Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

этой области, так как по теореме Стокса ∫ A dl = Φ ≠ 0 вдоль

любого замкнутого контура, который охватывает соленоид. А это значит, что магнитное поле, локализованное в области пространства, недоступной для электронов, влияет, тем не менее, на величину фазы их волновых функций. В самом деле, ведь наличие векторного потенциала изменяет канонический импульс электрона p со-

гласно формуле

где v – скорость электрона. Поэтому набег фазы волновой функции электрона при прохождении им некой траектории L, парамет-

содержит вклад от кинематической скорости электрона и слагаемое ΔϕA , обусловленное векторным потенциалом:

Поэтому каждому полному обороту электрона по любой замкнутой кривой, один раз охватывающей область локализации магнитного поля, соответствует набег фазы его волновой функции, равный

2π×(вложенный магнитный поток Ф, измеренный в единицах кванта потока Ф0).

Как легко понять, формула (4.3.2) дает разность фаз электронов, приходящих на детектор (см. рис. 26) по любым двум траекториям, принадлежащим разным плечам интерферометра (типа 1 и 2 на рис. 27). Но поскольку изменения фазы, равные друг другу по модулю 2π, физически неразличимы, все эффекты в системе, зависящие от вложенного магнитного потока (который принято назы-

46

вать потоком Ааронова–Бома, или АБ-потоком), зависят от него периодически, с периодом в один квант потока.

Рис. 27. Эффект Ааронова–Бома в кольцах нормальных металлов:

а – интерферирующие траектории электронов, ответственные за осцилляции кондактанса G(Φ) с периодом h/e; б – траектории, переходящие друг в друга при обращении времени, дающие вклад в осцилляции G(Φ) с периодом h/2e (эффект Альтшулера–Аронова–Спивака)

Для случая электронной интерференции в вакууме эффект АБ был доказан экспериментально в работе [15]. Его убедительные подтверждения дает и физика твердотельных мезоскопических систем.

4.1.2.Эффекты Ааронова–Бома

иАльтшулера–Аронова–Спивака в твердом теле

Рассмотрим электроны в металлической АБ-структуре при l < L < Lφ , где L – длина окружности АБ-структуры. Такие условия

электронного транспорта способствуют интерференции электронных волновых функций и поэтому называются режимом квантовой диффузии.

В отличие от классической постановки АБ-эксперимента, в мезоскопических двусвязных системах магнитное поле, как правило, не сосредоточено только в центральной части кольца, а проникает внутрь проводящей области. Несмотря на такое существенное различие, термин «АБ-эффект» применяется и в этом случае.

На рис. 27 изображены два типа траекторий электронов, которые дают вклад в интерференционное слагаемое: соединяющие

47

вход и выход кольца в измерительной цепи (рис. 27, а) и пути, по которым электроны возвращаются на вход системы (рис. 27, б). Распространяясь по траекториям первого типа, электроны преодолевают расстояние порядка L/2 от входа до выхода кольца вдоль одной из полуокружностей – «левой» 1 или «правой» 2. Включение магнитного поля изменяет разность фаз между путями 1 и 2 на 2 каждый раз, когда вложенный магнитный поток увеличивается на один квант потока:

Пусть А1 и А2 – амплитуды парциальных электронных волн, которые после рассеяния на входном контакте кольца начинают распространяться по траекториям 1 и 2 соответственно. Тогда, если дифейзинг отсутствует, коэффициент прозрачности кольца равен

Мы видим, что вклады траекторий первого типа (см. рис. 27, а) взаимно когерентны и поэтому изменяют вероятность рассеяния электронов на кольце вперед. Соответственно, прозрачность кольца, а с ней и его кондактанс осциллируют при изменении вложенного магнитногопотока спериодом 0 hec. Это и есть эффект АБ.

В идеально симметричном кольце A1 A2 12, поэтому ам-

плитуда осцилляций интерференционного слагаемого в кондактан-

се (с учетом спинового вырождения) составляет G0 2e2h на ка-

ждый открытый канал проводимости.

