Материал: 5525

8

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Подарочный набор состоит из яблока, апельсина и шоколада. Сколько различных видов подарочных наборов можно составить, если имеется четыре сорта яблок, три сорта апельсинов и семь сортов шоколада?

Решение. Яблоко для подарочного набора можно выбрать 4 способами, апельсин – 3 способами, шоколад – 7 способами. Применяя правило произведения, находим, что из имеющегося ассортимента продуктов можно образовать N= 4 37 = 84 разных подарочных наборов.

Задача 2. Телефонный номер состоит из шести цифр. Сколько абонентов можно подключить к АТС, если предположить, что все цифры номера различны?

Решение. Из множества цифр, содержащего 10 различных элементов, выбираются 6 элементов. Надо учитывать порядок расположения выбранных элементов. Следовательно, необходимо найти число размещений без повторений из десяти элементов по 6 элементов в каждом, т.е. А106 . Значит, согласно (1.6) к АТС можно будет подключить

А106 109 8 7 6 5 151200абонентов.

Задача 3 . На окружности даны 6 точек. Сколько треугольников можно вписать в окружность так, чтобы их вершинами были указанные точки?

Решение. Из множества, содержащего 6 различных элементов, выбираются 3 элемента, так как вписанный треугольник однозначно определяется тремя точками, лежащими на окружности. Порядок элементов роли не играет. Следовательно, необходимо найти число сочетаний из шести элементов по три по формуле (1.5). Значит, можно

Задача 4. Для некоторого района планом предусмотрено строительство школы, детского сада и молодежного кафе. Скольким числом способов указанные объекты можно пустить в строй?

Решение. Все три объекта в плановый период должны быть построены. Однако порядок введения их в строй может быть разным. Следовательно,

9

число способов N равно числу перестановок из трех элементов. Тогда, согласно формуле (1.4) N=P3= 3! = 6, т.е. школа, детский сад и молодежное кафе могут быть пущены шестью различными способами.

Задача 5. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 включительно является делителем числа 40?

Решение. Испытание состоит в том, что выбирается наудачу целое число. Число n возможных исходов испытания равно 30. Событие А означает, что наудачу взятое число является делителем числа 40. Этому событию благоприятствует 7 исходов испытания: {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20}.

Следовательно, по формуле (1.1) получим, что Р(А)= 307 .

Задача 6. Группа туристов из 12 юношей и 8 девушек выбирает по жребию хозяйственную команду в составе трех человек. Какова вероятность того, что в составе этой команды окажется двое юношей и девушка?

Решение. Испытание состоит в том, что из 20 человек выбирают три человека. Так как выбор осуществляется по жребию, то все исходы испытания равновозможны и, кроме того, они несовместны. Число исходов испытания n=С 320 , так как выборка состоит из трех элементов и порядок их

расположения в выборке не учитывается. Пусть событие А состоит в том, что в составе выбранных окажутся двое юношей и девушка. Двух юношей из 12 можно выбрать С 122 способами и после каждого такого выбора одну девушку из 8 можно выбрать С18 способами. По правилу произведения,

Примечание: Эта задача связана с гипергеометрическим распределением, которое часто встречается. При решении подобных задач для контроля правильности решения рекомендуется сделать проверку по правилу: сумма нижних (верхних) индексов в произведении сомножителей числителя равна нижнему (верхнему) индексу знаменателя. В нашем примере это выполняется (12+8=20, 2+1=3), что говорит о правильности решения.

Задача 7. На книжной полке случайным образом расставлены 4 книги по высшей математике и 3 книги по теории вероятностей и математической статистике. Определить вероятность того, что книги по одному и тому же предмету окажутся рядом.

Решение. Испытание состоит в том, что 7 книг ставятся на полку. Так как они ставятся на полку произвольно, то все исходы испытания равновозможны и, кроме того, они несовместны. Для вычисления общего числа исходов испытания применим формулу (1.4). Число перестановок из 7 элементов: n=Р7=7!. Событию А, состоящему в том, что книги по одному

высшей математике может быть упорядочен 4! способами, а по теории вероятностей и математической статистике – 3! способами. Кроме того, сами комплекты книг могут быть упорядочены двумя способами. Таким

образом, искомая вероятность Р(А) = 2 4!3! 0,057.

7!

Задача 8. В урне находятся девять карточек, на каждой из которых написана одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Извлечены и разложены наугад в ряд три карточки. Какова вероятность того, что получившееся трехзначное число состоит только из нечетных цифр?

Решение. Испытание состоит в том, что из множества, содержащего 9 различных элементов, выбираются три элемента. Порядок существенен. Элементы не могут повторяться, т.е. речь идет о размещениях без

событие А состоит в том, что получившееся трехзначное число состоит только из нечетных цифр. Число m таких трехзначных чисел будет равно

Задача 9. Территория нефтебазы имеет форму прямоугольника со сторонами а=40 м, b=50 м. На территории имеется 4 круглых нефтебака диаметром 10 м каждый. Какова вероятность поражения нефтебаков снарядом, попавшим на территорию нефтебазы, если попадание снаряда в

поверхностей всех четырех нефтебаков. Каждая такая поверхность

Задача 10. Из 980 абитуриентов, подавших заявление на первый курс института, были зачислены 460 человек. Определить относительную частоту поступления в институт.

Решение. Относительная частота поступления в институт (событие А)

11

За д а ч и

1.В районе 8 населенных пунктов. Сколько различных маршрутов для самолета можно составить, если известно, что каждый маршрут соединяет три пункта?

2.Сколько различных «слов», состоящих не менее чем из четырех разных букв, можно образовать из букв слова «ученик»?

3.На четырех карточках написаны числа 1, 3, 4, 5. Найти вероятность того, что сумма чисел на трех произвольно выбранных карточках делится на 4.

4.Данное предприятие в среднем выпускает 20% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта.

5.В цехе работают 7 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Определить вероятность того, что все отобранные

1)мужчины, 2) женщины.

6.В группе трое юношей и 21 девушка. По жребию разыгрываются два билета в театр. Какова вероятность того, что в театр пойдут: 1) две девушки, 2) одна девушка и один юноша, 3) лица одного пола?

7.Из 6 менеджеров, 4 бухгалтеров и 5 инженеров необходимо случайным образом сформировать комиссию в составе 6 человек для анализа работы фирмы. Найти вероятность того, что в комиссию войдут 3 менеджера, 2 бухгалтера и один инженер.

8.На склад торгового центра завезено 120 мешков сахарного песка. Среди этих мешков 10 имели избыточную влажность. Для продажи случайно отобрали 15 мешков. Определить вероятность того, что на продажу поступило 2 мешка сахара с избыточной влажностью.

9.Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не имеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «книга».

10.Определить вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы а, а, а, н, н, с, получится слово «ананас».

11.Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры различны?

12.В прямоугольнике с основанием 8 см и высотой 6 см вписан эллипс. Указать вероятность того, что точка, брошенная наудачу в прямоугольник, окажется внутри эллипса.

12

ТЕМА 2. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Произведение событий. Независимые, попарно независимые и независимые в совокупности события. Теоремы умножения вероятностей независимых событий. Зависимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей зависимых событий. Сумма событий. Несовместные и попарно несовместные события. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. Противоположные события и теорема о сумме их вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий. Совместные события. Теоремы сложения вероятностей совместных событий. Гипотезы, формулы полной вероятности и Байеса.

Вероятность произведения нескольких независимых в совокупности

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную в предположении, что первое уже

Для вычисления вероятности произведения нескольких зависимых

Вероятность Р(А+В) суммы А+В двух несовместных событий А и В