Материал: 5525

Для непрерывной случайной величины плотность распределения вероятностей f(х) в точке х определяется равенством

где х < Х < х+ х – событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+ х) длины х. Так как Р(х < Х < х+ х) = F(х+ х) – F(х), то в точках существования произвольной функции F(х) имеет место равенство

f(х) = F’(х). (4.8)

Поэтому плотность часто называют дифференциальной функцией. Плотность распределения вероятностей обладает следующими

свойствами:

1)f(х) 0,

Если плотность f(х) интегрируема, то можно найти функцию

Вот почему функцию распределения часто называют интегральной функцией.

Если известна функция F(х), то вероятность попадания случайной

Если известна плотность f(х) и она интегрируема на промежутке <a, b> (интервале, отрезке, любом полуотрезке), то

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. В группе 25 студентов. По результатам экзаменационной сессии 18 студентов получают стипендию, причем 6 из них – повышенную. Построить ряд распределения и полигон величины стипендии для наудачу

34

выбранного студента этой группы, если размер обычной стипендии составляет 200 рублей, а повышенной – 250 рублей.

Решение. Случайная величина Х (величина стипендии) может принимать следующие значения: х1=0, х2=200, х3=250. Вероятности этих возможных значений соответственно равны: р1=7/25, р2=12/25, р3=6/25. Поэтому закон (ряд) распределения случайной величины Х имеет вид

Р7/25 12/25 6/25

Полигон построить самостоятельно.

Задача 2. Составить функцию распределения и построить ее график для дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

Составленную функцию распределения изобразим графически: y

х

Величины скачков в точках разрыва х=1, х=3, х=4, х=7 как раз равны вероятностям, что случайная величина Х примет эти значения.

Задача 3. Функция распределения непрерывной величины Х задана выражением

37

Задача 6. Найти функцию распределения непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей которой задана функцией

0 при х 6 ,

0 при х 3 .

Решение. Применяя формулу (4.10), найдем функцию распределения.

1при х 3 .

За д а ч и

1.Выпущено 1 000 билетов денежной лотереи. При этом разыгрываются один выигрыш в 1 000 рублей, пять выигрышей по 500 рублей, двадцать выигрышей по 50 рублей. Составить ряд распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета. Построить полигон распределения. Найти функцию F(х) и построить ее график.

2.Монета брошена 4 раза. Составить ряд распределения случайной величины Х – частоты появления герба. Построить полигон распределения. Найти функцию F(х) и построить ее график.

3.Составить закон распределения случайного числа попадания кольца на колышек при одном броске, если вероятность попадания кольца на колышек у игрока равна 0,7. Указать функцию F(х) и построить ее график.

4.Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,15; для второго и третьего станков эти вероятности равны, соответственно, 0,2 и 0,25. Составить ряд распределения числа станков, которые потребуют внимания рабочего в течение часа.