Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

первое слагаемое – энергия ненапряженного изогнутого бруса, два других суть вклад энергии деформации, обусловленный действием механического напряжения Т0 + Т, где Т0 – остаточное напряжение, которое могло возникнуть, например, в процессе роста трубки, Т – напряжение, связанное с удлинением трубки под действием кулоновских сил со стороны управляющего электрода:

Приближенно считая управляющий электрод бесконечной плоскостью, расположенной на расстоянии R от нанотрубки, для емкости на единицу ее длины с(z) (см. рис. 74) имеем

где разложение в ряд Тейлора верно при условии z << R. В этом случае силами Ван-дер-Ваальса между нанотрубкой и подложкой можно пренебречь. Выражение для электростатической энергии системы довольно громоздко. Мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда емкости потенциальных барьеров CL и CR, соединяющих нанотрубку с левым и правым электродами, пренебрежимо малы (более общая ситуация рассмотрена в [64]).). Полагая также Т0 = 0, получим для WQ:

где VG – потенциал управляющего электрода (потенциал V источника (электрода L) в рассматриваемом приближении не входит в выражение для электростатической энергии, а потенциал стока (электрода R) выбран за начало отсчета), пе – избыточный (квантованный) заряд нанотрубки. В предположении, что заряд распределен по поверхности нанотрубки равномерно, для ее емкости относительно электрода G можно написать:

126

Варьируя функционал полной энергии системы

относительно функции z(x) при постоянном числе избыточных электронов на трубке, получим уравнение для формы нанотрубки, [60]:

где K0 – кулоновская сила, действующая на единицу длины нанотрубки (при z/R << 1 ее можно приближенно считать постоянной). Предполагая, что напряжение T есть константа (мы определим ее позже из условия самосогласования (8.5)), нетрудно найти решение уравнения (8.9) с понятными граничными условиями (z(0) = z(L) = 0, z′(0) = z′(L) = 0):

Подставляя (8.10) в (8.5), найдем связь между напряжением Т в нанотрубке и линейной плотностью внешней силы K0. Эту связь легко получить в двух наиболее интересных предельных случаях:

r < z << R, L. Для каждого их двух этих режимов можно определить также смещение нанотрубки в ее средней точке – величину

127

Для одностенной нанотрубки с r = 0,65 нм, Е = 1,25 ТПа, L = = 500 нм, R = 100 нм (назовем ее Е-нанотрубкой) кроссовер –

изгиба максимальное отклонение формы Е-нанотрубки от прямолинейной составляет znmax = 0,24n23 (нм). Заметим, что этот режим

недостижим ни в одном из существующих субмикронных устройств на основе кремния: все они функционируют только в режиме малого изгиба.

8.2.2. Равновесный заряд нанотрубки

Результатов, полученных выше, недостаточно для сравнения с экспериментом – необходимо установить соотношение между количеством избыточных электронов на трубке и напряжением на управляющем электроде VG. Для этого следует минимизировать

шению к параметру n. В обоих рассмотренных выше предельных случаях мы можем выписать функцию Wneq в явном виде:

Два первых слагаемых в (8.13) отвечают электростатической энергии неизогнутой трубки, а третье слагаемое есть вклад механических степеней свободы – напряжения, изгиба и изменения емкости CG при изгибе трубки. Как правило, это нелинейное наномеханическое слагаемое мало по сравнению с остальными: в Е- нанотрубке оно достигает того же порядка величины, что и вклад от Wst, лишь при п ≈ 3000, когда приближение (8.6) уже неверно. Отрицательный знак наномеханического слагаемого легко объясним: трубка подвижна, и минимум энергии системы при изменении напряжения VG достигается не только за счет изменения заряда трубки, но и посредством изменения ее формы.

128

Из (8.13) для величины п, минимизирующей энергию, получим

ния в круглых скобках, а δ п – малая поправка, которая в режиме большого изгиба ведет себя как VG53.

На рис. 75 показана зависимость смещения средней точки Е- нанотрубки от напряжения на управляющем электроде VG при r =

чета работы [64]). Видно, что при изменении VG поперечное смещение нанотрубки zmax изменяется ступенчатым образом.

Рис. 75. Зависимость смещения средней точки Е-нанотрубки от напряжения на управляющем электроде. Пунктирная кривая получена без учета кулоновских эффектов и влияния механического напряжения.

8.2.3. Собственные частоты механических колебаний нанотрубки

Спектр собственных механических колебаний – важная характеристика системы, которая поддается непосредственному измерению в эксперименте. Как увидим из дальнейшего, кулоновское взаимодействие в рассматриваемой NEMS сильно влияет на упругие свойства входящей в ее состав нанотрубки – настолько сильно, что качественно изменяет ее поведение.

Для того чтобы найти спектр собственных колебаний нанотрубки, можно добавить к постоянному напряжению управляющего

129

электрода малое возмущение, периодически изменяющееся во времени. Теперь поперечное смещение произвольной точки нанотрубки зависит не только от ее продольной координаты, но и от време-

ни, z = z (x,t), поэтому в левой части уравнения (8.9) появляется внешняя сила (−ρS z ), где ρ – объемная плотность трубки, ρ = 1,35

г/см3. Понятно, что по-прежнему форма нанотрубки в основном определяется большой и постоянной во времени компонентой управляющего напряжения и в среднем по времени описывается решением (8.10) статического уравнения (8.9), в котором напряжение Т – по-прежнему константа (8.11), которая определяется из условия самосогласования (8.5). Другими словами, именно большая постоянная составляющая VG определяет величину механического напряжения в нанотрубке.

Уравнение для малого возмущения поперечного отклонения, δz (x,t ), которое развивается на фоне большого статического сме-

щения (8.10), с учетом сказанного имеет следующий вид

а частоты поперечных собственных мод нанотрубки в системе определяются из требования, что это уравнение с граничными условиями δz (0) = δz (L) = 0, δz′(0) = δz′(L) = 0 имеет нетривиальное

решение. В итоге получаем уравнение для собственной частоты:

а параметр ξ определен в (8.10). По причинам, которые мы обсудили ранее, в задачах наноэлектромеханики наиболее интересна так

называемая фундаментальная (наинисшая) собственная мода ω0. В двух предельных случаях, рассмотренных выше, решения уравнения (8.16) для этой моды таковы:

130