Документ: 5525, страницы 21-25 | База студенческих работ

23

Формула Бернулли (3.1) дает точное значение Рn(m), однако для больших значений n и m появляются вычислительные трудности, прежде

всего из-за выражения для Cm .			Поясним это примером.			Пусть n=1000,
		n
m=25, р=0,03. Тогда		согласно	(3.1)	надо	вычислять выражение
C25	(0,03)25 (0,97)975.
1000
Поэтому возникает		необходимость в		более	простых	формулах для

Рn(m). Таковыми являются формулы (но уже приближенные) (3.4) и (3.5). Формула (3.4) дает тем более близкие к точному значению Рn(m)

результаты, чем больше значение npq . При этом здесь сказывается не только значение n, но и значение pq. Обычно формулой (3.4) пользуются, когда npq 20. Из этого ограничения видно, что чем ближе одно из чисел p или q к нулю (другое число будет близко к единице), тем большим надо

брать n. Погрешность этой формулы порядка 1 .

n

Найдем наибольшее значение выражения pq р(1-р). Рассмотрим

функцию f(р)=р(1-р) р-р2,		0 р	1. Очевидно, что она достигает своего
наибольшего значения	1	при р=	1	. Следовательно, при одних и тех же
	4		2

значениях n формула (3.4) дает тем лучшее приближение к значению Рn(m) из формулы Бернулли, чем ближе pq к своему наибольшему значению 0,25, т.е. чем ближе р (отсюда и q) к 0,5.

В случае, если вероятность р близка к нулю и число n мало, формула (3.4) дает заметные отклонения от формулы Бернулли.

Асимптотическая формула (3.5) применяется для редких событий (со значениями р, близкими к нулю). Приближение тем лучше, чем больше n и меньше p. Обычно формулой (3.5) пользуются при условии =np 10. Погрешность формулы (3.5) np2.

Задачи с редкими событиями встречаются на практике в лотереях, страховании, при проверке качества изделий с низким процентом брака, в медицине (рождение близнецов, заболевание редкой инфекционной болезнью) и т.п.

Если р близко к единице (например, р 0,97), то q близко к нулю (q 0,03). Тогда формулу Пуассона (3.5) можно применить для вычисления вероятности того, что A произойдет n-m раз. Надо в (3.5) положить =nq, а вместо m написать n-m. Найденная вероятность даст приближенное значение вероятности того, что А произойдет ровно m раз.

Как уже отмечалось, для функций (х) и р(m,		) имеются таблицы. Так
как (х) четна (	(-х)= (х)), то ее таблицы составлены для х 0. При х>4
можно полагать	(х) 0, так как (3,99) 0,0001 и	(х) монотонно убывает

при х>0. Если в таблице значений нет нужного аргумента, то можно провести либо округление этого аргумента до ближайшего, либо для

24

нахождения значения функции воспользоваться методом (линейной)

интерполяции.

Поясним метод линейного интерполирования для нашей ситуации.

Аргумент x ,

которого нет в таблице, будет заключен между некоторыми

двумя аргументами х1

и х2, имеющимися

в таблице (х1 <

x < х2).

Соответствующие аргументам х1 и х2

значения y1

и y2 нашей функции

будут даны

в таблице:

(х1) y1,

(х2) y2.

Тогда

запишем

уравнение

прямой,

проходящей через точки

(х1, y1)

и (х2, y2).

Оно имеет вид

y-y =

y2

y1

(x

x ) ; ограничение х

1

х

2

выполняется автоматически, т.к.

1

x2

x1

1

х

<х . Получилась линейная функция y=

y2

y1

x y

x

y2

y1

. Значение

1

2

x

1

x

2

1

2

1

этой линейной функции в точке x и принимают за приближенное значение неизвестного ( x ).

m

В ряде учебников имеются таблицы значений функции р(m, )= m ! e

для некоторых m и (см., например, [8], [11] ). Иногда приводят (см.[3] ) только значения e x (одного множителя нашей функции). Значения второго

множителя	xm	при небольших значениях m легко вычислить.
	m !

