Материал: 5525
53
Задача 6. На автоматическую телефонную станцию за некоторое время Т поступает в среднем два вызова. Считая, что число вызовов в течение любого промежутка времени Т распределено по закону Пуассона, найти вероятности того, что в течение этого времени Т на телефонную станцию поступит m вызовов (m=0, 1, 2, …).
Решение. В качестве параметра 
распределения Пуассона надо взять среднее число вызовов за время Т ( =2). Применяя формулу (6.13), получим:
Р(Х=0) = |
20 e 2 |
|
|
1 |
|
|
0,135 335; |
||||||
0 ! |
|
|
|
|
e2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Р(Х=1) = |
|
|
21 e 2 |
|
2 |
|
0,27 067; |
||||||
1 ! |
|
|
|
|
e2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Р(Х=2) = |
|
22 e 2 |
|
2 |
|
|
0,27 067; |
||||||
2 ! |
|
|
|
|
|
e2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Р(Х=3) = |
23 e 2 |
|
|
4 |
|
|
0,180 447. |
||||||
|
|
3e2 |
|||||||||||
|
|
3 ! |
|
|
|
|
|||||||
И так далее.
За д а ч и
1.Случайная величина означает число появлений герба при одном бросании монеты. Написать закон распределения вероятностей, определить его тип, найти числовые характеристики случайной величины.
2.Среди 15 измерительных приборов имеется 5 недостаточно точных. Для измерения наудачу выбирают 4 прибора. Случайная величина Х – число точных приборов среди отобранных. Определить вид закона и найти числовые характеристики.
3.Из 20 дипломных работ, среди которых 5 оценены аттестационной комиссией на «отлично», проверочная комиссия наугад отобрала 3 работы. Случайная величина Х – число дипломных работ, оцененных на «отлично» и оказавшихся в выборке. Определить вид закона этой случайной величины и найти ее числовые характеристики.
4.Покупатель приобрел 50 лотерейных билетов, вероятность выигрыша на каждый из которых равна 0,04. Х – число лотерейных билетов, на которые могут выпасть выигрыши. Указать тип распределения этой случайной величины. Найти М(Х) и (Х).
5.Вероятность попадания спортсмена по летящей мишени при каждом выстреле равна 0,8. Определить вид распределения и числовые характеристики случайной величины Х – числа попаданий спортсменом, если он произвел 20 выстрелов.
54
6.Для всхожести посеяли 80 семян перца. Гарантия всхожести составляет 90%. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа взошедших семян.
7.Производится стрельба по цели до первого попадания с вероятностью попадания в отдельном выстреле, равной 0,2. Случайная величина означает число произведенных выстрелов. Указать, к какому теоретическому виду она относится. Найти математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов.
8.Вероятность того, что из изготовленных изделий отдельно взятое изделие окажется дефектным, постоянна и равна 0,02. Контролер проверяет изделия до обнаружения дефектного. Случайная величина Х- число изделий, подвергнутых осмотру. Определить теоретический тип распределения и найти математическое ожидание случайной величины.
9.При некотором технологическом процессе в течение суток в среднем происходят три остановки. Число остановок при этом процессе в течение любых суток подчинено закону Пуассона. Найти вероятности, что в течение суток произойдет m остановок (m=0, 1, 2, …).
55
ТЕМА 7. ОСНОВНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Равномерное непрерывное распределение на промежутке, его плотность вероятностей и функция распределения. Числовые характеристики равномерного распределения. Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины на промежуток. Показательное распределение, его плотность и функция распределения. Числовые характеристики показательного распределения. Вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в заданный промежуток. Нормальное распределение, его плотность вероятностей и функция распределения. Влияние параметров нормального распределения на вид нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормированная кривая, нормированное нормальное распределение. Числовые характеристики нормального распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток. Вычисление вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигм, его сущность и применение на практике.
Л и т е р а т у р а
[2], гл.3, § 1,2, гл.4, § 1,5; [3], гл.5, 5.8, гл.6; [5], гл.11, § 6, гл.12, § 2-7, § 13-15, гл.13, § 1-3; [6], гл.4, § 18, 19, гл.5, § 23, 24; [7], гл.12, § 29-32; [8], гл.4, § 3, 5; [9], гл.3, § 4, гл.4, § 1, 3, гл.5, § 1, 2; [11], гл.29, § 206, 207; [12], ч.2, гл.3, § 12; [13], гл.20, § 13, 15-20. [14], § 3, 3.7-3.10; [15], гл.6, § 1-3; [16], гл.2, 2.6-2.9.
О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы
Плотность равномерного на отрезке [a, b] непрерывного распределения (дифференциальная функция f(х)) выражается аналитически равенством
|
0, |
если |
х |
а; |
|
|
f(х) = |
1 |
, |
если |
а |
х b; |
(7.1) |
|
||||||
b a |
||||||
|
0, |
если |
х |
b. |
|
|
Интегральная функция F(х) этого распределения имеет вид
|
|
0, |
если |
х |
а; |
|
|
F(х) = |
x |
a |
, |
если |
а |
х b; |
(7.2) |
|
|
||||||
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
если |
х |
b. |
|
|
Числовые характеристики равномерного на отрезке [a, b] непрерывного распределения находятся по формулам
56
М(Х) = |
a b |
; |
Д(Х) = |
(b a)2 |
. |
(7.3) |
|
2 |
12 |
||||||
|
|
|
|
|
Вероятность попадания этой случайной величины на отрезок [c,d] [a, b] находится по формуле
Р(с<Х<d) = |
d |
c |
. |
(7.4) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
b |
a |
|
||
Дифференциальная функция |
показательного |
распределения |
|||||
выражается аналитически равенством |
|
|
|
||||
f(х) = |
0, |
если х |
0; |
(7.5) |
|||
e x , если х |
0. |
||||||
|
|
||||||
Положительная постоянная |
называется |
параметром |
показательного |
||||
распределения. Интегральная функция F(х) имеет вид |
|
||||||
F(х) = |
0, |
если х |
0; |
(7.6) |
|||
1 e |
x , если |
х 0. |
|||||
Числовые характеристики показательного распределения находятся по следующим формулам:
М(Х) = |
1 |
; |
Д(Х) = |
1 |
; |
(Х) = |
1 |
. |
(7.7) |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность попадания на промежуток <а, b> непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, находится по формуле
Р(с<Х<d) = е |
а- е b. |
|
(7.8) |
||||||
Плотность нормального распределения имеет вид |
|
||||||||
|
1 |
|
|
( x a) 2 |
|
|
|
||
f(х) = |
|
e |
2 |
2 |
, |
> 0. |
(7.9) |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа а и 
называются параметрами нормального распределения. При а=0 и =1 нормальное распределение называется нормированным. Функция нормированного распределения табулирована. Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид
|
1 |
|
x |
|
(t a)2 |
|
|
||
F(х) = |
|
e 2 |
2 dt . |
(7.10) |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Математическое ожидание нормального распределения равно
параметру а: |
|
М(Х) = а. |
(7.11) |
Дисперсия нормального распределения |
|
Д(Х) = 2. |
(7.12) |
Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно второму
параметру : |
|
(Х) = . |
(7.13) |
57
Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение, принадлежащее промежутку < , >, находится по формуле
Р( <Х< ) = Ф |
a |
Ф |
a |
, |
(7.14) |
|
|
где Ф(х) – функция Лапласа, для которой имеется таблица ее значений. Вероятность того, что отклонение такой случайной величины по абсолютной величине будет меньше заданного числа >0, находится из равенства
|
Р |
|
X |
a |
|
= 2Ф |
|
. |
(7.15) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
Правило трех сигм записывается в виде равенства |
|
|||||||||
|
|
|
= 2Ф (3) 0,9973. |
(7.16) |
||||||
Р |
X a |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч
Задача 1. Определить вероятность того, что случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [2, 7], примет значение в промежутке [5, 6].
Решение. С помощью формулы (7.4) получаем
Р (5 Х 6) = |
6 |
5 |
= 0,2. |
|
7 |
2 |
|||
|
|
Задача 2. Троллейбусы некоторого городского маршрута идут с интервалом в 6 минут. Пассажир подходит к остановке в некоторый момент времени. Требуется: 1) определить плотность вероятности и функцию распределения случайной величины Х – времени, в течение которого пассажир будет ожидать троллейбус; 2) вычислить ее математическое ожидание и дисперсию; 3) найти вероятность появления пассажира на остановке не ранее, чем через две минуты после ухода предыдущего троллейбуса, но не позднее, чем за минуту до отхода следующего.
Решение. 1. Время, в течение которого пассажир будет ожидать троллейбус, представляет собой случайную величину, имеющую равномерное распределение. Следовательно, по формуле (7.1) определим плотность распределения случайной величины Х:
|
|
0 при х |
0, |
|
f(х) = |
1 |
|
при 0 |
х 6, |
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
при х |
6. |
|
По формуле (7.2) получаем выражение для функции распределения:
|
0 |
при х |
0, |
|
F(х) = |
x |
при 0 |
х 6, |
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
при х |
6. |
|