Материал: 5525
18
Задача 9. В группе 18 девушек и 6 юношей. Известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин являются дальтониками. Наудачу выбранный из этой группы студент при проверке оказался дальтоником. Найти вероятность того, что им оказался юноша.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что наудачу выбранный студент является дальтоником. В условии сказано, что событие А уже наступило. Введем гипотезы: Н1 – выбранный студент является юношей,
Н2 – девушкой. Согласно условию задачи Р(Н1)= |
6 |
|
0,25 , Р(Н2)= |
18 |
0,75. |
|
24 |
24 |
|||||
|
|
|
||||
Эти события образуют полную группу. Далее, в условии задачи даны условные вероятности: Р H1 (А)=0,05, Р H 2 (А)=0,0 025. Требуется вычислить
РА(Н1), т.е. вероятность того, что выбранный дальтоник оказался юношей. Применим формулу (2.14) при i=1 (в нашей ситуации n=2). Получим, что
РА(Н1) = |
|
|
P H1 |
PH ( A) |
0,25 |
0,05 |
0,87. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P H |
1 |
P ( A) |
P(H |
) |
P ( A) 0,25 0,05 |
0,75 0,0025 |
||||
|
|
H1 |
2 |
|
H 2 |
|
|
|||
За д а ч и
1.Покупатель приобрел электрокофеварку и электрокофемолку. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для электрокофеварки равна 0,05; а для электрокофемолки такая вероятность равна 0,1. Определить вероятность того, что оба прибора выдержат гарантийный срок.
2.Для некоторой местности число ясных дней в августе равно 20. Определить вероятность того, что первого и второго августа будет хорошая погода.
3.На каждой из семи одинаковых карточек написана одна из букв А, В, О, Р, С, Т, А. Какова вероятность того, что, 1) извлекая наугад все карточки по одной, получим в порядке их выхода слово «Саратов»; 2)извлекая 5 карточек, получим в порядке их выхода слово «товар»?
4.В урне находятся 40 черных, 26 коричневых, 22 красных и 12 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутый наудачу из урны шар окажется синим или красным.
5.Хлебозавод выпускает в среднем 27% продукции высшего сорта и 62% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта.
6.Контрольная работа по теории вероятностей состоит из трех упражнений. Вероятность того, что студент решит упражнение на закон распределения для дискретной случайной величины, равна 0,6, на закон распределения для непрерывной случайной величины – 0,7, на нормальный закон – 0,9. Какова вероятность того, что студент напишет контрольную работу, если для этого достаточно решить не менее двух упражнений.
19
7.В двух урнах находятся шары, причем в первой урне 5 белых, 9 черных и 6 красных шаров, а во второй – 5 белых, 8 черных и 7 красных. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
8.Вероятность поражения цели одной ракетой 0,95, а другой – 0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если выпущены по ней обе ракеты.
9.Вероятность того, что саженцы сливы, яблони, абрикоса приживутся при осенней посадке соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,6. На участке высадили по одному саженцу каждого вида. Какова вероятность того, что 1) приживутся все саженцы; 2) приживется только один саженец; 3) приживется хотя бы один саженец?
10.Вероятность поражения цели при трех выстрелах из одного орудия равна 0,992. Какова вероятность поражения цели в одном отдельном выстреле?
11.Приборы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45% общего количества приборов, второй – 35%, третий – 20%. Первый завод выпускает 70% приборов высшего качества, второй – 80%, третий – 90%. В институт поступает продукция всех заводов. Какова вероятность того, что взятый для работы прибор окажется высшего качества?
12.Вероятности обращения фирмы за кредитом в один из трех банков
соответственно равны: р1=0,5; р2=0,3; р3=0,2. Вероятность предоставления кредита в первом банке равна 0,6, во втором – 0,4, в третьем – 0,3. Найти вероятность того, что фирма получит кредит при обращении в наудачу выбранный банк.
13.На склад поступает продукция трех фабрик. При этом продукция первой фабрики составляет 20% общего поступления, второй – 35%, третьей – 45%. Известно, что первая фабрика выпускает 3% нестандартных изделий, вторая - 2%, третья – 1%. Наудачу взятое на складе изделие оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что это изделие выпущено третьей фабрикой.
14.Три бухгалтера обрабатывают счета. При этом первый делает 2/5 всей работы, а два других выполняют оставшуюся часть работы в равной доле. Вероятность того, что первый бухгалтер допустит ошибку при работе над отдельным счетом, равна 0,01; для второго бухгалтера эта вероятность равна 0,004, а для третьего – 0,005. При проверке счетов была найдена ошибка. Каким вероятнее бухгалтером она допущена?
20
ТЕМА 3. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Определение повторных независимых испытаний. Формула Бернулли и ее следствия. Наивероятнейшая частота появления события и ее
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
вычисление. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Функция x |
|
|
e 2 |
и |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
ее свойства. Формула Пуассона и ее приложения. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятности отклонений частоты от наивероятнейшей частоты и относительной частоты от вероятности появления события.
Л и т е р а т у р а
[2], гл.1, § 3, гл.5, § 3-5; [3], гл.4; [5], гл.5, § 1-4, гл.6, § 5,6; [6], гл.1; [7], гл.5, 6; [8], гл.2, § 1-3; [9], гл.2, § 1-5; [11], гл.28, § 189-195; [12], ч.2, гл.2, § 5-8; [13], гл.20, § 8; [15], гл.4, § 1-3.
