Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012
Рис. 65. Магнитосопротивление тонкой неупорядоченной пленки Mg при разных температурах [46]
Итак, разрушение слабой локализации электронов магнитным полем в массивных образцах обусловлено разбросом площадей петель, описываемых интерферирующими электронами.
6.3. Скейлинговая гипотеза локализации
Как показано в [47], анализ поведения кондактанса неупорядоченной системы при масштабных преобразованиях позволяет при определенных предположениях установить характер изменения ее проводимости с изменением степени беспорядка. Точнее, авторы [47] предположили, что поведением кондактанса системы при из-
менении ее размеров при Т = 0 и в пренебрежении кулоновским взаимодействием управляет один единственный параметр – сам контактанс. Для того чтобы выразить количественно это предположение, по понятной причине называемое в литературе гипотезой однопараметрического скейлинга, рассмотрим d-мерный образец неупорядоченного проводника в форме гиперкуба со стороной bL и объемом (bL)d, состоящий из (b)d гиперкубиков, каждый со стороной L и (безразмерным) кондактансом g(L). Тогда, следуя [47], для кондактанса g(bL) составного гиперкуба можно написать:
g(bL) = f (b, g (L)), |
(6.23) |
где f – неизвестная функция. Последнее уравнение удобно переписать в дифференциальном виде. Запишем для этого b = 1+ α, про-
106
дифференцируем обе части (6.23) по параметру α и затем устремим его к нулю. Получим:
d ln g (L) =β(g (L)). (6.24) d ln L
Здесь β – так называемая скейлинговая функция, которая согласно исходному предположению является универсальной, т.е. не зависит от материальных параметров системы, но чувствительна к ее глобальным симметриям (например, к инвариантности по отношению к обращению времени). Ее смысл особенно ясен в случае, когда кондактанс системы зависит от ее размера степенным обра-
зом: g(L) = const Lζ ; из (6.24) следует, что тогда функция β есть
показатель степени в этой зависимости: β = ζ.
Вид скейлинговой функции не может быть определен при помощи масштабных преобразований; однако нетрудно найти ее асимптоты при очень больших и очень малых значениях кондактанса.
В самом деле:
а) при больших g система имеет металлическую проводимость, которая описывается классической формулой Друде:
g(L) = σD L d −2 , |
(6.25) |
где, напомним, σD = ne2l
kF – классическая проводимость. Под-
становка (6.25) в (6.24) дает в пределе очень больших g: |
|
β(g ) g → ∞ → d − 2. |
(6.26) |
Учет квантовых поправок к проводимости (6.15) позволяет распространить эту формулу на область слабой локализации и получить:
β(g ) = d − 2 − |
Cd |
, |
(6.27) |
|
|||
|
g |
|
|
где Сd > 0 – безразмерная постоянная, зависящая от эффективной размерности образца. Для этого следует:
- учесть, что при Т = 0 вклад неупругих столкновений электронов в длину когерентности обращается в нуль и, предполагая, что в этом случае сбой фазы электронных волновых функций обусловлен
107
рассеянием электронов на поверхности образца, подставить в (6.15) вместо Lφ размер образца L;
- для каждого значения d выразить полученные поправки к кондактансу в терминах самого кондактанса (см. подробности в [37]); б) разумно предположить, что при малых g система любой размерности находится в режиме сильной локализации, а ее кондактанс
экспоненциально убывает с ростом линейного размера образца:
g(L) = g0 exp(−αL) β(L) = ln (g g0 ), |
(6.28) |
где g0 e2 
– константа.
Используя асимптоты (6.27), (6.28) и предполагая, что функция β непрерывна и монотонна, можно построить ее график, например, в зависимости от lng (рис. 66). Как видно из рисунка, поведение скейлинговой функции β существенным образом определяется эффективной размерностью системы.
