Материал: 5525
3
Содержание
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей…………………………….3
Тема 2. Классические теоремы теории вероятностей………………………12 Тема 3. Повторные независимые испытания………………………………..20 Тема 4. Случайные величины и законы их распределения………………...32 Тема 5. Числовые характеристики случайных величин……………………39 Тема 6. Основные дискретные случайные величины и их числовые
характеристики…………………………….………………………. 48
Тема 7. Основные непрерывные случайные величины и их числовые характеристики……………….……………………………………. 55
Тема 8. Закон больших чисел и центральная предельная теорема………..64 Тема 9. Основные понятия математической статистики. Числовые
характеристики…………………………….………………………..70
Тема 10. Статистические оценки…………………………………………….85 Тема 11. Корреляция и регрессия……………………………………………94 Тема 12. Проверка статистических гипотез………………………………..109
Литература…………………………………………………………………...117 Приложения………………………………………………………………….
4
Михаил Филиппович Тиунчик
РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Учебное пособие
Н/К Редактор Г.С.Одинцова
ЛР № 020756 от 02.04.98г.
Подписано в печать |
. |
Формат 60 |
84/16. |
Бумага писчая. |
|
Печать офсетная. |
Усл.п.л. 7,0. Уч.-изд.л. 5,0. |
Тираж 830 экз. |
|||
|
|
Заказ № |
. |
|
|
680042, г.Хабаровск, ул.Тихоокеанская, 134, ХГАЭиП, РИЦ.
5
ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Испытания и события. Невозможное, достоверное и случайное события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Относительная частота и ее устойчивость. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Элементарные события. Пространство элементарных событий. Противоположное событие, сумма и произведение событий. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Принципы практической невозможности и практической достоверности событий. Предмет теории вероятностей. Перестановки, сочетания, размещения и формулы для вычисления их числа. Применение комбинаторики к подсчету вероятностей.
Л и т е р а т у р а
[2], гл. 1, § 1,2, гл.2, § 1,2; [3], гл.1, гл. 2, 2.1-2.3, 2.5, гл.3, 3.1; [5], гл.1, § 1-6, гл.2, § 4; [6], гл.1; [7], гл.1; [8], гл.1, § 1-3, § 7; [9], гл.1, § 1-4; [10], гл.1, § 1-3; [11], гл.26, § 182-185; [12], ч.2, гл.1, § 1,2; [13], гл.20, § 1,2; [15], гл.1, § 1-3, гл.2, § 1-3; [16], гл.1, 1.1-1.3, 1.7.
О с н о в н ы е ф о р м у л ы и м е т о д и ч е с к и е у к а з а н и я
Вероятность Р(А) события А вычисляется как отношение числа m благоприятных этому событию исходов к общему числу n равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов:
Р(А) = |
m |
. |
(1.1) |
|
|||
|
n |
|
|
Пусть всем |
возможным результатам испытания соответствуют точки |
||||
множества , |
а данному событию А – точки множества S, которое |
||||
является частью множества |
(S |
). Тогда |
|
||
|
|
Р(А) = |
mes S |
, |
(1.2) |
|
|
|
|||
|
|
|
mes |
|
|
где mes G - длина, площадь, объем множества G.
Частота W(А) события А находится на основании результатов опыта по формуле
W(А) = |
m |
, |
(1.3) |
|
n |
||||
|
|
|
где n – общее число фактически проведенных испытаний, а m – число появления события А.
Число перестановок Рn из n элементов находится по формуле
6
|
|
|
|
Рn = n! |
1 2 3 n . |
(1.4) |
|||
По определению принимают равенство 0!=1. |
|
||||||||
Число сочетаний Cm |
из n элементов по m элементов вычисляется по |
||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cnm |
n! |
|
. |
(1.5) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
m!(n |
m)! |
|
||
В частности, |
Cn0 |
n! |
1. Это согласуется с тем, |
что в множестве из n |
|||||
|
|
||||||||
0! n! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
элементов имеется только одно подмножество из 0 элементов – пустое множество.
