Материал: 5525

13

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий вычисляется по формуле

Р(А1+ + Аn) = Р(А1) + + Р(Аn). (2.6)

Сумма вероятностей событий А1, …, Аn, образующих полную группу, равна единице, т.е.

В частности, сумма вероятностей двух противоположных событий А и

Вероятность Р появления хотя бы одного из нескольких независимых в

Если события А1,…, Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность Р появления хотя бы одного из них вычисляется по формуле

вытекающей из формулы (2.9) (q – вероятность противоположных событий

A1,..., An ).

Вероятность суммы двух совместных событий находится по формуле

при этом событие А может наступить вместе с одним из несовместных событий Н1, …, Нn, образующих полную группу. Р(Нi) – это априорная вероятность события Нi.

Апостериорные вероятности РА(Hi) гипотез Нi (переоцениваются вероятности гипотез после наступления события А) вычисляются по следующим формулам Байеса:

При анализе и решении задач этой темы обычно придерживаются следующей схемы. Сначала выясняют, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание, и обозначают событие, вероятность которого требуется определить. Потом вводят (и обозначают) более простые события, через которые выражается исходное. Обычно об этих более простых событиях что-то говорится в условии задачи. В частности, их вероятности либо даны, либо легко вычисляются. Таким образом, исходное событие должно быть представлено либо в виде произведения более простых, либо в виде их суммы, либо в виде сумм произведений. Тогда для нахождения искомой

14

вероятности можно будет применять различные теоремы умножения и сложения вероятностей. В частности, важно уяснить, какие из основных формул, приведенных выше, придется применять.

Чтобы осуществить первый этап (выражение исходного события через более простые), надо четко уяснить понятия произведения и суммы (несовместных и совместных) событий, уметь их формулировать различным образом.

При применении теорем умножения надо знать понятия: независимые и зависимые события, независимые в совокупности события, условная вероятность. Выяснив число событий в произведении и их свойства, можно будет определить, какую из формул (2.1) – (2.4) надо применять.

При выборках с возвращением предметов (объектов) события будут независимы, при выборках без возвращения – зависимы.

При применении теорем сложения надо знать понятия: несовместные и совместные события, попарно несовместные события. Тогда можно будет применять формулы (2.5), (2.6) и (2.11), (2.12). При этом в формулах (2.11) и (2.12) придется вычислять вероятности произведений событий, что приведет к формулам (2.1) – (2.4), т.е. надо будет учитывать независимы или зависимы сомножители (события).

При вычислении вероятности наступления хотя бы одного из нескольких событий рекомендуется вначале найти вероятность противоположного события, а потом использовать формулу (2.8). Этот принцип целесообразно применять, если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие. Если эти события независимы в совокупности, то можно сразу использовать формулу (2.9); если они ещё и равновозможны, то применяется формула

(2.10).

При решении задач на формулу (2.13) надо ввести исходное событие А, составить гипотезы Н1, …, Нn и проверить, что они образуют полную

Формулы Байеса тесно связаны с формулой полной вероятности (знаменатель правой части (2.14) дает Р(А)). Если из условия задачи известно, что событие А уже наступило, то по формулам Байеса можно вычислить вероятность любой гипотезы Нi при условии, что А произошло.

Изложенное поясняется решением типовых задач.

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Электрическая цепь состоит из трех элементов, включенных параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность выхода из строя за время Т первого элемента равна 0,1; второго – 0,15; третьего – 0,2. Найти вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

15

Решение. Так как соединение параллельное, то цепь будет разорвана (событие А), если откажут все три элемента. Через А1, А2, А3 обозначим события, состоящие в том, что за время Т откажут соответствующие элементы (первый, второй и третий). Тогда А=А1 А2 А3. По условию дано, что Р(А1)=0,1, Р(А2)=0,15, Р(А3)=0,2. События А1, А2, А3 независимы в совокупности. Применяя формулу (2.2), получим Р(А)=0,1 0,15 0,2=0,003.

Задача 2. По учебному плану для студентов первого курса заочного факультета по высшей математике предусмотрены зачет и экзамен. Вероятность сдачи зачета для некоторого студента равна 0,7, а вероятность сдачи экзамена при условии, что он сдал зачет, равна 0,85. Какова вероятность того, что этот студент не будет иметь задолженности по высшей математике?

Решение. Испытание состоит в том, что студент сдает зачет и экзамен по курсу высшей математики. Вероятность Р(А) того, что студент сдаст зачет (событие А), равна 0,7. Вероятность того, что он сдаст экзамен (событие В), вычисленная в предположении, что уже получен зачет, т.е. условная вероятность РА(В)=0,85. Событие АВ означает, что студент не будет иметь задолженности. По формуле (2.3) искомая вероятность

Р(АВ)=0,7 0,85 = 0,595.

Задача 3. 20 студентов распределяются на практику. Им предоставлено 8 мест в Хабаровске, 6 – в Комсомольске-на-Амуре, 5 – в ЮжноСахалинске и одно в Магадане. Какова вероятность того, что два определенных студента окажутся на практике в одном городе Хабаровского края?

Решение. К Хабаровскому краю относятся два из указанных городов. Пусть событие А состоит в том, что два определенных студента попадут на практику в Хабаровск, а В – эти же студенты попадут в Комсомольск-на- Амуре. Событие А+В будет означать, что два определенных студента окажутся на практике в одном городе Хабаровского края. Так как А и В несовместны, то по формуле (2.5):

Замечание. Эту задачу можно было бы решать непосредственно по классическому определению, применив к подсчету числа благоприятных ситуаций правило суммы выбора несовместных объектов.

