Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

Хорошо видно, что при уменьшении плотности электронов в 2DEG в интервале температур ~0,1÷2 К существует некое критическое значение плотности носителей ns = nc ≈ 0,9 1011 см–2, при котором металлический тип проводимости dρdT > 0 (нижние кривые

на рис. 67, б) сменяется диэлектрическим dρdT < 0 (верхние кри-

вые на рис. 67, б).

Аналогичная закономерность наблюдалась и в работе [49]. Интересно, что критическое значение ρс удельного сопротивления 2DEG (при ns = nc) для всех исследованных систем имеет порядок кванта сопротивления: ρc he2 .

Заметим, что зависимости на рис. 67, б получены при T > 0 и не имеют прямого отношения к предсказаниям скейлинговой гипотезы локализации, которая, если и справедлива, то лишь при абсолютном нуле температуры. Поэтому:

а) прямая ее проверка принципиально невозможна; б) возможны, по крайней мере, два противоположных сценария:

1)для двумерных систем низкой плотности, где кулоновское взаимодействие носителей заряда велико, скейлинговая теория локализации неверна; в таких системах при Т = 0 с изменением электронной плотности имеет место (квантовый) фазовый переход ме- талл–изолятор; диэлектрическая фаза устойчива и в области конечных температур, где ее сопротивление имеет активационный характер (см. пучок кривых на рис. 67, б при ns < nc);

2)2DEG с любой плотностью носителей при Т = 0 является

изолятором, а «металлическое» поведение кривых при ns > nc является результатом «игры» кулоновского взаимодействия электронов

всистеме и беспорядка. В этом случае при температурах, более низких, чем достигнутые в экспериментах [48, 49], должна происходить смена режима проводимости с «металлического» на диэлек-

трический (т.е. при Т → 0 падение удельного сопротивления на кривых с ns > nc должно смениться (неограниченным) ростом.

Вопрос о том, реализуется ли в природе один из этих сценариев, или в действительности происходит нечно иное, в настоящее время открыт.

111

7. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ПРОВОДИМОСТИ

Для того чтобы получить первоначальное представление о проблеме, рассмотрим ансамбль хороших мезоскопических проводников (g 1) с одинаковыми линейными размерами L (l << L << Lφ),

изготовленных из одного и того же материала (так, что средняя объемная плотность примесей во всех образцах одна и та же).

Пусть G – кондактанс, характеризующий этот ансамбль (эта величина зависит от микроскопической конфигурации примесей и флуктуирует от образца к образцу, но мы опускаем индекс, нуме-

рующий образцы). Пусть G − средний кондактанс ансамбля, а вариация кондактанса (т.е. квадрат его средней квадратичной флуктуации) определена обычным образом:

Var (G ) ≡ δG2 = (G −G)2 = G2 −G2 .

Мы могли бы предположить, что кондактанс каждого из проводников ансамбля определяется микроскопическим расположением примесей на масштабе расстояний порядка длины упругих столкновений l. Тогда каждый проводник можно представить как

совокупность из N = (Ll )d статистически независимых подсистем,

и ток в системе, переходя в процессе своего прохождения от одной независимой подсистемы к другой, эффективно усредняется по множеству различных реализаций примесного потенциала. При

танса – по закону больших чисел должна иметь порядок 1 N ,

[50], и, соответственно, вполне определенным образом зависеть от размерности образца и его линейного размера:

удовлетворяет закону Ома, G = σLd −2 , получим, что вариация кон-

112

дактанса в силу (7.1) должна зависеть от линейного размера проводника степенным образом:

Из (7.1)–(7.2) также следует, что амплитуда флуктуаций кондактанса должна зависеть от степени беспорядка, которая определяет длину упругих столкновений, и при d < 4 исчезать в макроскопическом пределе L → ∞.

Эксперимент (рис. 68), однако, не подтверждает ни одного их этих предсказаний. Оказывается, кондактанс мезоскопического проводника не является самоусредняющейся величиной, а

его флуктуации около среднего значения в области достаточно низких температур вообще не зависят от степени беспорядка (т.е. от длины упругих столкновений электронов), но определяются только геометрией образца. Поэтому говорят, что флуктуации

кондактанса мезоскопических проводников являются универсальными [51].

