Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012
Рис. 47. Зависимость свободной энергии цепи (вверху) и числа избыточных электронов на грануле (внизу) от величины падения напряжения VG при T = 0
Из рисунка видно, что с увеличением VG количество избыточных электронов в состоянии с минимальной энергией растет, причем этот рост происходит дискретно, скачками от n к n + 1 в точках вырождения Qg 
e = n +1
2. Нетрудно показать, что потенциал гра-
нулы Vgrane = ∂Ech 
∂Qg при тех же условиях демонстрирует пилооб-
разную зависимость от напряжения источника. При конечных температурах ступени и зубцы пилообразной кривой сглаживаются.
Для зависимости среднего числа избыточных электронов на грануле от VG это можно увидеть, выполнив стандартное статистическое усреднение:
|
1 |
∞ |
|
|
n(Qg ) = |
∑ ne−Ech (n, Qg ) kBT , |
(5.13) |
||
|
||||
|
Zch n=−∞ |
|
||
где Zch – статсумма. Результат усреднения (5.13) при различных температурах системы приведен на рис. 48.
Рис. 48. Среднее число избыточных электронов на грануле одноэлектронного ящика в зависимости от напряжения источника для различных температур: kBT 
Eсh = 0 (штриховая
ступенчатая кривая), 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.4 и 1 (в порядке возрастания гладкости)
81
Зависимость (5.13) была исследована в ряде экспериментов и нашла свое подтверждение в тех из них, где удалось контролировать нагрев и шум измерительной цепи, температура которой, как правило, выше температуры криостатируемого одноэлектронного ящика (см., например, [31]).
5.4. Одноэлектронный транзистор
Рассмотрим модель одноэлектронного транзистора, используя эквивалентную схему на рис. 49.
Рис. 49. Эквивалентная схема одноэлектронного транзистора. Управляющий электрод поддерживает потенциал гранулы равным Vg и связан с нею емкостной связью
Для простоты будем пренебрегать дискретностью электронного спектра гранулы, предполагая, что ее состояние вполне характеризуется числом n избыточных электронов на ней. Левый (эмиттер) и правый (коллектор) туннельные переходы будем описывать соответствующими парциальными сопротивлениями и емкостями. Пусть, кроме того, T = 0.
По закону сохранения заряда можно записать: |
|
|
– ne =Qe +Qc +Qg =Сe (Ve –U )+Cc (Vc |
– U ) + Cg (Vg –U ), |
(5.14) |
где U – потенциал гранулы. Поэтому полный заряд гранулы равен |
||
Q = CU = ne + ∑ CiVi , C ≡ ∑Ci . |
(5.15) |
|
i=e,c,g |
i |
|
Этот заряд состоит из четырех вкладов: дискретного заряда избыточных электронов, находящихся на грануле, и зарядов, наведенных на ней окружающими электродами. Соответственно, для электростатической энергии гранулы имеем:
|
Q2 |
|
(ne)2 |
|
ne |
|
1 |
|
2 |
|
|
Ech (n,V ) = |
2C |
= |
2C |
+ |
C |
∑CiVi + |
|
|
∑CiVi . |
(5.16) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
i |
2C |
i |
|
|
||||
82
Последнее слагаемое в (5.16) несущественно – оно не зависит от п. Простые преобразования позволяют переписать (5.16) с точностью до (другой) константы в виде, аналогичном формуле для энергии заряжения одноэлектронного ящика:
Ech (n,Qg ) = (ne −Qg )2 , 2C
где вновь по определению Qg = CgVg +CeVe +CcV − «заряд управ-
ляющего электрода».
В нестационарном случае токи через левый и правый туннельные переходы могут быть не равны друг другу, и полный заряд гранулы может изменяться со временем. В стационарной ситуации, рассмотрением которой мы здесь ограничимся, указанные выше токи строго одинаковы, и заряд гранулы не зависит от времени.
Мы предположим также, что основной вклад в ток между эмиттером и коллектором дают процессы последовательного туннелирования электронов: сначала с эмиттера на гранулу, затем – с гранулы на коллектор. При T = 0 первый из этих процессов возможен, только если изменение энергии гранулы при увеличении числа избыточных электронов на ней на единицу:
Ech (n +1,Qg )− Ech (n,Qg |
) = |
(2n +1)e2 |
+ |
e |
∑CiVi = |
|
||||||
|
|
|
C |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
i |
(5.17) |
||
|
1 |
|
Qg |
e2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
= n + |
|
− |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
2 |
|
e |
|
C |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
не превосходит eVe – изменения потенциальной энергии электрона на левом переходе, т.е. при условии, что
Ech(n,Qg) – Ech(n + 1,Qg) + eVe ≥ 0. (5.18)
Аналогично, второй переход возможен, только если выполнено условие
Ech(n + 1,Qg) – Ech(n,Qg) – eVe ≥ 0. |
(5.19) |
Последовательные приращения энергии заряжения гранулы при увеличении числа избыточных электронов в ней на единицу (см. (5.17)) неэквидистантны – высота каждой ступеньки линейно зависит от числа избыточных электронов в грануле. Изменение смещения на управляющем электроде позволяет сдвигать положение всей «лестницы» на оси энергии как целого (рис. 50).
