Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012
Рис. 44. Туннельный переход в цепи с источником тока
Туннелирование одного электрона приводит к изменению заряда на переходе от Q до Q – е, что при Т = 0 возможно лишь в случае, если в результате энергия электрического поля в конденсаторе уменьшается:
E = |
Q2 |
(Q −e)2 |
(5.8) |
|
|
− |
< 0. |
||
|
||||
|
2CJ |
2CJ |
|
|
Условие (5.8) выполнено, только если Q > e
2, т.е. в случае, когда падение напряжения на переходе U > Uc = e
2C. Заметим, что
напряжение на переходе отличается от величины приложенного к туннельной структуре внешнего напряжения V.
В итоге мы приходим к следующей физической картине поведения туннельного перехода в рассматриваемом случае (рис. 45).
Рис. 45. Зависимость заряда на туннельном переходе от времени при осцилляциях одноэлектронного туннелирования. Сплошная линия: если бы туннелирование электрона каждый раз происходило в тот момент времени, когда это становится возможно энергетически. Пунктирная линия: реальные моменты скачков заряда на переходе расположены на оси времени случайным образом и запаздывают от
«регулярных» на интервал порядка τRC
76
1. При Q < e
2 переход заряжается внешним током, причем в
ходе этого процесса его заряд увеличивается непрерывно.
2. При Q > e
2 тунелирование одного электрона сквозь барьер
становится энергетически выгодным, в результате чего заряд на переходе скачком уменьшается до величины ниже пороговой е/2.
3. После этого весь цикл, называемый осцилляциями одно-
электронного туннелирования (single electron tunneling (SET) oscillations) повторяется вновь. Характерное значение линейной частоты осцилляций заряда fSET = I
e зависит только от величины
внешнего тока через переход. Характерное - потому, что в случае T = 0 , который мы обсуждаем, соотношение (5.8) определяет лишь наиболее ранние из моментов времени, когда туннелирование электрона становится возможным (изображены на рис. 45 сплошной линией). Моменты времени, когда туннельный переход происходит физически, реализуется случайным образом (на рис. 45 показаны пунктиром), а их вероятность P(t) управляется характерным временем релаксации заряда RC-цепи τRC = RJ CJ .
С помощью кривой на рис. 45 можно показать, что среднее напряжение на переходе
Q
CJ = (CJ t )−1 ∫0 t Q(t )dt I1
2 .
Мы видим, что «включение» кулоновского взаимодействия электронов превращает процесс переноса электронов через туннельный переход малой емкости из полностью некоррелированного в сильно коррелированный процесс последовательного одноэлектронного туннелирования.
Для наблюдения SET-осцилляций вместо идеального источника тока можно использовать идеальный источник напряжения. При этом следует подавать смещение на туннельный переход через резистор с сопротивлением R0 < RT , которое должно быть достаточ-
но большим, чтобы способствовать быстрой зарядке туннельного перехода после акта туннелирования электрона. При этом, как следует из (5.8), при значениях внешнего напряжения V < e
2C J ток
через переход равен нулю, а при бóльших смещениях средний ток
77
следует омической ВАХ с туннельной проводимостью RT−1 , сдвинутой по оси напряжений на Uc = e
2CJ . Величина порогового напряжения Uc называется кулоновской щелью, а само явление подавления туннельного тока в туннельных структурах при V < Uc
кулоновской блокадой.
5.2.3. Локальное и глобальное описание одиночного туннельного перехода
Выше мы рассмотрели поведение туннельного перехода, включенного во внешнюю цепь, фактически с двух противоположных точек зрения.
Вп. 5.2.1 мы анализировали эволюцию системы в целом, т.е. подошли к задаче глобально. И выяснили, что непосредственно после акта туннелирования электрона электрическая цепь переходит в неравновесное состояние, поскольку в этот момент заряд на
переходе равен Q – e и отличается от заряда Q = CjV, который должен быть на этом переходе в равновесии. Поэтому в цепи начинается процесс перераспределения заряда: источник напряжения переносит на туннельный переход ровно один электрон и восста-
навливает заряд на CJ до равновесного значения Q. При этом энергия электрического поля в туннельном переходе принимает свое первоначальное значение, но источник совершает работу, равную eV (именно такова разница химических потенциалов берегов пере-
хода в (5.5.1).
