Документ: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012, страницы 101-105

Рис. 62. Схема изменения импульса электрона, диффундирующего с постоянной энергией в проводнике

с примесями, при переходе k → −k по двум траекториям (1 и 2), которые переходят друг в друга при обращении времени:

k →k1′→k2′ →k3′ →−k , k →k1′′→k2′′→k3′′→−k

Пусть в точке А (рис. 63) расположен источник, когерентно испускающий волновые пакеты, которые затем распространяются

вдоль лучевых трубок (путей) толщины λF (и сечением λFd −1 ), ведущих в точку В. За интервал времени dt электрон проходит расстояние υFdt и заметает объем трубки dΩd = λdF−1υFdt. Тогда вели-

чина d (δσσ(Dd ) ) к моменту времени t от начала процесса диффу-

зии пропорциональна отношению dΩd Ωdiffd (t), где Ωdiffd (t) есть максимально доступный к этому моменту объем для диффундирующей частицы (см. (6.4)).

Рис. 63. Реализация траектории с самопересечением в процессе диффузии электрона в неупорядоченном проводнике

Соответственно, полную вероятность самопересечения лучевой трубки, а с ней и величину относительного уменьшения проводимости δσ σ(Dd ) можно оценить как

δσ	τφ	dΩ	d	τφ		dt
	−∫		d	= −λFd −1υF ∫					.	(6.13)
(d )	−∫	d	(t)	= −λFd −1υF ∫	(Dt )	d 2	b	3−d	.	(6.13)
σD	τ	Ωdiff	(t)	τ	(Dt )		b

Здесь σ(Dd ) = σDb3−d ( σ(D2) – проводимость на единицу площади тонкой пленки, σ(D1) – проводимость на единицу длины проволоки),

101

друдевская проводимость трехмерной системы σD дается формулой (1.3), b – толщина пленки при d = 2 или диаметр проволоки при d = 1 (см. ниже). В качестве нижнего предела в (6.13) взято время τ, поскольку диффузия начинается только на временах, бóльших времени между столкновениями; верхний предел, естественно, есть время сбоя фазы – на бóльших временах нет квантовой интерференции. Выполняя интегрирование в (6.13), получим:

		1			Lφ
								−	1			,
		(kFb)		2		l		−	1			,
		(kFb)				l
δσ		1								τφ
δσ		1					ln			τφ			,

σ(Dd )		(kFl )(kFb)									τ
		1						l
	−	1						l
					1	−					,
			2		1	−					,
		(kFl)	2
		(kFl)						Lφ

d =1;

d = 2;

(6.14)

d = 3.

В (6.14) длина сбоя фазы Lφ = Dτφ ≈ l τφ τ >> 1 и зависит от температуры степенным образом: Lφ T − p/2 , p > 0. Мы видим, что

при любой размерности образца δσ < 0 и с уменьшением температуры растет по абсолютной величине, т.е. сопротивление системы при Т → 0 увеличивается. И хотя квантовые поправки (6.14) малы по параметру λF l <<1, с уменьшением (эффективной, см.

ниже) размерности системы их роль возрастает: если при d = 3 предел проводимости при Т → 0 конечен, то при d = 2 в этом пределе δσ расходится логарифмически, а при d = 1 – расходится степенным образом.

В силу (6.14) для абсолютной величины проводимости можно написать:

			L ,			d =1;
	e	2	φ
δσ(T ) −	e		2ln	(Lφ l ),		d = 2;	(6.15)
δσ(T ) −			2ln	(Lφ l ),		d = 2;	(6.15)
					,	d = 3.
			const − Lφ−1		,	d = 3.

На рис. 64 показана зависимость сопротивления от температуры для тонкой пленки неупорядоченного сплава AuPd, [45], которая подтверждает результат (6.15) для d = 2.

102

Рис. 64. Зависимость сопротивления от температуры для тонкой пленки неупорядоченного сплава AuPd [45]

Важно иметь в виду, что параметр d в (6.13)–(6.15) означает не физическую, а так называемую эффективную размерность системы. Физически трехмерный образец вполне может вести себя с точки зрения мезоскопики как двумерный или одномерный. Действительно, если толщина пленки или диаметр проволоки b много меньше длины когерентности (b << Lφ), то диффундирующий электрон за время τφ успеет много раз пройти вдоль короткого размера системы от одной ее границы до другой. При этом вероятность обнаружить его в любой точке по толщине пленки или в любой точке поперечного сечения проволоки будет одна и та же. Но это значит, что при подсчете максимально допустимого объема в (6.13) мы должны считать такую пленку двумерной, а проволоку – одномерной!