83
Рис. 50. Последовательные приращения энергии заряжения гранулы при увеличении числа избыточных электронов в ней на единицу. Уровни Ферми эмиттера и коллектора различаются на величину транспортного напряжения V = Ve – Vc
Неравенства (5.18) и (5.19) ограничивают область значений смещений Ve ,Vc и Vg , при которых ток в цепи эмиттер–коллектор
возможен. Полагая для простоты систему симметричной, так что
Ge =Gc =G, Ce =Cc ≈C / 2(Cg <<C ), Ve = – Vc = V
2,
где V – падение напряжения между эмиттером и коллектором (транспортное напряжение на рис. 50), получим критерий (5.18)– (5.19) в виде V ≥ (2n +1) | e | /C –2(Cg / C)Vg .
Мы видим, что и в системе на рис. 47 существует пороговое напряжение для переноса заряда, что является проявлением кулоновской блокады. Отметим, что величина порога линейно зависит от напряжения на управляющем электроде, что, собственно, и позволяет создать транзистор.
5.4.1. Вклад последовательного туннелирования
Вычислим, следуя [32], ток в цепи эмиттер–коллектор. В стационарном режиме он равен, например, туннельному току сквозь переход эмиттер–гранула:
I = e∑ pn (t ) Γe→g (n) −Γg→e (n) . |
(5.20) |
|
|
|
|
n
Здесь в понятных обозначениях {Гi} – частоты электронных переходов, рп – вероятность того, что число избыточных электронов в грануле, которое, вообще говоря, зависит от времени, равно п.
84
Указанную вероятность можно найти из управляющего уравнения
(master equation):
dpn (t) |
={Γ |
e→g |
(n) + Γ |
g→e |
(n) + Γ |
c→g |
(n) + Γ |
g→c |
(n)}p (t) + |
||
|
|||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
n |
|||||
+{Γe→g (n −1) + Γc→g (n −1)}pn−1 (t) + |
(5.21) |
||||||||||
|
|||||||||||
+{Γe→g (n +1) + Γc→g (n +1)}pn+1 (t),
из которого следует, что рп изменяется во времени только за счет туннельных переходов гранула↔эмиттер и гранула↔коллектор. Отсюда в стационарном случае имеем:
pn−1Γnn−1 + pn+1Γnn+1 −(Γnn−1 +Γnn+1 ) pn = 0, |
(5.22) |
||||||
где введены следующие обозначения: |
|
|
|
|
|||
Γn |
=Γ |
n –1 +Γ |
|
n –1 , |
(5.23) |
||
n−1 |
|
e →g ( |
) |
c →g ( |
|
) |
|
Γn |
=Γ |
g →e ( |
n +1 +Γ |
g → c ( |
n +1 . |
(5.24) |
|
n+1 |
|
) |
) |
|
|||
Расчет частот туннельных переходов электронов, входящих в (5.20)–(5.24) выполнен в работе [32] методом туннельного гамильтониана. Оператор энергии рассматриваемой системы можно запи-
сать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(5.25) |
H =He + Hg |
+ Hc |
+ Hch + Hbath + Ht,e + Ht,c ; |
||||||
ˆ |
=∑k ,σ |
+ |
|
в (5.25) описывают невзаимодейст- |
||||
слагаемые He,c |
εk ck ,σck ,σ |
|||||||
вующие электроны эмиттера и коллектора, аналогичный вклад гра-
ˆ |
+ |
|
|
|
|
|
нулы суть Hg =∑q,σ |
εq cq,σcq,σ, оператор электростатической энер- |
|||||
гии гранулы равен |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
−Qg ) |
2 |
/ 2C , |
|
|
|
|
Hch = (enˆ |
|
|
|
||
где nˆ – оператор числа избыточных электронов в грануле, |
|
|||||
|
nˆ = ∑cq+,σcq,σ − N+ , |
|
|
|||
|
q,σ |
|
|
|
|
|
и N+ – число положительно заряженных ионов гранулы; |
ˆ |
|||||
Hbath – |
||||||
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
анало- |
гамильтониан теплового резервуара, а слагаемые Ht,e и Ht,c |
||||||
гичны последнему члену в (5.5.1) и описывают туннельные переходы электронов e ↔ g и g ↔ c. Согласно золотому правилу Ферми
(т. е. во втором порядке теории возмущений по туннельному взаи-
85