Число размещений Am |
из n элементов по m находится по формуле |
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
Am |
Cm |
P |
|
n! |
n (n 1)(n 2) [n (m 1) ] . |
(1.6) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
n |
n |
m |
|
(n m)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При решении задач на классическое определение вероятности прежде всего выясняют, в чем состоят исходы испытания и какие исходы благоприятны данному событию. Затем непосредственно вычисляют вероятность события по формуле (1.1), предварительно вычислив общее число исходов n и число m благоприятных исходов. При этом надо убедиться, что указаны все элементарные исходы и что они равновозможны и несовместны.
При выявлении элементарных исходов иногда допускаются ошибки. Поясним это на примере. Монета бросается 2 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет оба раза (событие А).
Решая эту задачу, рассуждают так. Герб может выпасть 2 раза, 1 раз и 0 раз (ни разу). Считают, что элементарных исходов три: {0,1,2}. Эти исходы несовместны и единственно возможны. Благоприятен А один
исход (герб выпал оба раза). Тогда Р(А) = 13 .
Приведенное решение содержит ошибку. На самом деле описанные выше исходы не являются равновозможными, и поэтому нельзя применять классическое определение вероятности. Пространством элементарных событий является следующее множество равновозможных событий: {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}. Через Г обозначено появление герба, а через Ц – цифр (решки). Ошибка первоначального рассуждения в том, что учтен только
один из симметричных исходов ГЦ, ЦГ. Таким образом, Р (А) = 14 .
Решение многих задач основывается на двух фундаментальных правилах, называемых правилами суммы и произведения.
Правило суммы можно сформулировать так: если некоторый объект x1 можно выбрать n1 способами, а объект x2 - n2 способами, причем любой способ выбора x1 отличается от любого способа выбора x2 , то выбор « x1 или x2 » можно сделать n1 + n2 способами.
7
Правило суммы обобщается на любое конечное число объектов. Правило произведения состоит в следующем: если объект x1 можно
выбрать n1 способами, и после каждого такого выбора объект x2 можно выбрать n2 способами, то выбор пары ( x1 , x2 ) может быть осуществлен
n1 n2 способами.
Это правило обобщается на случай k объектов. Тогда число комбинаций
( x1 ,..., xk ) есть N=n1…nk .
Вчастности, может быть k одинаковых групп по n элементов в каждой.
Пусть на r-м шаге выбирается элемент из r-й группы. Тогда число N различных комбинаций есть nk .
Приведем пример. Цифровой замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов, отмеченных цифрами. При
наборе кода каждый диск может быть установлен в любую из 6 позиций. Следовательно, замок содержит N=64 различных четырехзначных кодов.
При решении задач встречаются выборки без возвращения и выборки с возвращением. Выборку без возвращения наглядно можно представить как последовательный набор из совокупности n перенумерованных шаров, находящихся в урне. Вынутые шары в урну не возвращаются. При выборке
свозвращением шары вынимаются, запоминаются и возвращаются в урну. В последнем случае один и тот же шар может быть выбран более одного
раза. Если производится выбор с возвращением, то число различных выборок объема k из множества в n элементов равно nk.
К выборкам без возвращения относятся размещения, перестановки и сочетания, которые часто применяются при непосредственном вычислении вероятностей по формуле (1.1). Для вычисления числа перестановок, сочетаний и размещений применяются, соответственно, формулы (1.4)- (1.6).
Перестановки из n элементов можно понимать как размещения из n элементов по n элементов.
Важно уяснить различие между сочетаниями и размещениями. Поясним это на примере.
Вгруппе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать: 1) трех делегатов на конференцию; 2) актив группы (старосту, заместителя старосты, профорга)? В первой ситуации нас интересует только состав,
поэтому речь идет о сочетаниях. Применяя формулу (1.5), получим N= C253 =2300. Во второй ситуации в каждой выбранной тройке студентов
можно перераспределять должности, т.е. речь идет о составе и порядке (о размещениях). Тогда по формуле (1.6) N= C253 Р3=2300 3!=13800.
При подсчете числа сочетаний для уменьшения вычислительной работы
надо руководствоваться следующим. Если m |
n |
, то применяют формулу |
|
2 |
|||
|
|