В частности, при d = 3 существует система с таким значением g = = gc 1, для которой β = 0. Физические параметры этой системы таковы, что ее кондактанс не изменяется при изменении размеров об-
разца, что соответствует точке фазового перехода металл–изолятор, имеющего место в системе при изменении степени беспорядка – так называемого перехода Андерсона (в отличие от перехода Мотта, обусловленного межэлектронным взаимодействием). В терминологии теории скейлинга точка g = gc классифицируется как не-
устойчивая фиксированная точка. Дело в том, что при переходе через эту точку характер зависимости кондактанса трехмерной системы от ее размера претерпевает драматическое изменение:
1) при как следует из рис. 66, скейлинговая функция
β < 0, и кондактанс образцов падает с ростом их размера (что соответствует локализации электронных волновых функций и не-
108
металлическому типу проводимости), т.е. система уходит от точки g = gc в область меньших g;
2) при g > gc функция β > 0, и при увеличении размеров системы ее кондактанс растет (и она, таким образом, уходит от точки g = gc в область бòльших g), т.е. волновые функции электронов в ней делокализованы, а тип ее проводимости – металический.
При d ≤ 2 согласно рис. 66 все одноэлектронные состояния в системе при сколь угодно малой степени беспорядка должны быть локализованы, т.е. если гипотеза однопараметрического скейлинга применима к реальным системам, одно- и двумерные «металлы» настоящими металлами не являются.
Хотя строгость рассуждений [47] нельзя назвать безупречной, эксперимент до недавнего времени не давал оснований сомневаться в справедливости скейлинговой гипотезы локализации. Однако последние исследования низкотемпературной проводимости 2DEG
вкремниевых МОП-транзисторах на эффекте поля (Si MOSFETs)
[48]и позже – двумерного дырочного газа в GaAs p-типа [49] позволили обнаружить явление, которое до настоящего момента называется в литературе «возможным переходом металлизолятор в
2DEG».
Эксперименты [48, 49] имеют общую особенность: степень упорядоченности полупроводниковых материалов, которые применялись для реализации 2DEG, и качество поверхностей раздела пленок с разным типом проводимости были в них рекордно высокими, что позволило выполнить измерения сопротивления 2DEG при значительно более низких плотностях носителей заряда, чем это было возможно ранее.
Как показали последующие оценки, плотности электронов (и дырок), созданные в этих установках, соответствуют режиму, в котором энергия кулоновского взаимодействия между носителями в десятки раз превышает фермиевскую энергию полупроводника, (которая, грубо говоря, имеет порядок их кинетической энергии).
Например, при плотности электронов ns =1011 см−2 в кремниевом МОП-транзисторе на эффекте поля энергия кулоновского отталки-
109
вания электронов Uc e2 (πns )1
2 
ε 10 мэВ, тогда как энергия Ферми в кремнии EF = πns 2 
2m 0,55 мэВ. Последнее означает,
что кулоновское отталкивание электронов в таких системах является доминирующим взаимодействием, а вовсе не малым возмущением.
На рис. 67, а приведена зонная диаграмма кремниевого полевого МОП-транзистора, представляющего собой металлический электрод в виде тонкой алюминиевой пленки, напыленной на слой окисла SiO2, находящийся на поверхности слаболегированного кремния p-типа, который служит источником электронов. При достаточно большой разности потенциалов Vg, управляющей изгибом зон в полупроводнике, вблизи его поверхности возникает одномерная потенциальная яма, которая удерживает электроны в двумерном слое, ориентированном перпендикулярно плоскости рисунка. На рис. 67, б показан основной результат работы [48] – температурная зависимость удельного сопротивления 2DEG c очень высокой подвижностью электронов (т. е. с очень малой концентрацией атомов примести) для различных плотностей электронов.
Рис. 67. Зонная диаграмма кремниевого полевого МОП-транзистора (а) и удельное сопротивление 2DEG в кремниевом полевом транзисторе как функция абсолютной температуры для различных плотностей электронов (б)
110