Материал: 5525

48

ТЕМА 6. ОСНОВНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Равномерное дискретное распределение. Гипергеометрическое распределение. Биномиальное распределение. Геометрическое распределение. Распределение Пуассона. Относительная частота события как случайная величина.

Л и т е р а т у р а

[2], гл.3, § 1, 2, гл.4, § 1,5; [3], гл.5, 5.9, гл.10, 10.3; [5], гл.6, § 4-6, гл.7, § 5, гл.8, § 6; [6], гл.4, § 18, гл.5, § 23; [8], гл.3, § 1,5; [9], гл.2, § 2, 3, 7; [11], гл.29, § 203, 206; [12], ч.2, гл.3, § 11; [13], гл.20, § 8, [14], § 3, 3.1-3.6; [15], гл.6, § 1-3; [16], гл.2, 2.3-2.5.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Пусть {х1, …, х2} – множество значений случайной величины Х, принимающей n значений. Распределение такой дискретной случайной величины называется равномерным, если вероятности появления значений

График функции представляет собой ступенчатую линию со скачками в точках х=хi (i=1,…,n). Величина скачка в каждой точке равна 1/n. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной дискретной случайной величины могут быть найдены по формулам

Пусть n – число различных элементов некоторого множества, из которых s элементов обладают определенным свойством. Из всего множества производится выборка без возвращения объема k. Пусть m – число элементов, обладающих этим же свойством и оказавшихся в

49

выборке, причем m может принимать значения m=0, 1, …, s, если s k. Случайная величина Х называется гипергеометрически распределенной, если вероятности появления ее значений находятся по формуле

Значения m определяются смыслом формулы (6.5) для каждой конкретной задачи. Для математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения справедливы соотношения

Пусть Х – случайная величина, значениями которой являются возможные значения числа m появления события А при проведении n повторных независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления А постоянна и равна р. В зависимости от случая m может принимать все целочисленные значения от 0 до n включительно. Вероятности принятия этих значений находятся по формуле Бернулли

Р(Х=m) Рn(m)= Cnm pm (1 p)n m . (6.7)

Такое дискретное распределение называется биномиальным. Функция F(х) этого распределения имеет следующий вид:

0, если х 0;

Суммирование здесь ведется по всем целым числам m, меньшим х. График функции распределения представляет собой ступенчатую линию со скачками в точках х=0, 1, …, n. Величина скачка в точке х=m равна Рn(m). Для биномиально распределенной случайной величины числовые

Пусть Х – случайная величина, значениями которой являются возможные значения числа m проведенных испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, причем опыт прекращается после первого же испытания, в котором рассматриваемое событие появилось. Геометрическое

50

Пусть случайная величина Х принимает целые неотрицательные значения m=0, 1, 2, …с вероятностями

Такое дискретное распределение называется распределением Пуассона с параметром . При различных получим различные распределения. Функция F(х) этого распределения имеет вид

Дискретное распределение случайной величины Х, определяемое при фиксированном >0 формулой

называется распределением пуассоновского типа. Из него получается распределение Пуассона при а=0, b=1.

Относительная частота W появления события А в независимых испытаниях есть случайная величина, которая может принимать значения

Числовые характеристики относительной частоты появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с постоянной вероятностью р, имеют следующие значения:

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Составить закон распределения числа выпавших очков при однократном подбрасывании игральной кости. Определить тип распределения и найти числовые характеристики этой случайной величины.

Решение. Пусть Х – число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Возможные значения этой случайной величины х1=1,

х2=2, х3=3, х4=4, х5=5, х6=6. Ясно, что Р(Х=хi)=1/6 для любого i=1,…,6.

Следовательно, ряд распределения имеет вид

Получили пример равномерного дискретного распределения (см.формулу (6.1)). Его числовые характеристики находятся по формулам (6.3) и (6.4):

Задача 2. Среди изготовленных за смену бригадой сборщиков десяти магнитофонов шесть – высшего качества. Для контроля случайным образом выбрали 3 изделия. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа изделий высшего качества среди отобранных. Определить тип распределения.

Решение. Случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3. Вероятность того, что среди трех изделий, отобранных для контроля качества, окажется равно m(m=0, 1, 2, 3) изделий высшего качества, вычисляется по формуле (6.5). Тогда

Таким образом, закон распределения этой случайной величины имеет вид

Это есть пример гипергеометрического распределения. Математическое ожидание и дисперсию найдем по формулам (6.6):

Задача 3. Вероятность того, что покупатель, зашедший в обувной магазин, приобретет обувь 37 размера равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число покупателей, которым необходима обувь 37 размера из первых зашедших в магазин шести покупателей. Определить тип распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Обозначим через Х случайную величину – число покупателей, которым необходима обувь 37 размера, среди первых шести вошедших. Она может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. По условию задачи р=0,4,

52

q=0,6. По формуле Бернулли (6.7) определим вероятности, с которыми Х принимает соответственно значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6:

Случайная величина имеет биномиальный закон распределения. Тогда числовые характеристики М(Х) и Д(Х) вычисляются по формулам (6.9).

Имеем: М(Х) = 6 0,4=2,4; Д(Х) = 6 0,4 0,6=1,44.

Задача 4. Охотник ведет стрельбу по дичи из автоматического ружья до попадания. Вероятность поражения дичи при каждом выстреле равна 0,7. Определить математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов.

Решение. Случайная величина Х, выражающая число произведенных охотником выстрелов по дичи, может принимать следующие значения: х1=1, х2=2, х3=3, … .Охотник выстрелит по дичи один раз, если он в нее попадет, т.е. Р(Х=1)=р=0,7. Охотнику потребуется два выстрела, если при первом выстреле будет промах, а при втором – попадание в дичь. Вероятность такого случая равна q р=0,3 0,7=0,21. Следовательно, Р(Х=2)=0,21. Три выстрела потребуется охотнику, если при первом и втором выстрелах он промахнется, а при третьем попадет в дичь. Вероятность этого случая Р(Х=3)= q2 р=(0,3)2 0,7=0,063. И так далее. Таблица распределения вероятностей для числа произведенных охотником выстрелов по дичи имеет вид

Это есть пример геометрического распределения. Определим математическое ожидание и дисперсию по формулам (6.12):

М(Х) = 10/7, Д(Х) = 30/49.

Задача 5. Вероятность того, что расход воды на предприятии не превысит в рабочий день нормы, равна 0,8. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа дней, в которые произойдет перерасход воды среди первых пятнадцати дней месяца.

Решение. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение. По условию задачи n=15, р=0,2, q=0,8. По формулам (6.9) находим математическое ожидание и дисперсию:

М(Х) = 15 0,2=3; Д(Х) = 15 0,2 0,8=2,4.