может быть определено путем измерения общего сопротивления
(г) на образце длиной (/) в 1 м и с площадью сечения (S) в 1 мм2: г = p(//S). Откуда (в Ом-мм2/м)
р = г5//.
Анализ одно- и двухвалентных металлов показывает, что наибольшей электропроводностью обладают одновалентные ме таллы, т. е. группы щелочных металлов и меди. С увеличением валентности наблюдается падение электропроводности. Низкую электропроводность имеют переходные металлы, что объясняет ся наличием незаполненных электронных состояний во внутрен них электронных оболочках.
В монокристаллах способность переносить электричество по различным направлениям зависит от кристаллической струк туры. Так, если в кристаллах с кубической решеткой электро проводность не зависит от направления решетки, то в кристал лических решетках с другой симметрией имеет место анизотро пия электропроводности.
Исследование зависимости электросопротивления от темпе ратуры показывает, что с ее повышением сопротивление метал лов также растет и подчиняется следующему закону:
rt = r0{\ + а/),
где го — удельное сопротивление проводника при 20 °С; а — температурный коэффициент сопротивления, средняя величина которого в температурном интервале 20+£ ° С равна а = ( п ^
— го )/Ы ). При стремлении указанного температурного интер
вала к нулю получим истинное значение а |
при |
температуре |
t: at ={dr/dt) (1/г0). Для большинства металлов, |
за исключе |
|
нием переходных, а = 4-10_3 1/град., а для |
переходных и осо |
|
бенно ферромагнитных — порядка 10_3 1/град. |
|
|
Изучение электросопротивления металлов в температурном интервале от абсолютного нуля до точки плавления показало, что температурная зависимость сопротивления не подчиняется теории Друде— Лоренца, согласно которой сопротивление про
порционально л/Т (3.5а). На практике в области не слишком низких температур оно растет линейно, а при температурах плавления наблюдается скачкообразное его изменение. В обла сти низких температур, ниже —173 °С, сопротивление изменяет ся пропорционально Г5, стремясь при Г ^ О К к некоторой по стоянной величине для данного образца.
8.1. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
Если рассматривать любой проводник, то в отсутствие внеш него электрического поля никакого результирующего тока в нем нет, поскольку для каждого электрона с импульсом в каком-то направлении всегда найдется электрон, имеющий импульс про
тивоположного направления, что соответствует симметричному относительно начала координат заполнению электронами кван товых состояний в сфере Ферми. Однако наложение на кри сталл внешнего электрического поля (Ех) нарушает это распре деление, и каждый электрон начинает испытывать действие силы в одном и том же направлении, в результате чего все электроны проводимости получают ускорение в направлении, противоположном вектору напряженности поля, а это приводит к нарушению в распределении заполненных квантовых состоя ний в сфере Ферми, к ее смещению относительно начала коор динат из положения 1 в положение 2 (рис. 8.1). Координиро ванное движение валентных электронов, налагающееся на дви жение электронов в основном со стоянии, приводит к переносу заря да в теле и, следовательно, к воз никновению электрического тока.
Если допустить, что движение электронов происходит в направле нии оси х, то уравнение движения частицы с зарядом е и массой т в поле Ех имеет вид
тх" = еЕх.
Интегрирование уравнения такого вида приводит к линейному воз
растанию скорости движения электронов во времени, а сле довательно, и к непрерывному линейному возрастанию тока.
Врезультате даже слабое поле должно вызывать сколь угодно большой ток. Однако, согласно закону Ома, поток электронов при приложенной разности потенциалов постоянен и не зави сит от времени. Это объясняется тем сопротивлением, которое встречает электрон со стороны кристаллической структуры ме талла при перемещении в ней под действием поля. Сопротивле ние противоположно вектору ускоряющего поля, в результате чего устанавливается постоянная скорость электронов, т. е. по стоянная скорость потока.
Возникновение сил сопротивления продвижению электронов связано с нарушениями в кристаллическом строении металлов.
Встрого периодическом поле металла, т. е. в идеальной кри сталлической структуре с покоящимися атомами, электроны действительно двигались бы ускоренно на протяжении очень большого промежутка времени. Но, как было показано, в ре альных металлах идеального кристаллического строения не су ществует. В реальных кристаллах всегда имеются нарушения периодичности потенциала, обусловленные тепловыми колеба ниями атомов и всевозможными дефектами кристаллического строения. Поэтому полное электросопротивление со стороны кристаллической структуры металла движущемуся потоку элек
тронов определяется правилом Маттиссена, согласно которому сопротивление при наличии нескольких механизмов рассеива ния электронов проводимости есть простая сумма сопротивле ний, обусловленных каждым из них по отдельности, т. е.
Г = Гт + Г„ + Гд.
Здесь гт определяется рассеиванием электронной волны вслед ствие тепловых колебаний атомов; гп— наличием дефектов кри сталлического строения, вызванных присутствием посторонних примесных атомов; гд — наличием деформаций, связанных с тех нологией изготовления и обработки металла. Таким образом, физическая сущность процесса электрического сопротивления состоит в рассеивании электронного потока в результате акта взаимодействия электронов с разного рода дефектами кристал лической структуры металла.
В связи с этим проанализируем выражения (3.5) и (3.5а), предложенные теорией Друде — Лоренца для определения элек тросопротивления, и оценим возможные значения величин, вхо дящих в них:
|
2/пуСр |
2 л]ткТ |
Г |
п0е21 |
п0е21 |
Здесь |
/п, е — соответственно масса и заряд электрона; п0— ко |
|
личество электронов проводимости в единице объема; vcp— сред няя скорость теплового движения электронов; k — постоянная Больцмана. Как видим, такие величины, как масса и заряд электрона, являются постоянными. Из квантовой теории сле дует, что в проводимости электрического тока принимают уча стие не все коллективные электроны, а только те, энергия кокоторых близка к максимальной — энергии Ферми. Тогда по и vCp следует относить только к тем электронам, энергия которых близка к Еmax. Но так как при всех температурах, вплоть до температуры плавления, распределение Ферми с ростом тем пературы изменяется в очень малой степени, то, следовательно, по и vCp также близки к постоянным значениям. Тогда если /п, е, k, по и vcp— постоянные величины, то изменение сопротивле ния с температурой должно быть полностью связано только с длиной свободного пробега (/). Однако согласно классической теории, рассматривающей электронный газ как свободные обыч ные частицы, допускается, что при своем движении электроны находятся в непрерывном столкновении с ионами решетки, встре чающимися на пути их движения. В результате этого они про ходят между двумя столкновениями среднее расстояние, равное примерно расстоянию между двумя соседними ионами, распо ложенными в узлах решетки, т. е. путь / = 10-8 см. Таким об разом, по классической теории длина свободного пробега трак туется также как постоянная величина.
Но возникает вопрос, верно ли такое предположение? Может ли длина свободного пробега иметь постоянное значение в боль шом интервале температур? Для ответа на этот вопрос обра тимся к рассмотрению движения электронного газа в кристал лической решетке с позиций квантовой теории. Согласно кван товой теории электрон наряду со свойствами частицы обладает волновыми свойствами, а движение электронов проводимости через металл происходит аналогично распространению элек тронных волн, длина которых определяется соотношением де Бройля.
В связи с этим рассмотрим электронный поток, состоящий из N0 электронов, проходящих в направлении оси х через пла стину, содержащую рассеивающие центры электронов — ионы
5*
N
О О О
О О О
О О О
Нс
Р и с. 8.2 .
(атомы) (рис. 8.2). Спрашивается, все ли электроны проводи мости пройдут через пластинку, не испытав отклонения на своем пути?
Примем атомы, из которых состоит пластина, за круглые шарики с радиусом г (рис. 8.2,6), а проходящие электроны — за материальные точки. Тогда в плоскости атомы будут пред ставляться в виде дисков с радиусом г. Если электрон, проходя пластину, попадает в один из этих дисков, то он испытывает отклонение. Обозначим через S и dx соответственно площадь и толщину пластинки, а через по — число атомов в единице объе ма. Тогда произведение noSdx определит общее число рассеи вающих центров в объеме пластины. Площадь каждого отдель ного рассеивающего центра с радиусом г равна лг2, а общая площадь всех рассеивающих дисков nr2tioSdx. Если электрон
попадет в какую-либо |
точку этой площади, то он отклонится |
от своего пути, если |
же не попадет, то свободно проследует |
дальше. Пусть из общего потока N0 электронов, падающих на пластинку, некоторое число dN попадет в эту площадь. Тогда число отклонившихся электронов будет относиться к их общему числу No, как площадь всех атомов к площади пластинки:
dN |
nr2n0S dx |
dN |
Полученное соотношение дает относительное уменьшение по тока N0 в результате отклонения электронов при прохождении через пластину.
Если пластина будет иметь любую толщину, а не dx, и при этом электроны в ней будут проходить один атомный слой за другим, пока не пройдут через всю пластинку толщиной х, то, проинтегрировав выражение (8.1) от 0 до х и положив, что при х = О N = No, можно определить число электронов, оставшихся в потоке после того, как он прошел через всю пластину, т. е.
получить закон рассеивания электронов: |
|
|
N = Af0exp(— пп0г2х) |
или N = N0exp(— \ix), |
(8.2) |
где p = яr2n0. Величина |
p называется коэффициентом |
рассеи |
вания электронов, он равен площади всех атомных дисков в единице объема тела.
Выражение (8.2) может иметь и другой вид, если допустить, что dx/l представляет собой вероятность того, что какой-либо электрон испытывает столкновение на пути dx. В этом случае
N = N0exp (— x/l). |
(8.3) |
Сравнение выражений |
(8.2) и (8.3) показывает, что / = р ~ 1= |
= (nr2nQ)~\ т. е. является величиной, обратной коэффициенту рассеивания, и представляет собой ту среднюю длину пути, при прохождении которой электрон испытывает столкновение. Вы ражения (8.2) и (8.3) отражают также уменьшение интенсив ности проходящего через тело электронного пучка. Если же процесс рассеивания рассматривать с позиции распространения электронной волны, то тогда понятие длины свободного пробега электрона утрачивает смысл и заменяется понятием коэффи циента рассеивания р, а выражения (8.2) и (8.3) определяют уменьшение интенсивности проходящей через данное тело вол ны, благодаря ее рассеиванию в теле.
Рассеивание электронной волны будет происходить в том случае, если расстояние между рассеивающими центрами по ве личине соизмеримо с длиной волны падающих электронов. Если расстояние между рассеивающими центрами значительно мень ше длины волны, то рассеивания не будет и электронная волна в такой среде пройдет беспрепятственно.
При температуре абсолютного нуля кристаллическая струк тура металлов близка к идеальной, и в узлах решетки нахо дятся ионы, не испытывающие каких-либо тепловых колебаний. Такие кристаллические структуры представляют собой одно родную абсолютно «прозрачную» среду для прохождения элек тронов. В этой среде ц = О, а поэтому электроны проводимости в пей перемещаются свободно, без рассеивания. Следовательно, средний свободный пробег электронов в такой среде при тем пературе, стремящейся к абсолютному нулю, на несколько по