При учете процессов дифейзинга, которые, как мы уже понимаем, обусловлены неупругими столкновениями электронов в системе, амплитуда интерференционного слагаемого в (4.5) уменьшается в exp( LL )раз.

Траектории второго типа совершают полный оборот вокруг оси кольца – по (4) или против (3) часовой стрелки (см. рис. 27, б) и,

что существенно, переходят друг в друга при изменении знака времени. Последнее означает, что при отсутствии магнитного поля набеги фазы парциальных электронных волн для обеих траекторий

48

каждой такой пары тождественно равны между собой. Результат – когерентное рассеяние электронных волн назад (в отличие от траекторий первого типа, отвечающих за когерентное рассеяние электронов вперед), которое в отсутствии магнитного поля автоматически дает минимум прозрачности кольца и, соответственно, максимум его электрического сопротивления.

Отметим, что явление изменения прозрачности мезоскопических систем при распространении в них волн, обусловленное их когерентным рассеянием назад (называемое в литературе эффектом слабой локализации (или – слабой антилокализации, если прозрачность среды при этом не уменьшается, а, наоборот, увеличивается), см. гл. 6), имеет весьма общий характер и наблюдается не только при распространении электронов, но также и для электромагнитных, акустических и гравитационных возмущений.

Если АБ-поток не равен нулю, разность фаз парциальных волн, бегущих по путям 3 и 4, по возвращении на вход кольца прирастает на величину

Это означает, что когерентное рассеяние электронов назад в мезоскопическом кольце (явление Альтшулера–Аронова–Спивака, или ААС-эффект, предсказанный теоретически в работе [16]) приводит к осцилляциям его кондактанса с периодом Ф0/2 – ровно в два раза меньшим, чем при классическом АБ-эффекте.

Дифейзинг, по понятным причинам, уменьшает амплитуду этих осцилляций в exp(−2LLφ ) раз.

Важно подчеркнуть принципиальную разницу между двумя рассмотренными явлениями:

1) положение максимумов и минимумов при осцилляциях кондактанса колец (или их магнитосопротивления) с периодом Ф0 на оси Ф изменяется от образца к образцу, потому что от образца к образцу изменяется разность фаз электронных волновых функций на траекториях первого типа. Поэтому в экспериментах на ансамблях из большого числа квазиодномерных колец, соединенных друг с другом последовательно или параллельно (к последнему случаю относятся, например, «толстые» кольца с большим числом откры-

49

тых каналов проводимости), вклады разных траекторий первого типа усредняются, что делает наблюдение Ф0-осцилляций в таких экспериментах невозможным;

2) осцилляции же с периодом Ф0/2 обусловлены вкладами траекторий, связанных друг с другом обращением времени; разность фаз электронных волновых функций на таких парах траекторий не зависит от образца. Поэтому ААС-эффект, в отличие от классического АБ-эффекта, должен наблюдаться и в опытах с эффективно многокольцевой геометрией.

4.1.3. Роль температуры и внешнего напряжения

Анализ влияния внешних параметров – температуры и величины приложенного напряжения – на амплитуду АБ-осцилляций позволяет понять роль энергии Таулесса в мезоскопических системах.

Рост температуры системы и/или разности потенциалов, подаваемой на ее внешние электроды, увеличивает диапазон энергий электронов, участвующих в интерференции, и портит качество интерференционной картины – точно так же, как размывается картина интерференции света при увеличении ширины полосы частот интерферирующих волн.

Изменение набега фазы волновой функции электрона в системе при изменении его кинетической энергии E → E + E (см. слагае-

мое Δϕv в формуле (4.2)) есть δ(Δϕ) = k Lp . Здесь Lp – длина тра-

ектории электрона в кольце от входа до выхода, которая, например, в баллистическом режиме имеет порядок размера системы. Найдем отсюда величину характерного изменения энергии электрона, при котором набег фазы его волновой функции изменяется на π:

Следовательно, если волновые функции электронов с энергией Е при наложении усиливают друг друга, то интерференция волн с энергией E → E + ETh является деструктивной. Но это означает,

что:

а) прозрачность кольца зависит от энергии электронов, дающих вклад в ток: Т = Т(Е),

50