Материал: Валеев Введение в физику мезоскопических систем 2012
модействию) для частоты туннелирования электрона из эмиттера в гранулу (или наоборот) имеем
|
G |
∞ |
∞ |
|
Γe→g (n) = |
|
e |
∫ dεk ∫ dεq fe (εk )[1− fg (εq )]δ(En+1 − En −eVe ). |
|
e |
2 |
|||
|
|
−∞ |
−∞ |
|
Здесь Ge – туннельный кондактанс перехода эмиттер–гранула:
|
4πe |
2 |
νe (EF )νg (EF )ΩeΩg | Tkq |2 |
, |
|
Ge = |
|
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ωе, Ωg – объемы эмиттера и гранулы соответственно.
Несложный расчет приводит к следующему результату для частот переходов:
Γ |
|
|
(n,V )=Γ |
|
(−n, −V ) = |
2Ge |
F( |
|
), |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
e → g |
e |
g→e |
|
|
|
|
|
e |
e2 |
+,e |
|
(5.26) |
||||
Γ |
|
|
(n,V )=Γ |
|
(−n, −V ) = |
|
2Gc |
F( |
|
), |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
g → c |
c |
c→g |
|
|
|
|
|
c |
e2 |
−,c |
|
|
||||
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(ε) = |
|
|
|
|
→ εθ(ε) при T → 0, |
|
|
||||||||||
1+ exp(−ε / kT ) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
±,α (n) = En |
− En±1 ±eVα = |
|
|
|
|
2 |
en e∑CiVi ±eVα |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||
– энергетическая |
|
«стоимость» |
|
|
соответствующего |
перехода; |
|||||||||||
α = e, c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависящий от |
температуры |
множитель F(ε) |
|
возникает из |
|||||||||||||
функций распределения начального и конечного состояний и описывает вероятность тепловой активации электронов над кулоновским барьером. На рис. 51 даны результаты численного расчета вольтамперных характеристик симметричного одноэлектронного транзистора, [32].
При низких температурах и малых смещениях (VC / e <1) ос-
новной вклад в ток вносят только два зарядовых состояния гранулы. Ситуация, однако, изменяется с ростом транспортного напряжения. Это обстоятельство иллюстрирует рис. 52, где даны ВАХ ассимметричного транзистора для различных значений параметра Qg. Кривые такого типа называются кулоновской лестницей.
86
Рис. 51. Расчет ВАХ симметричного одноэлектронного транзистора в зависимости от напряжения на управляющем электроде [32]
Рис. 52. Расчет ВАХ ассимметричного (Ge = 10Gc) одноэлектронного транзистора при T = 0 для трех значений управляющего потенциала: Qg/e = 0 (выраженная кулоновская блокада), Qg/e = 0,5 и Qg/e = 1 (линейна при малых V) [32]
5.4.2. Вклад совместного туннелирования
Как мы убедились, при низких температурах вклад процессов последовательного туннелирования электронов в ток в одноэлектронном транзисторе сильно подавлен. В этом случае ток в системе определяется туннельными процессами более высокого порядка – процессами совместного тунелирования (cotunneling). Так называются процессы, при которых перенос электронов сквозь оба перехода происходит когерентно, а избыточный электронный заряд на грануле существует лишь виртуально.
Простой анализ показывает, что в рамках теории возмущений процессы совместного туннелирования возникают, начиная с 4-го
87
порядка то туннельному взаимодействию. Частота любого процесса 4-го порядка дается формулой
|
2π |
|
∑ |
i | Hint | ψ ψ| Hint | i |
|
2 |
|
|
|
||||
Γi→ f = |
|
|
Eψ − Ei |
|
δ(Ei − Ef ). |
|
|
||||||
|
|
|
ψ |
|
|
Отметим два обстоятельства, важных в рассматриваемом случае:
а) существуют два независимых взаимно когерентных канала переноса заряда через одноэлектронный транзистор:
e → g, |
g →c с энергетической стоимостью –,e (n+1), |
||
g →c, |
e →g, который требует затраты энергии |
+,c ( |
) |
|
n–1 ; |
||
б) количество электронов в грануле макроскопическое. Поэтому в подавляющем большинстве случаев два следующих электронных состояния гранулы: состояние, которое покидает электрон, уходящий в коллектор, и то, в которое приходит электрон из эмиттера, – это разные состояния. Что означает, что в результате такого процесса в грануле остаются электрон-дырочные (eh) возбуждения. Для нас важно, что переходы, сопровождающиеся образованием разных eh-возбуждений, некогерентны – складываются их вероятности, а не амплитуды. В итоге для частоты совместного тунелирования через одноэлектронный транзистор можно получить [32]:
|
|
|
|
G G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Γcot = |
|
|
e c |
∫e dεk ∫g dεq ∫g dεq′ ∫c dεk′ |
f (εk ) × |
|
|||||||||
|
|
2πe4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
×[1− f (εq )] f (εq′ )[1− f (εk′ )]× |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
δ(eV + εk −εq + εq′ −εk′ ). |
|
||||
−,e (n +1) |
|
|
(n −1) |
|
|||||||||||||
|
|
+,c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При Т = 0 |
интегралы здесь можно записать в квадратурах: |
||||||||||||||||
|
|
G G |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|||||
Γcot |
= |
e c |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
V 3 |
при V |
i . |
||
|
−,e (n +1) |
|
|
+,c (n −1) |
|||||||||||||
|
|
12πe |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видно, что в области малых смещений должно быть I V 3 , что соответствует эксперименту. Ситуация, однако, усложняется при i =0, когда интегралы в выражении для Γcot расходятся. Эта не-
88
физическая расходимость устраняется, если учесть конечность времен жизни электронных состояний. Подробное рассмотрение этого вопроса можно найти, например, в [32].
В системе существуют также процессы переноса электронов, при которых в грануле не возникает eh-возбуждений – это процессы уп-
ругого совместного туннелирования (elastic cotunneling). Можно по-
казать, что |
вероятность этих процессов содержит множитель |
1 (νg Ωg ) |
1. Тем не менее, их вклад в ток V и при очень малых |
напряжениях доминирует. Ясно, что с точки зрения практических применений одноэлектронных транзисторов токи, обусловленные совместным туннелированием электронов, весьма нежелательны.
5.4.3. Что говорит эксперимент
Рис. 53 иллюстрирует устройство одноэлектронного транзистора, а на рис. 54 приведены результаты экспериментов по исследованию зависимости проводимости такой системы от напряжения на управляющем электроде.
Рис. 53. Схема (а), зонная диаграмма 2DEG (б) и эскиз (в) одноэлектронного транзистора на основе гетероструктуры GaAs-AlGaAs
Каждый пик кривой на рис. 54 отвечает изменению числа избыточных электронов в квантовой точке на единицу; при Vg = −0,4V
n 100 [33]. Мы видим, что квантовый транзистор в известном смысле воспроизводит основные свойства своего «классического»
89
предшественника: и здесь малые изменения управляющего напряжения приводят к большим изменениям выходного сигнала.
Рис. 54. Кондактанс одноэлектронного транзистора (см. рис. 53, а) как функция смещения на управляющем электроде (по данным [33])
6. ВОЛНЫ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕДАХ
При обсуждении особенностей волновых процессов в системах с беспорядком, нельзя не упомянуть фундаментальную работу П.У. Андерсона «Отсутствие диффузии в некоторых случайных решетках» [34], в которой была впервые сформулирована концепция локализации электронов в случайном поле. В частности, согласно [34] если степень беспорядка в системе достаточно велика, волновые процессы в ней локализованы в реальном пространстве, а огибающие их собственных состояний описываются функциями вида
exp(− r − r0 
ξL ),
где r0 − некая фиксированная точка среды, а ξL −длина локализации (рис. 55).
Рис. 55. Типичные волновые функции делокализованных состояний электронов в среде с длиной упругих столкновений l (а), и локализованных соостояний с длиной локализации ξL (b)
90