Отметим в заключение, что и предположение 3 о пренебрежимой малости электрон-электронного взаимодействия в мезоскопических проводниках неверно, и кулоновское отталкивание электронов приводит к целому ряду важных эффектов. В частности, в диффузионном режиме оно является причиной уменьшения плотности электронных состояний вблизи уровня Ферми и возникновения соответствующих квантовых поправок к проводимости (см., например, [37]).

6.2.3. Слабая локализация в магнитном поле

При включении внешнего магнитного поля инвариантность уравнения Шредингера для электронов относительно обращения времени нарушается, и парные амплитуды (обозначим их А1 и А2) приобретают разные фазовые множители:

103

e

Φ

A1

→ A1 exp i

Adr

=

A1 exp i2π

,

c ∫

Φ0

(6.16)

e

Φ

A2

→ A2 exp −i

Adr

=

A2 exp −i2π

,

c ∫

Φ0

где Φ = BS – магнитный поток, пронизывающий петлю, S – проекция площади петли на плоскость, перпендикулярную направле-

нию индукции магнитного поля B. Мы видим, что в магнитном поле между вкладами парных траекторий появляется разность фаз

	(	Φ	0 )
Δϕ = 4π Φ		Φ	.

Если движение электронов ограничено тонкой пленкой на поверхности цилиндра (см. рис. 28), мы возвращаемся к ААСосцилляциям магнитосопротивления с периодом Ф0/2 (см. п. 4.1). В массивном проводнике ситуация иная: площадь петли, описы-

ваемой

электроном,

можно

оценить как

S

r2 (t ) , где

r2 (t )

= Dt – средний квадрат расстояния, на которое диффунди-

рующая частица сместится за время t. Поэтому

Δϕ(B,t ) = 4π

BS

≈ 2π

B r2

≈ 2π

BDt

.

(6.17)

Φ0 2

Φ0

2

Соответственно,

1+cos(Δϕ) ,

A + A

2 = 2

A

2

(6.18)

1

2

и поскольку у всех диффузионных траекторий электронов площади петель S разные, магнитное поле уменьшает интерференционную добавку к вероятности самопересечения электронных траекторий, т.е. способствует проводимости.

Отметим, что изменение фазы волновых функций, (6.16), – не единственный результат действия магнитного поля: направление силы Лоренца для каждой пары когерентных траекторий взаимно противоположно, и поэтому при каждом столкновении с примесью углы рассеяния электронов отличаются на величину порядка

δθB = lRB = ωB τ,

104

где RB – циклотронный радиус, ωB – циклоторонная частота. Предполагая, что δθB << 1, мы пренебрежем этим эффектом.

Интерференция начинает разрушаться при таком значении индукции магнитноого поля B = Bφ, что при t = τφ в (6.18) Δϕ 1. Отсюда

Bφ =	c	(Dτφ )−1 .	(6.19)
	2e

Легко убедиться, что при B = Bφ условие δθB << 1, которое позволяет пренебречь силой Лоренца, действительно выполняется.

Если индукция магнитного поля больше величины, определяемой (6.19), условие Δϕ ≥ 1 начинает выполняться при длительностях замкнутых траекторий, меньших времени когерентности. Соответствующий временной интервал называется магнитным вре-

менем:			c	1
Δϕ(B,t )		=1 τB =			,	(6.20)


	t =τB		e 2BD
			e 2BD

а среднее расстояние, на которое сместится диффундирующий электрон за магнитное время, называется магнитной длиной:

	lB2		c 1 2
τB =		lB =		.	(6.21)
	D
			2eB

В области достаточно сильных магнитных полей – таких, что τB << τφ - магнитное поле становится определяющим фактором

дифейзинга, и в оценке (6.13) следует заменить верхний предел с τφ на τB; тогда

						Lφ			, d = 2;
	e2	2ln
		2ln
δσ(T, B) −δσ(T,0) ≈						lB			(6.22)
			1				1

					−			,	d = 3.
		l		B	−		L	,	d = 3.
		l					L
							φ

Этот результат многократно подтвержден экспериментально. На рис. 65 приведены данные работы [46], где была исследована зависимость сопротивления пленок Mg от магнитного поля при различных температурах образцов.

105

Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

Смотрите также: