Материал: 5525

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Тогда закон распределения Z запишется так:

Z	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
P	0,06	0,22	0,0 225	0,0 825	0,1 725	0,1 925	0,06	0,055	0,105	0,03
По формуле (5.1) найдем М(Х), М(Y), М(Z):
М(Х) = 1 0,15+2 0,55+5 0,3=2,75,

М(Y) = 0 0,1+2 0,35+4 0,15+6 0,4=3,7, М(Z) = -5 0,06+(-4) 0,22+…+ 5 0,03 = -0,95.

Отсюда М(Х)-М(Y) = -0,95. Таким образом, для разности случайных величин Х и Y выполняется свойство (5.5) математического ожидания:

М(Х-Y) = М(Х) - М(Y).

Дисперсии случайных величин Х, Y, Z найдем по формуле (5.9). Для этого


запишем законы распределения Х2, Y2, Z2:
Х2	1	4				25					Y2			0			4		16		36
Р	0,15	0,55				0,3					P			0,1			0,35		0,15		0,15

Z2	25	16		9			4		1			0			1			4		9		25
P	0,06	0,22		0,0 225			0,0 825		0,1 725			0,1 925			0,06			0,055		0,105		0,03
Таблицу для Z2 можно переписать так:
			Z2		0			1		4			9			16		25
			P		0,1 925			0,2 325		0,1 375			0,1 275			0,22		0,09

Тогда

М(Х2) = 1 0,15+4 0,55+25 0,3 = 9,85, Д(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 9,85 – 7,5 625 = 2,2 875,

М(Y2) = 0,1 0+4 0,35+16 0,15+36 0,4 = 18,2,

Д(Y) = М(Y2) – [М(Y)]2 = 18,2 – 13,69 = 4,51,

М(Z2) = 25 0,09+16 0,22+…+0 0,1925 = 7,7,

Д(Z) = М(Z2) – [М(Z)]2 = 7,7 – 0,9 025 = 6,7 975.

Отсюда Д(Х) + Д(Y) = 6,7975. Совпадение значений Д(Х) + Д(Y) и Д(Z) иллюстрирует выполнение свойства (5.11) дисперсии разности двух случайных величин: Д(Х-Y) = Д(Х) + Д(Y).

Задача 4. Две независимые случайные величины заданы следующими

законами распределения:
	Х	1	3	4	Y	0	2	4
	Р	0,3	0,5	0,2	P	0,1	0,6	0,3

Составить закон распределения произведения этих случайных величин. Проверить на этом примере свойство математического ожидания произведения случайных величин.

Решение. Для составления закона распределения случайных величин найдем произведения каждого значения случайной величины Х на каждое значение величины Y. Вероятности полученных значений определяют как произведения вероятностей сомножителей. Тогда имеем

Z=Х Y	1 0	1 2	1 4	3 0	3 2	3 4	4 0	4 2	4 4
P	0,3 0,1	0,3 0,6	0,3 0,3	0,5 0,1	0,5 0,6	0,5 0,3	0,2 0,1	0,2 0,6	0,2 0,3

Учитывая, что значение Z=0 получается в результате нескольких комбинаций (1 0; 3 0; 4 0), эту таблицу можно упростить. После упрощений получим следующий ряд распределения XY:

Z=Х Y	0	2	4	6	8	12	16
P	0,1	0,18	0,09	0,3	0,12	0,15	0,06

По формуле (5.1) определим М(Х), М(Y), М(Z):

М(Х) = 1 0,3+3 0,5+4 0,2 = 0,3+1,5+0,8 = 2,6; М(Y) = 0 0,1+2 0,6+4 0,3 = 1,2+1,2 = 2,4;

М(Z) = 0 0,1+2 0,18+4 0,09+6 0,3+8 0,12+12 0,15+16 0,06 = 6,24.

Следовательно, М(Х) М(Y) = 2,6 2,4 = 6,24 = М(Z). Таким образом, для случайных величин Х и Y выполняется свойство (5.6) математического ожидания.

Задача 5. Независимая случайная величина Х имеет следующий закон распределения:

					Х	-1		0	2
					Р	0,25		0,5	0,25
Составить закон распределения случайных величин Y=X2														и	Z=X X и
убедиться, что Y и Z – различные случайные величины, т.е. X2														X X.
	Решение. Закон распределения случайной величины Y=X2 может быть
записан в виде следующей таблицы:
				Y=X2		1		0			4
				Р		0,25		0,5			0,25
Закон распределения случайной величины Z=Х Х находится как закон
распределения произведения случайных величин. Имеем:

	Z=Х Х	(-1) (-1	(-1) 0		(-1) 2		0 (-1)	0 0		0 2		2 (-1)	2 0		2 2
	Z=Х Х
	P	0,25 0,25	0,25 0,5		0,25 0,25		0,5 0,25	0,5 0,5		0,5 0,25		0,25 0,25	0,25 0,5		0,25 0,25

После упрощений получим следующий закон распределения величины

Z=Х Х:

Z	-2	0	1	4
P	0,125	0,75	0,0 625	0,0 625

Получили, что случайные величины Z=Х Х и Y=Х2 имеют разные законы распределения. Следовательно, случайные величины Z=Х Х и Y=Х2 различные.

Задача 6.	Непрерывная	случайная			величина задана функцией
распределения
			0	при х	0,
	F(х) =	2х	х2 при 0		х	1,
			1	при х	1.
Найти М(Х),	Д(Х), (Х).
Решение. Сначала найдем плотность f(х) по формуле (4.8). Получим
			0	при х	0,
	f(х) =	2	2х	при 0	х	1,
			0	при х	1.

Тогда математическое ожидание М(Х) найдется по формуле (5.3):

М(Х) = 1 х(2 2х) dx	1(2х 2х2 ) dx		2		1	2		1
		х2		х3	1				.
						3
0	0	3			0		3

Дисперсию будем находить не по определению (5.8), а по формуле (5.9). Тогда

Д(Х)= 1 х2 (2 2х) dx	1	2		1(2x2 2x3 ) dx	1		2	x3	x4	1	1		2		1		1		1	.
Д(Х)= 1 х2 (2 2х) dx	3			1(2x2 2x3 ) dx	9	3		x3	2		9	3		2		9				.
0	3		0		9	3			2	0	9	3		2		9		18
0			0

Согласно (5.12) (Х)=			1	.

		3	2
		3	2

Задача 7. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, дифференциальная функция которой определяется равенством

	0		при х	0,
f(х) =	1	sin x	при 0	х ,
f(х) =	2	sin x	при 0	х ,
	2
	0		при х .
Решение. Согласно формуле (5.3)				М(Х)=	1	x sin x dx.	Для
Решение. Согласно формуле (5.3)				М(Х)=	2	x sin x dx.	Для
					2	0

вычисления интеграла надо применить формулу интегрирования по частям в определенном интеграле:

	bu dv		b	bv du.
	bu dv	uv		bv du.
	a		a	a
			a
Положим u=х, dv=sin x dx. Отсюда du=dx, v= -cos x. Тогда
x sin x dx x cos x	cos x dx (	cos		0) sin x	( ) (sin sin 0) .
x sin x dx x cos x	cos x dx (	cos		0) sin x	( ) (sin sin 0) .
0	0
	0				0

Следовательно, М(Х)=		.
Следовательно, М(Х)=	2	.
Для нахождения дисперсии сначала найдем М(Х2)=			1	x2 sin x dx, для
Для нахождения дисперсии сначала найдем М(Х2)=			2	x2 sin x dx, для
			2	0
чего применим дважды формулу интегрирования				по частям. В
результате получим следующее:

M ( X 2 )				1	(	x2 cos x		2	x cos x dx)
M ( X 2 )			2		(	x2 cos x		2	x cos x dx)
			2				0		0
									0

	1	2	2			sin x dx		1	2	2cos x
	1	2						1	2
2					0			2					0
2								2


Тогда согласно (5.9)								Д(Х)=			1	2	2
Тогда согласно (5.9)								Д(Х)=			2		2

1		2	2 x cos x dx		1
2			2 x cos x dx		2
2			0		2
			0
	1	2	2(cos	cos 0)		1
2			2(cos	cos 0)	2
2					2

2 2

2 4

2	2 xsin x	sin x dx

2 2.

За д а ч и

1.Независимая случайная величина имеет следующий закон распределения:

Х	1	3	4	6
Р	0,1	0,2		0,5

Определить вероятность, с которой случайная величина Х принимает значение 4. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

2.Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая

может принимать только два значения: х1 с известной вероятностью р1=0,3 и х2, причем х1<х2. Известны также М(Х)=4,1 и Д(Х)=1,89.

3.Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены четыре светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 1,5 мин., желтый – в течение 0,3 мин., красный – в течение 1,2 мин. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа светофоров, пройденных машиной без остановки.

4.Законы распределения независимых случайных величин Х и Y даны в

таблицах:
Х	1	2	4	5	Y	0	3	4
Р	0,1	0,35	0,25	0,3	P	0,2	0,5	0,3

Составить закон распределения случайной величины Z=Х+2Y. Проверить на этом примере свойства математического ожидания и дисперсии суммы случайных величин и произведения постоянной величины на случайную величину.

5. Дан закон распределения случайной величины Х:

					47
	Х		-2	0		1
	Х		-2	0		1	3
	Р		0,4	0,2		0,3	0,1
Требуется: 1) составить закон					распределения			случайной	величины
Z=Х+Х и Y=2Х		и убедиться,			что Y и		Z –	различные	случайные

величины, т.е. 2Х Х+Х; 2) вычислить математические ожидания величин Y и Z; 3) определить дисперсии случайных величин Y и Z. Можно ли утверждать, что Д(Х+Х)=Д(Х)+Д(Х)?

6.Независмые случайные величины имеют следующие законы распределения:

Х	2	3	5	7		Y	0	1	4
Р	0,2	0,25	0,15	0,4		P	0,7	0,2	0,1

Составить ряд распределения случайной величины Z=XY. Проверить на этом примере свойство математического ожидания произведения случайных величин.

7. Потребление электроэнергии цехами №1 и №2 завода в течение суток

характеризуется следующими данными:
	Х	900	950	1200	Y	600	640	700	720
	Р	0,15	0,6	0,25	P	0,1	0,2	0,05	0,2

где Х – количество потребляемой энергии цехом №1 в кВт-час, Y- количество потребляемой энергии цехом №2 в кВт-час. Требуется: 1) составить закон распределения количества электроэнергии, потребляемой в течение суток обоими цехами вместе; 2) найти математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины и на этом примере проверить справедливость свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин.

8.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной дифференциальной функцией

	0		при х			,
					2
f(х) =	1	cos x	при		х			,
	2			2			2

0при х 2 .

9.Найти центральные моменты второго и третьего порядков (см.(5.13)), если случайная величина задана функцией распределения

		0	при	х	0,
F(х) =	1	х2	при 0		х 3,
F(х) =	9	х2	при 0		х 3,
	9
		1	при	х	3.

Источник: https://studfile.net/preview/16711185/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика