Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

шения (7.5) связана с тем, что корреляции между вероятностями прохождения tαβ 2 для разных пар индексов α и β не малы, и ими

нельзя пренебречь. Причина этого факта, повидимому, состоит в том, что прохождение электрона через неупорядоченную область сопровождается большим количеством столкновений с примесями, так что та или иная последовательность актов упругого рассеяния, вообще говоря, может быть общей для множества различных каналов проводимости.

Разумно предположить, однако, что:

разных пар индексов α и β входящих и исходящих каналов слабо коррелируют между собой.

Это предположение вполне резонно, так как:

а) отражение электрона назад в тот резервуар, из которого он стартовал, в подавляющем большинстве случаев происходит после лишь небольшого числа актов рассеяния,

б) поскольку общее число каналов проводимости очень велико: Nc >> 1, вероятность того, что некая цепь столкновений, приводящая к отражению электрона, будет общей для разных пар индексов α и β, пренебрежимо мала.

Заметим, что гипотеза ( ) допускает строгое доказательство

методами квантовой теории поля (см., например, [54]). Теперь нам ясен ход дальнейших расчетов вариации кондактанса:

1)следует, пользуясь законом сохранения вероятности (или, что то же самое, законом сохранения числа частиц), выразить кондактанс системы в терминах амплитуд вероятностей отражения;

2)а затем использовать гипотезу ( ) для вычисления статисти-

ческих средних по ансамблю.

Итак, согласно п. 1 этой программы можно написать:

116

так что для вариации кондактанса будем иметь:

здесь последнее равенство верно в предположении, что вероятности отражения для разных пар индексов α и β не коррелируют между собой.

Квантово-механическое выражение для амплитуды вероятности отражения электрона от неупорядоченной области согласно Фейнману [55] имеет вид суммы по вкладам путей:

i=1

где индекс i = 1, ..., M перечисляет все возможные фейнмановские пути, приводящие электрон из входящего канала α в исходящий канал β, Aαβ (i) – амплитуда вероятности реализации соответст-

вующего пути. На этом языке различные последовательности актов упругого рассеяния электронов могут рассматриваться как статистически независимые фейнмановские траектории. В квазиклассическом приближении эти траектории представляют собой траектории случайных блужданий частицы-электрона от одного столкновения с примесью до другого, в результате которых электрон возвращается в исходный резервуар.

В соответствии с гипотезой ( ) для разных пар индексов α и β траектории, дающие вклад в (7.9), различны. Поэтому при вычис-

i, j,k ,l=1

117

где в промежуточной формуле мы опустили индексы каналов. Отброшенные слагаемые в (7.10) малы по параметру 1/М (предполагается, что все же M >> 1). Поэтому

Принимая во внимание, что средняя вероятность отражения| rαβ |2 не зависит от α и β, из (7.6) и (7.7) получим:

Наконец, из (7.8), (7.11) и (7.12) найдем для среднеквадратичной флуктуации кондактанса 2DEG:

В этой формуле мы восстановили фактор кратности вырождения gv для многодолинных полупроводников. Более строгий рас-

чет, [52], дает результат, отличающийся от (7.13) лишь численным множителем:

Согласно [52] безразмерный коэффициент С, как правило, имеет порядок единицы, но зависит от геометрии проводника. Например, для узкого проводящего канала (W << L) C ≈ 0,73. Впрочем, последнее утверждение неверно для противоположного случая широкого и короткого канала (W >> L), когда C (W/L)1/2.

Параметр β зависит от глобальных симметрий проводника: в отсутствии магнитного поля, когда система обладает симметрией по отношению к обращению времени, β = 1 (для того чтобы наблюдать универсальные флуктуации кондактанса в этом случае, можно, например, варьировать энергию Ферми системы, изменяя плотность носителей заряда в 2DEG, см. п. 1.3); при включении магнитного поля эта симметрия нарушается, и тогда β = 2.

Мы видим, что действительно при Т = 0 среднеквадратичная флуктуация кондактанса диффузионного мезоскопического про-

118

водника не зависит ни от его размеров, ни от длины упругих столкновений и имеет порядок е2/h.

В макроскопически эквивалентных образцах микроскопическое распределение примесей всегда различно. Поэтому хотя в качественном отношении поведение кондактанса при изменении энергии Ферми или во внешнем магнитном поле в каждом из них одинаково, детальное поведение кондактанса каждого образца уникально. А поскольку распределение примесей не зависит от времени, зависимости G(B), G(EF) и им подобные полностью воспроизводятся для каждого образца в каждом повторном эксперименте.

С ростом температуры амплитуда флуктуаций кондактанса уменьшается. Главных причин две:

1)уменьшение длины когерентности электрона Lφ ≡ (Dτφ )12 ;

2)влияние теплового усреднения, которое характеризуется тепловой длиной LT ≡ ( DkBT )12 (см. подробнее в п. 2 главы 1).

8.КВАНТОВЫЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

8.1. Общие характеристики квантовых элекромеханических систем

Это механические резонаторы малого размера (от нескольких микрон для так называемых микроэлектромеханических систем

(microelectromechanical systems, MEMS) до нескольких нанометров (nanoelectromechanical systems, NEMS), сопряженные с электрон-

ными устройствами сопоставимых размеров [56].

Сегодня никого не удивить всевозможными балками, кантилеверами, шестеренками и иными передаточными устройствами, а также мембранами и другими механическими элементами микроэлектронных функциональных систем – они открывают и закрывают технологические емкости, незаменимы для прецезионной ориентации зеркал и антенн, тонкого регулирования величин электрических токов или световых потоков. Результатом дальнейшего развития этой тенденции, приведшего к проникновению твердотельных технологий в область субмикронных размеров, явилось созда-

119

ние устройств следующего поколения, NEMS (рис. 70). Здесь мы ограничимся в основном рассмотрением именно этого класса систем.

Рис. 70. Электронная микрофотография NEMS, построенных на монокристалле кремния посредством электронно-лучевой литографии и последующей микрообработки поверхности: крутильный осциллятор (А), составной крутильный осциллятор (В), последовательность кремниевых нанопроволок (С) и осциллирующее кремниевое сетчатое зеркало (D) [57]

Как показывает эксперимент, при достаточно низких температурах механические степени свободы в квантовых электромеханических системах сильно взаимодействуют с электродинамическими, так что энергия электрического тока в них может почти без потерь переходить в энергию механических колебаний и обратно. Примером может служить кантилевер (закрепленная с одного конца микроили наноскопическая балка) или мост (та же балка, закрепленная в обоих концах), которые электростатически связаны с одноэлектронным транзистором (SET) [58].

Хотя механический резонатор имеет втрое больше собственных мод, чем атом, во взаимодействии с электронным устройством, как правило, участвуют лишь несколько изгибных мод наименьшей энергии {νm}. И если добротности этих мод не малы ( Q = ωτd >>1,

где ω – частота собственного колебания, τd – время его затухания),

120