Задача 4. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по одной цели, причем каждый из них делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,9, второго – 0,6, третьего – 0,7. Найти вероятность того, что будет две пробоины.

Решение. Пусть А1, А2, А3 – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал первый, второй, третий стрелок. По условию дано, что Р(А1)=0,9, Р(А2)=0,6, Р(А3)=0,7. Противоположные

16

события A1 , A2 , A3 имеют следующие вероятности: Р( A1 )=0,1, Р( A2 )=0,4, Р( A3 )=0,3. Две пробоины (событие А) могут быть либо в результате

попаданий первого и второго стрелков (и промаха третьего), либо в результате попаданий первого и третьего стрелков (и промаха второго), либо в результате попаданий второго и третьего стрелков (и промаха первого). Следовательно, на основании определения суммы и произведения событий А=А1 А2 A 3 + А1 A 2 А3 + A 1 А2 А3. Очевидно, что стоящие в сумме события попарно несовместны, а стоящие в произведениях независимы в совокупности. Применяя соответствующие теоремы сложения и умножения вероятностей (формулы (2.6) и (2.2)), получим:

Р(А) = 0,9·0,6·0,3+0,9·0,4·0,7+ 0,1 ·0,6 ·0,7 = 0 ,162+0,252+0,042 = 0,446.

Задача 5. Вероятность покупки обуви определенного размера и фасона для покупателя в одном магазине равна 0,4, в другом – 0,7, в третьем – 0,8. Какова вероятность того, что покупатель приобретет необходимую обувь?

Решение. Пусть А1, А2, А3 – события, состоящие в том, что покупатель приобрел необходимую ему обувь соответственно в первом, втором, третьем магазине. Событие А – покупатель приобрел необходимую ему обувь – состоит в наступлении хотя бы одного из событий А1, А2, А3, независимых в совокупности. Тогда для вычисления Р(А) можно применить формулу (2.9). По условию дано, что Р(А1)=0,4, Р(А2)=0,7,

Р(А3)=0,8. Тогда Р( A1 )=1-0,4=0,6, Р( A2 )=1-0,7=0,3,

Р( A3 )=1-0,8=0,2. Следовательно, Р(А)=1-0,6·0,3·0,2=0,964.

Задача 6. Вероятность выигрыша по одному любому лотерейному билету равна 0,02. Найти вероятность выигрыша хотя бы по одному билету для владельца 4 билетов.

Решение. Условия задачи позволяют применить формулу (2.10). Так как р=0,02 (q=0,98), n=4, то искомая вероятность

работающих прибора. Вероятность того, что при аварии сработает первый прибор, равна 0,98. Для второго прибора такая вероятность равна 0,96. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал хотя бы одного прибора.

Решение. Через А обозначим событие, что об аварии поступит сигнал первого прибора, а через В – второго. По условию дано, что Р(А)=0,98, Р(В)=0,96. А+В будет означать, что об аварии поступит сигнал хотя бы одного прибора. События А и В совместны, но независимы. Тогда, применяя формулы (2.11) и (2.1), получим

Р(А+В)=0,98+0,96-0,98·0,96=0,9 992.

Замечание. Так как события А и В независимы, то для вычисления искомой вероятности можно применить формулу вида (2.9). Тогда

17

Р(А+В) = 1 – Р( A )·Р( B )=1-0,02·0,04=0,9 992.

Естественно, что оба ответа совпадают.

Задача 8. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при втором – 0,7, при третьем – 0,8. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий: при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,4, при двух попаданиях – с вероятностью 0,8.Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

Решение. Самолет может быть сбит (событие А), если произошло одно попадание (событие Н1), два попадания (событие Н2) и, наконец, три попадания (событие Н3). Тогда событие А представимо в виде А=Н1А+Н2А+Н3А. Следовательно, можно применить формулу полной вероятности (2.13), если найдем все Р(Нi) и Р Hi (А). Условные вероятности

Р Hi (А) даны по условию задачи: Р H1 (А)=0,4 (вероятность того, что самолет будет сбит при одном попадании), Р H 2 (А)=0,8 (вероятность того, что самолет будет сбит при двух попаданиях), Р H 3 (А)=1 (при трех попаданиях самолет заведомо выходит из строя). Надо еще найти вероятности гипотез Н1, Н2, Н3. Пусть Вi (i=1, 2, 3) – попадание при i-ом выстреле, а Bi – промах. Вероятности событий В1, В2, В3 даны по условию: Р(В1)=0,6;

Р(В2)=0,7; Р(В3)=0,8. Следовательно, Р( B1 )=0,4, Р( B2 )=0,3, Р( B3 )=0,2.

Событие Н1 (произошло ровно одно попадание при трех одиночных выстрелах) представимо в виде:

Н1 = В1 B2 B3 + B1 В2 B3 + B1 B2 В3.

Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей, получим

Замечание. Введенные события Н1, Н2, Н3 не образуют полной системы

вероятности обращается в нуль, поэтому гипотеза Н0 не вводилась в

рассмотрение. Так обычно и поступают при применении формулы (2.13), рассматривая не полную группу гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.