О с н о в н ы е ф о р м у л ы и м е т о д и ч е с к и е у к а з а н и я
Если производится n повторных независимых опытов, в каждом из которых появляется либо событие А с вероятностью р, либо событие A с вероятностью q=1-р, то вероятность Рn(m) того, что событие А появится ровно m раз, выражается формулой Бернулли
Рn(m) = Cnm рm qn-m. |
(3.1) |
Вероятность того, что А появится хотя бы один раз при n повторных
независимых испытаниях, вычисляется по следующей формуле: |
|
|
Рn (m |
1) = 1 – qn . |
(3.2) |
Наивероятнейшая частота m0 |
удовлетворяет неравенствам |
|
np – q |
m0 np + p. |
(3.3) |
Если число np+p – целое, то наивероятнейшее число m0 имеет только одно значение. Этим значением будет целая часть числа np+р. Если np+p – число дробное, то m0 принимает два значения: m0=np-q=np+p-1 и m0=np+p. При достаточно большом числе проведенных испытаний m0 примерно равно np (m0 np).
При большом числе испытаний для вычисления Рn(m) применяются
следующие приближенные равенства: |
|
|
|
|
|
||||
Рn(m) |
|
1 |
|
|
m |
np |
|
, |
(3.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
npq |
|
npq |
|
||||
m
Рn(m) |
|
e ( np). |
(3.5) |
m! |
21
В литературе обычно имеются таблицы значений функции
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|
x |
|
|
e 2 |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
m
и выражения р(m, λ) = m! e
.
Вероятность того, что событие А наступит не менее k раз и не более r раз, находится по приближенной формуле
|
|
|
|
|
Рn (k |
m r) Ф |
r np |
- Ф |
k |
np |
, |
(3.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
npq |
npq |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
x |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ф(х) = |
|
|
|
|
|
- функция Лапласа, для которой имеется таблица |
|||||||||||
|
|
e 2 dt |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
значений.
Формула (3.4) называется локальной теоремой Муавра-Лапласа, формула (3.6) – интегральной теоремой Муавра-Лапласа. Формулу (3.5) называют теоремой Пуассона.
Вероятности отклонений частоты m от наивероятнейшей частоты m0 и относительной частоты W от постоянной вероятности р события А при достаточно больших n вычисляются, соответственно, по следующим приближенным формулам:
|
|
|
|
|
Рn |
|
m |
np |
|
|
|
|
2 Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(3.7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Рn |
|
|
|
m |
p |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
, |
|
(3.8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где Ф(х) – функция Лапласа и |
|
- любое положительное число. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При n |
величина 2Ф |
|
|
n |
|
|
|
|
2 Ф |
|
|
|
n |
|
|
стремится к единице. Тогда |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
событие |
|
m |
p |
|
практически достоверно. Если число |
достаточно мало, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то за |
гипотетическую |
вероятность р |
|
|
|
события А |
можно принять |
|||||||||||||||||||||||||||||
относительную |
частоту |
|
W(А) |
= |
|
|
m |
|
этого |
события. |
Величина |
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
определяемая равенством |
|
|
|
|
|
|
Рn |
|
|
m |
p |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
называется |
надежностью. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, надежность есть вероятность совпадения частоты W= mn и
вероятности р появления события в отдельном испытании с точностью до
: р= mn 
.
При практическом применении теории вероятностей часто встречаются задачи на повторение опытов (испытаний). Многие же задачи моделируются как задачи на повторные испытания. Решаются они просто в
22
случае, когда опыты являются независимыми. В этом прежде всего и надо убедиться.
В каждом отдельном опыте появляется либо событие А, либо ему противоположное A (в конкретной задаче эти события надо сразу описать). Если вероятность события А во всех опытах постоянна (опыт производится в одинаковых условиях, Р(А)=р, Р( A )=q 1-р), то говорят, что имеет место схема Бернулли. Тогда Рn(m) вычисляется по формуле
(3.1).
Может быть и более общая схема: независимые опыты производятся в различных условиях (вероятность события А от опыта к опыту меняется). Имеется способ вычисления Рn(m) и в этой ситуации (см., например, [3] ).
Примерами независмых опытов являются: неоднократное бросание монеты (игральной кости), многократное извлечение карты из колоды (шара из урны, изделия из партии) при условии, что выбранный предмет возвращается.
Иногда допускают ошибку. В отборах без возвращения применяют биномиальное распределение (формулу Бернулли), на самом же деле надо применять гипергеометрическое распределение. Поясним это разбором задачи.
В урне находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из урны наугад извлекли 3 шара. Какова вероятность того, что два из них окажутся белыми?
Решение (ошибочное). Обозначим через А событие, состоящее в том, что отдельно взятый шар будет белым. Тогда, согласно условию, за р
принимают число 155 : р= 13 , q= 23 . Далее, полагают n=3, m=2. Вероятность
искомого события (два белых шара при вынутых трех) вычисляют по формуле Бернулли:
Р (2) = C2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
|
2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
3 |
3 |
|
3 |
|
9 |
3 |
9 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
Приведенное решение было бы верным, если бы опыты проводились в неизменных условиях. Для этого шары надо обратно возвращать в урну и перемешивать. По условию нашей задачи из урны вынули три шара (следовательно, они не возвращались). В этом случае уже нельзя говорить о неизменности условий всех трех опытов, так как после каждого извлечения состав шаров в урне будет меняться.
Для правильного решения применим классический способ подсчета
вероятностей. Число возможных |
исходов будет |
C3 |
, |
из них |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
благоприятными для интересующего нас события будут |
C2 |
C1 |
исходов. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
10 |
|
Тогда искомая вероятность Р= |
C2 |
C1 |
5 10 |
10 |
. |
|
|
|
|||
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C3 |
455 |
91 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|