Если число n независимых испытаний мало и надо вычислить вероятность появления события А от k до r раз, то надо применить

	r
следующую формулу: Рn(k m r) =	Рn(m). В этой ситуации k и r не

m k

могут быть большими (мало n) и все Рn(m) можно вычислить по формуле Бернулли. Приведенная формула есть следствие теоремы о вероятности суммы попарно несовместных событий.

Эту последнюю формулу можно применять и при достаточно большом числе испытаний, если в сумме справа число слагаемых невелико (мало число r-k). При этом для вычисления Рn(m) при малых значениях р (р 0,03) надо применять приближенную формулу (3.5), а в остальных случаях – (3.4).

r
Если же число n велико и число слагаемых в сумме	Рn(m) велико,
m	k

то применяется приближенная формула Муавра-Лапласа (3.6). Условием ее применения является неравенство npq 20.

В этой формуле участвует функция Лапласа Ф(х), называемая еще интегралом вероятностей. Значения этой функции приводятся почти в каждом из рекомендуемых учебников. Только надо помнить, что в ряде учебников (см., например, [7], [8], [11] ) эти значения удвоены. Тогда в (3.6) надо подставлять значения в два раза меньшие (можно также, не

25

уменьшая этих значений, ввести справа в (3.6) множитель 12 , относящийся

к обоим слагаемым).

Таблицы Ф(х) приведены для х 0. Для отрицательных аргументов

значения		этой	функции	находятся на	основании ее свойства, что
Ф(-х) = -Ф(х) . Например,				Ф(-2) = -Ф(2)	-0,4 772 (см. [5], приложение 2).
Далее, для х>5			приближенно полагают Ф(х)			1	, так как Ф(5) 0,499 997 и
Далее, для х>5			приближенно полагают Ф(х)				, так как Ф(5) 0,499 997 и
					2
Ф(х)	1	при х	+ .

	2
	2

Сделаем некоторые пояснения по поводу формулы (3.8). Прежде всего она имеет теоретическое значение. Из нее следует так называемый закон больших чисел Бернулли, который будет рассмотрен в дальнейшем. Она объясняет, что статистическое определение вероятности события введено разумно.

Эта формула имеет значительные практические приложения. Зная р, n и , из (3.8) находим надежность . Если известны р, n и , то можно найти

точность . Наконец, что очень важно на практике, можно по р, заданным и оценить число n (число испытаний, необходимых для какого-нибудь

контроля). Более того, можно оценить n только при известных

и (р-

неизвестно).

Надежность приближенно получается из равенства (3.8):

= 2Ф

n

.

(3.9)

pq

Обозначим через t величину

n

:

pq

n

t =

.

(3.10)

pq

Решая уравнение (3.9) (

=

2Ф( t

)), по таблице значений функции

Лапласа Ф(х) найдем аргумент t

, соответствующий данной надежности .

Из (3.10) находится точность

при известных р, n и :

= t pqn .

Тогда с надежностью определяются границы, в которых заключены частость и частота события в серии из n испытаний:

m	p	, m np n .

n
n

Из (3.10) получается и формула для определения необходимого числа n испытаний при известных р, , :

26

t 2

n pq .

2

Из последнего равенства при неизвестном р в силу оценки pq=p(1-p) 14

получаем	n	t2		n0 ,	т.е. достаточно провести n0 испытаний для
		4	2

определения неизвестной вероятности р появления события с заданной точностью и надежностью.

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Вероятность того, что в данный день торговая база уложится в норму транспортных расходов, равна ¾. Определить веротяность того, что торговая база уложится в норму транспортных расходов только в два дня при шестидневной рабочей неделе.

Решение. Обозначим через А событие, что в любой день рабочей недели торговая база уложится в норму своих транспортных расходов, тогда A - база не уложится в эту норму. Вероятности этих событий постоянны. Очевидно, что эту задачу можно моделировать как задачу на повторные


независимые				испытания: n=6, m=2, р=Р(А)=3/4		(q=Р( A )=1/4).
Следовательно,					по формуле Бернулли (3.1) искомая	вероятность
Р (2)= C2		3	2	1	4
					0,033.
					0,033.
6	6	4		4
		4		4

Задача 2. В магазин завезли 500 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,002. Найти вероятность того, что магазин получит три разбитых бутылки.

