем модель затухающего гармонического осциллятора, вполне адекватную при Q >> 1. Механический отклик резонатора в этой модели параметризуется специфическими для каждой моды добротностью Q, эффективными коэффициентом жесткости балки (отвечающим ситуации, когда внешняя сила приложена к балке в

ее центре) Keff = 32Et3w/L3 и массой осциллятора Meff = 0,735Ltw [68] (см. обозначения на рис. 77; материал балки предполагается

изотропным). Параметры двух возможных реализаций такого резонатора даны в табл. 1 (где второй столбец соответствует балке из аморфного кремния, третий – балке из кремниевой нанопроволоки).

Таблица 1

Параметры двух реализаций закрепленной с двух сторон балки

с частотой фундаментальной моды изгибных колебаний 1 ГГц

8.3.1. Разрешающая способность NEMS-детектора массы

При резонасном детектировании, как уже говорилось, в резонаторе предварительно возбуждаются стационарные колебания на фундаментальной частоте, после чего производится измерение сдвига амплитуды или частоты этих колебаний под действием изменения физического окружения резонатора. В случае амплитуд-

134

ных измерений для достижения максимального отношения сигнал/шум амплитуду возбуждения выбирают по возможности большой; будем предполагать, что режим линейного отклика при этом все еще выполняется (по грубым оценкам, для этого достаточно, чтобы наибольшее значение среднеквадратичного отклонения бал-

ки удовлетворяло условию δx2 ≤ 0,53 t , где t – толщина балки в

направлении ее колебаний. Для качественных оценок в модели простого гармонического осциллятора достаточно считать точечными и его эффективную массу, и подлежащую измерению величину ее изменения δМ (которое может быть связано, например, с адсорбцией или десорбцией на поверхность осциллирующей балки некой макромолекулы).

Пусть δM << Meff . В линейном приближении по δМ можно записать:

Будем считать, что δM в (8.18) – минимальное изменение массы, которую способен зафиксировать детектор, и назовем эту характеристику устройства его массовой чувствительностью. Видно, что δМ зависит от минимального сдвига частоты резонатора, который может измерить детектор, и от величины обратного массового

отклика системы R −1 .

Пренебрегая изменением коэффициента жесткости балки при изменении ее массы, получим

Следующий вопрос, на который следует ответить для определения разрешающей способности детектора: какова величина наименьшего сдвига частоты δω0, которая может быть измерена в реальной (т.е. зашумленной) системе? Для оценок можно считать, что разрешимыми в принципе являются сдвиги частоты, имеющие по-

135