Рис. 68. Апериодические изменения магнитокондактанса двух различных мезоскопических систем: золотого кольца (а) и 2DEG в кремниевой МОП-структуре (б), [52]. Их кондактанс отличается на несколько порядков величины, однако амплитуда флуктуаций в обоих случаях имеет порядок е2/h

На рис. 68 приведены результаты измерения зависимости кондактанса от индукции магнитного поля для двух проводников совершенно разной природы, средний кондактанс которых отличается на несколько порядков величины [52].

113

Обратим внимание на то удивительное обстоятельство, что в обоих случаях амплитуда флуктуаций одинакова, она не зависит от степени беспорядка и имеет порядок кванта кондактанса в расчете на один спин:

Более того: непериодические изменения кондактанса, наблюдаемые при изменении магнитного поля, являются полностью воспроизводимыми и представляют собой уникальную характеристику каждого конкретного образца – его своеобразный «отпечаток пальца». Именно этот факт подсказывает нам, что такое поведение кондактанса есть ни что иное, как результат действия магнитого поля на картину интерференции электронов проводника, движущихся в статическом случайном поле примесей. Ясно также, что возможны и другие способы обратимого изменения условий для интерференции электронных волновых функций, позволяющие наблюдать универсальные флуктуации кондактанса – например, варьирование энергии Ферми проводника, [53].

Далее, следуя [54], мы обсудим простую качественную интерпретацию универсальных флуктуаций кондактанса мезоскопических проводников при Т = 0. Для этого обратимся вновь к классической формуле Друде для кондактанса 2DEG, которую с учетом (1.5), (3.1) (и для простоты полагая gv = 1) запишем в виде

Здесь Nc – число состояний поперечного квантования или, другими словами, количество одномерных подзон, занятых электронами на поверхности Ферми двумерного проводника шириной W.

Запись (7.4) помогает перейти от локального описания проводимости 2DEG, уместной в случае, когда мы имеем дело с хоро-

шим металлом с малой длиной дифейзинга ( Lφ ≤ l ), к описанию

Ландауэра с его представлением о квантовых каналах проводимости, которое относится к мезоскопическому случаю, Lφ l, и по-

зволяет выразить кондактанс в терминах амплитуд прохождения

114

для электронных состояний с энергией, равной энергии Ферми (см.

гл. 3).

В данном случае L >> l, и полная вероятность прохождения (во все исходящие каналы) для всех входящих каналов проводимости, дающих вклад в ток, в среднем одинакова; согласно (7.4) и (3.5) она равна πl2L . Нас, однако, интересуют флуктуации кондактанса

около этого среднего значения, которые можно проанализировать, основываясь на многоканальной формуле Ландауэра (3.5). Для удобства мы воспроизведем ее здесь еще раз:

где tαβ – амплитуда вероятности прохождения электрона из входящего канала α в исходящий канал β.

На рис. 69 показана неупорядоченная область (заштрихована в центре рисунка), в которой электроны испытывают только упругие столкновения. Она соединена идеальными проводами с резервуарами электронов L и R. Входящие квантовые каналы (или поперечные волноводные моды системы) нумеруются индексом α, исходящие (состоящие из прошедшей и отраженной волн) – индексом β.

Рис. 69. Неупорядоченная область (заштрихована в центре), входящие (α) и исходящие (β) квантовые каналы проводимости

Напомним, что в теории Ландауэра предполагается, что резервуары L и R находятся в состоянии термодинамического равновесия; предполагается также, что, попав в любой их этих резервуаров, электроны испытывают не только упругие столкновения, но и неупругие, и что эти последние полностью хаотизируют фазу электронных волновых функций, так что все Nс электронных мод, дающих вклад в ток, не когерентны между собой.

Как мы уже отмечали, усредненная по ансамблю вероятность прохождения электронов | tαβ |2 в (7.5) не зависит от α и β, так что

согласно (7.4) и (7.5)

115