Вп. 5.2.2 мы нашли величину изменения энергии электрического поля в туннельной структуре сразу после акта подбарьерного перехода электрона, при этом полностью пренебрегая взаимодействием перехода со всем его окружением. Такой подход к решению задачи естественно называть локальным.
Хотя ни один из этих идеальных сценариев не реализуется в чистом виде, ясно главное: поведение туннельного перехода, включенного в электрическую цепь, существенным образом зависит от свойств этой цепи. Чем ближе параметры источника напряжения к идеальным, тем ближе должен быть сценарий к глобаль-
78
ному, так как в этом случае зарядовое равновесие в цепи восстанавливается очень быстро. Наоборот, если источник напряжения в цепи соединен последовательно с резистором большого номинала, время релаксации заряда в цепи велико, и наблюдаемым становится локальный сценарий.
Полное исследование поведения одиночного туннельного перехода в более реалистической электрической цепи можно найти в работе [30].
Рис. 46. Одноэлектронный ящик; проводящая гранула обозначена пунктирной линией
5.3. Одноэлектронный ящик
Рассмотрим теперь зарядовую энергию еще одной простой системы, содержащей туннельный переход, – одноэлектронного ящика (рис. 46). Так называется малый металлический островок, который соединен с одной из клемм источника напряжения туннельным переходом емкости CJ и связанный с другой его клеммой только электростатически – посредством конденсатора емкости CG.
Пусть п – число избыточных электронов на грануле. Отметим, что это число всегда целое: n = 0,±1,±2,... Ясно, что при VG = 0 минимуму энергии гранулы отвечает n = 0: в этом состоянии на грануле находится ровно столько электронов, сколько необходимо, чтобы скомпенсировать заряд ионов. При изменении внешнего смещения количество избыточных электронов на грануле может изменяться, поскольку вероятность туннелирования электронов через переход отлична от нуля, причем изменяться это количество электронов может только дискретным образом.
Однако хотя количество электронов на грануле всегда целое, их распределение в пространстве может быть произвольным образом смещено в пределах гранулы относительно положительного фона. Поэтому когда напряжение источника отлично от нуля, величины поверхностных зарядов на обкладках конденсаторов (которые для каждого из конденсаторов равны друг другу по модулю и противо-
79
положны по знаку), вообще говоря, не квантованы. Эти заряды определяются целым числом п избыточных электронов на обкладке и величиной приложенного напряжения.
Мы найдем энергию электрического поля, запасенную такой системой при T = 0, из следующих простых соображений:
1) полный избыточный заряд гранулы, равный (–пе), распределен между левой обкладкой конденсатора, описывающего емкость туннельного перехода, и правой обкладкой конденсатора CG (см.
рис. 46):
(5.9)
2) полное падение напряжения на грануле есть сумма падений
напряжения на конденсаторах CJ |
и CG: |
|
|
|
|||||
|
|
VG =QJ |
CJ −QG |
CG ; |
(5.10) |
||||
3) для энергии системы имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||
E |
(Q ,Q ) = Q2 |
2C |
J |
+Q2 |
2C −V Q , |
(5.11) |
|||
сh |
J |
G |
J |
|
|
G |
G G G |
|
|
где последнее слагаемое представляет собой работу источника напряжения. Исключая из (5.9), (5.10) заряды конденсаторов, нетрудно выразить энергию системы (которая при нуле температуры равна ее свободной энергии) в терминах переменных п и Qg = CGVG (последнюю принято называть «зарядом управляющего электро-
да»):
E |
(n,Q ) = |
(ne −Qg )2 |
, |
(5.12) |
|
||||
ch |
g |
2C |
|
|
|
|
|
|
где C =CJ +CG − полная емкость гранулы. При переходе от (5.11) к
(5.12) мы отбросили несущественную постоянную.
Зависимость энергии заряжения Ech от напряжения источника при различных п и при Т = 0 дана на рис. 47. Вверху показана зависимость свободной энергии цепи (см. рис. 46), содержащей одноэлектронный ящик, от напряжения источника, при T = 0 . Хорошо видно, что функция Ech (n,Qg ) периодически зависит от числа
избыточных электронов на грануле, и что период этой зависимости n = 1. Внизу дано число избыточных электронов на грануле, отвечающих минимуму свободной энергии системы, как функция напряжения источника.
80