Решение. Испытания, рассматриваемые в задаче, удовлетворяют схеме Бернулли. По условию задачи n=500, m=3, р=0,002. Так как n достаточно велико, а р=0,002 сравнительно мало, то для вычисления Р500(3) можно воспользоваться формулой Пуассона (3.5). Так как =np=1, то

Р500(3)	e	1	0,0 613.

	3 !
	3 !

Задача 3. По статистическим данным среди специалистов с высшим и средним специальным образованием женщины составляют 60%. На предприятии 240 таких работников. Определить наивероятнейшее число специалистов-мужчин, имеющих среднее специальное и высшее образование, и соответствующую ему вероятность.

Решение. Так как надо определить наивероятнейшее число специалистов-мужчин, то через А обозначим событие, состоящее в том, что выбранный специалист с высшим или средним специальным образованием – мужчина. Тогда событие A означает, что выбранная

27

женщина имеет высшее или среднее специальное образование. По


условию задачи n=240, p=Р(А)=0,4 (тогда			q=Р( A )=0,6). Следовательно,
240 0,4 - 0,6	m0 240	0,4+0,4, 95,4 m0	96,4. Так как m0 – целое число,
то наиболее вероятно,		что 96 мужчин будут иметь высшее или среднее
специальное	образование. Для приближенного нахождения Р240(96)

применим

локальную

теорему

Лапласа

(3.4). Вначале вычислим

m np

96

240 0,4

=

0. По таблице (см. [5], приложение 1) найдем

npq

240 0,6 0,4

(0) 0,3 989. Следовательно, искомая вероятность

Р240(96)

1

0,3989

0,0 526.

57,6

Задача 4.

Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна

0,001. Найти вероятность попадания в цель хотя бы один раз, если произведено 5000 выстрелов.

Решение. По условию задачи n=5 000, р=0,001, m 1. Надо найти Р5000 (m 1). Можно применить формулу (3.2), где q=1-0,001=0,999. Чтобы не вычислять значение qn=(0,999)5 000, нужно по формуле (3.5) для редких

событий вычислить Р5 000(0). Так как =np=5 000 0,001=5, то Р5 000(0)=е-5.

Тогда искомая вероятность Р5 000(m 1)=1-Р5 000(0) =1-е-5 1-0,0 067 =0,9 933.

Задача 5. На автоматическом станке с программным управлением изготовлены 24 изделия. Вероятность того, что изделие будет высшего сорта, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта, произведенных на данном станке.

Решение. Проводятся 24 повторных независимых испытания с двумя исходами в каждом (деталь высшего сорта и деталь не высшего сорта). По условию р=0,6, q=0,4, n=24. Наивероятнейшее число изделий высшего

сорта находим из неравенств (3.3): 24 0,6 - 0,4 m0 24 0,6 +	0,6 или
14 m0 15. Получили два наивероятнейших числа, т.е. m0=14	и m0=15.

Задача 6. По результатам проверки качества отобранного для посева зерна кукурузы всхожесть зерен составила 80%. Определить вероятность того, что среди отобранных и высаженных 400 зерен прорастет от 270 до

330 штук.

Решение. По условию задачи n=400, k=270, r=330. Для вычисления

Р400(270

m

330) можно использовать формулу (3.6). Вычислим

аргументы:

k

np

270 400 0,8

6,25;

r np

330 400 0,8

1,25.

npq

400 0,8 0,2

npq

400 0,8 0,2

По таблице Ф(х) найдем Ф(1,25)

0,3 944. Так как Ф(х) нечетна, то

Ф(-6,25) = -Ф(6,25). Учитывая, что Ф(х) 0,5 для х>5, получим Ф(6,25) 0,5.

Следовательно, Р400 (270 m		330) 0,3 944 + 0,5 = 0,8 944.
Задача 7.	В автобусном парке имеется 80 машин. Вероятность выхода
автобуса на	линию равна	0,9. Для обеспечения нормальной работы

Материал: 5525

Смотрите также: