Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012

ных квантованием заряда [26], которые фактически положили начало совершенно новому приложению физики мезоскопических систем – одноэлектронике.

Рис. 41. Эквивалентная схема эксперимента (а) по наблюдению кулоновской блокады при помощи СТМ и ВАХ (б) туннельного перехода, показанного на рис. 40, б

5.2.Когда формула Ландауэра неверна: одноэлектронное туннелирование сквозь барьеры малой емкости

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую одиночный туннельный переход – потенциальный барьер, расположенный в квантовом проводе между двумя участками высокой проводимости

(рис. 42).

Рис. 42. Туннельный переход между двумя проводниками (а) и энергетическая диаграмма (б) туннельной структуры во внешнем поле

В случае барьера нулевой прозрачности ток в такой цепи отсутствует, а туннельный переход ведет себя как конденсатор с емко-

71

стью С: под действием внешней цепи он приобретает электрический заряд Q = CV, где V – падение напряжения на переходе. Причем Q – это наведенный заряд, он создается при смещении электронной жидкости в проводящих обкладках относительно положительного ионного фона. Его величина определяется величиной этого смещения, которое может быть сколь угодно малым. Поэтому заряд Q изменяется непрерывно даже в масштабе элементарного заряда, а соответствующая энергия электрического поля в переходе при сколь угодно малых Q определяется выражением для энергии

заряжения классического конденсатора: EC = Q2 2C.

Если прозрачность барьера конечна, в системе возможны туннельные переходы электронов между берегами (на рис. 42, а изображены стрелками). Причем в отличие от движения зарядов в электродах (сколь угодно малых смещений большого ансамбля электронов на положительном фоне) этот процесс переноса представляет собой строго дискретную последовательность переходов отдельных электронов. При каждом таком переходе энергия систе-

мы изменяется на дискретную величину Ech = e2 2C , называемую

энергией заряжения.

Согласно формуле Ландауэра (выражение (3.4.1)), с ростом приложенного напряжения ток в этой системе должен расти линейно. И опыт показывает, что для туннельных структур достаточно большой емкости это действительно так. Но, как свидетельствуют более тонкие эксперименты, при уменьшении емкости перехода его ВАХ может стать существенно нелинейной (см., например, рис. 41, б). Для этого, как мы уже знаем, необходимо соблюсти условие (5.2) (например, при площади обкладок 0,1 0,1мкм2 и толщине

слоя окисла ~10 Å емкость туннельного перехода имеет порядок 10–15 Ф и Ech kBT лишь при Т 1 К).

Однако этого недостаточно. Дело в том, что поведение туннельного перехода в существенной степени зависит от параметров электрической цепи, частью которой он является. Чтобы пояснить суть возможных различий, рассмотрим ниже два простых предельных случая.

72

5.2.1. Туннельный переход в цепи с идеальным источником напряжения

Пусть туннельный переход последовательно соединен с идеальным источником напряжения, т. е. с батареей, внутреннее сопротивление которой Ri = 0 (рис.

43). Смещение на клеммах идеального источника не зависит от тока в цепи и равно ЭДС батареи:

V = E −IRi Ri →0 → E.

Тогда напряжение на переходе, а следовательно, и его заряд управляются внешним напряжением и строго фиксированы во времени.

Для того чтобы найти ВАХ перехода в этом случае, необходимо просто вычислить частоты тун-

нельных переходов электронов в обоих направлениях при фиксированном значении внешнего смещения. Стандартный путь решения этой задачи состоит в применении так называемого метода туннельного гамильтониана (см., например, [27]), который позволяет учесть возможность подбарьерьных переходов в многоэлектронной системе.

Врамках этого полуфеноменологического подхода оператор

ˆэнергии многоэлектронной системы с туннельным переходом

H

k ,q,σ

где разность химических потенциалов берегов задана источником напряжения.

73

ˆ

Первое слагаемое в HT описывает уничтожение электрона с

эффективной массой mL, квазиимпульсом k и проекцией спина σ в левом береге перехода и рождение электрона с эффективной массой mR, квазиимпульсом q и той же проекцией спина в правом его

береге. Второе слагаемое описывает обратный процесс. При этом электроны берегов фактически считаются различимыми (что противоречит фундаментальному принципу их тождественности, лежащему в основе квантовой механики), а туннельный ток IТ сквозь барьер определяется формулой

гдеNL NR – полное число электронов в левом/правом берегах. Однако в хорошем проводнике в силу условия электроней-

тральности условие NL/ R = const(t) восстанавливается уже на временах ω-pl1 10-16 ÷10-17 c , где ωpl − электронная плазменная

частота. Поэтому метод туннельного гамильтониана противоречит закону сохранения числа частиц (т. е. – не является калиб-

ровочно-инвариантным), а отклонение от нуля туннельного тока Iт, вычисляемого согласно (5.5.2), фактически характеризует меру неточности самого этого метода. Корректный способ описания туннельного переноса в многочастичных системах состоит в использовании представления состояний рассеяния, [28].

Впрочем, как показано в [29], если вероятность туннелирования

достаточно мала, так что ˆ можно рассматривать как возмуще-

HT

ние, то в первом неисчезающем порядке теории возмущений по

ˆ формула для тока (5.5.2) все же верна. Результат в этом случае

HT

дается золотым правилом Ферми:

ция по энергии отражает упругий характер туннельного перехода, а индексы i/f нумеруют состояния электронов в левом/правом береге структуры ( i = (k,σ), f = (q,σ) ). В (5.6) матричный элемент пере-

74

ния электрона из состояния Ψi левого берега в состояние Ψf правого берега, причем обе волновые функции в (5.6) относятся к не-

возмущенной системе, т. е. должны быть найдены при ˆ

HT = 0. При

выводе формулы (5.6) предполагается, что каждый переход (i → f) происходит независимо от любого другого. Считая спектры электронов в берегах квазинепрерывными и переходя в (5.6) от суммирования по состояниям к интегрированию по энергии, при малых смещениях получим:

EF и вычисляются на соответствующих поверхностях Ферми и при

V = 0).

Зависимость (5.7) показывает, что в цепи с идеальным источником напряжения туннельный переход ведет себя как обычный омический резистор. Следует отметить, однако, что природа переноса заряда в омическом проводнике и туннельном переходе совершен-

но разная, поэтому для коэффициента RT = GT−1 принят специаль-

ный термин – туннельное сопротивление.

5.2.2. Туннельный переход в цепи с идеальным источником тока

Пусть теперь заряд Q конденсатора CJ, ассоциированного с туннельным переходом, управляется током I, который создан в цепи идеальным источником тока, т.е. батареей, собственная прово-

димость которой Ri−1 = 0 (рис. 44).

Ток идеального источника не зависит от сопротивления нагрузки:

75