Материал: 5525

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

108

Составить уравнения прямых линий регрессий и определить тесноту связи между факторами.

5. В результате выборочного изучения связи между размерами потерь пшеницы Y (ц с га) и сроками ее уборки Х (количество дней) после достижения полной спелости были получены следующие данные:

	Х	1		2			3		4		5	6
	Х

	Y	1,75		2,60			3,40		4,12		4,80	5,30
Предполагая, что связь между признаками Х и Y параболическая, определить
уравнение регрессии Y на Х.
6. Связь глубины			орошения		и	урожайности				сельскохозяйственной культуры
дается в следующей таблице:

			Глубина		Урожайность (в ц/га)
			орошения		10			12	14		16
			(в см)
			0		4			1
			10					2	3		2
			20					1	4		4
			30					2	2		3
			40					2	3		1
			50		2			2	2

Предполагая, что связь между орошением и урожайностью параболическая, найти уравнение регрессии.

7.Распределение 30 однотипных предприятий по объему выпускаемой продукции за день (Х) и себестоимости единицы этой продукции (Y), дается в следующей таблице:

Y	100	110	120	130
Х
50			1	3
100		3	3
150		6	2	1
200	1	4		1
250	4

Предполагая, что связь между величинами гиперболическая, найти уравнение регрессии Y на Х. Построить теоретическую и эмпирическую линии регрессии.

109

ТЕМА 12. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистическая гипотеза, примеры гипотез. Нулевая (основная) и конкурирующая (альтернативная) гипотезы, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область и область принятия гипотезы. Критические точки. Левосторонняя и правосторонняя критические области, двусторонняя критическая область. Отыскание критических областей. Мощность критерия. Критерий согласия. Примеры критериев согласия.

2 – распределение. Критерий «хи квадрат» (К.Пирсона). Проверка гипотез о распределении Пуассона и о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия Пирсона. Методики вычисления теоретических частот распределения Пуассона и нормального распределения. Понятие о критерии Романовского.

Л и т е р а т у р а

[1], раздел 3, гл.9, раздел 4, гл.11; [3], гл.6, п.7.6; [4], §2; [5], гл.19, § 1-7, 22, 23, гл.17, § 5, 6; [8], гл.8, § 1-6; [9], гл.11, § 1-4; [11], гл.32, § 219; [12], ч.2, гл.5, § 20; [16], гл.6.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Распределение, плотность вероятности которого имеет вид

			0		при
		1				k	1	x
		1					1
f(x) =					x 2		e 2
f(x) =		k		k	x 2		e 2
	Г	k	22
	Г	2	22
		2

х0,

при х 0,

(12.1)

называется «хи квадрат» распределением. Здесь Г(z) – гамма-функция, уже введенная в теме 10. Это распределение имеет один параметр k, называемый числом степеней свободы.

В критерии согласия «хи квадрат» (К.Пирсона) для проверки нулевой гипотезы используют случайную величину

		2	S	(n		n' )2	.		(12.2)
			=	i		i	.		(12.2)
				i		i
			i 1		n'
					i
Здесь n	i	– эмпирические (опытные)		частоты,				n'	- теоретические частоты, s –
	i							i

число групп или частичных интервалов выборки. Случайная величина (12.2) характеризует близость эмпирического и теоретического распределений, так как содержит разности эмпирических и теоретических частот. Возведением в квадрат разностей частот устраняют возможность взаимного погашения положительных и отрицательных разностей частот.

110
Доказано, что случайная величина (12.2) при n	имеет 2–распределение,

т.е. ее плотность вероятности имеет вид (12.1). При этом число степеней свободы k=s-1-r, где r – число параметров предполагаемого теоретического распределения.

Если предполагают, что генеральная совокупность распределена по закону

Пуассона (он содержит один параметр ), то r=1 и, следовательно,
k = s – 2.	(12.3)

Если предположить распределение нормальным (оно имеет два параметра a и

), то r=2 и, следовательно, число степеней свободы
k = s - 3	(12.4)

Приведем правило проверки нулевой гипотезы (о предполагаемом законе теоретического распределения) с помощью критерия согласия Пирсона. Сначала

вычисляются			теоретические частоты.		Затем	находят	наблюдаемое значение
критерия	2			по формуле (12.2).	Далее,	по таблице критических точек
		набл.
распределения			2	при заданном уровне значимости			и по найденному числу

степеней свободы (по формуле (12.3) для распределения Пуассона и по формуле

(12.4)	для нормального распределения) находят критическую точку 2кр.(	, k).
Если	2набл. < 2кр., то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если же	2набл.

>2кр, то нулевую гипотезу отвергают.

При применении критерия объем выборки должен быть значительным (обычно n>50). Малочисленные группы выборки объединяют с соседними, суммируя эмпирические частоты.

Теперь опишем способы нахождения теоретических частот.

В случае дискретного распределения признака Х генеральной совокупности

теоретические (выравнивающие) частоты находят по формуле
	n'	= n P (X=x ),	(12.5)
	i	i
где n= ni –	число испытаний (объем выборки), P (X=xi)		– вероятность
наблюдаемого	значения хi	, вычисленная при допущении,	что Х имеет

предполагаемое распределение. Формула (12.5) следует из теоремы о математическом ожидании частоты появления события в независимых испытаниях.

Очень важным является дискретное распределение Пуассона. Тогда хi принимает значения m: 0, 1, 2,… Вероятности P(X=xi) из равенства (12.5) вычисляются по формуле Пуассона

Р(Х=m) =	me	.	(12.6)
	m !

Так как математическое ожидание этого распределения М(Х)= , а выборочная средняя xB является оценкой математического ожидания, то в формуле (12.6) за принимают xB .

В случае непрерывного распределения вероятности отдельных возможных значений равны нулю: Р(Х=хi)=0. Поэтому весь промежуток возможных значений такой случайной величины разбивается на непересекающиеся интервалы (хi, xi+1)

111

(обычно одинаковой длины h) и, естественно, вместо формулы (12.5) для вычисления теоретических частот применяют формулу

n'	= n P (x	i	Х < x	i+1	).	(12.7)
i		i		i+1
Если F(х) – функция распределения случайной величины Х, то известно, что
P (xi	Х < xi+1) = F(хi+1) – F(xi).					(12.8)
Если f(х) – плотность вероятности, причем непрерывная функция, то
	xi 1
P (xi < Х < xi+1) = f (x) dx (xi				1 xi ) f (xi ) ,		(12.9)

где xi - некоторая фиксированная точка интервала (хi, xi+1). Обычно в качестве xi

берут приближенное значение x* - середину интервала (х , x		):	x*	xi xi 1	.
берут приближенное значение x* - середину интервала (х , x		):	x*		.
i	i	i+1	i	2
				2

Теперь рассмотрим важнейшее непрерывное распределение – нормальное.

Исходя из (12.8) приходим к формуле

P (xi < Х < xi+1) = Ф	xi 1 xB	Ф	xi xB	,	(12.10)
P (xi < Х < xi+1) = Ф	s	Ф	s	,	(12.10)
	s		s

где Ф(х) – известная функция Лапласа, для нахождения значений которой имеются таблицы. Конечно, предварительно находятся xB и s.

Если же исходить из равенства (12.9), то в случае частичных интервалов

одинаковой длины h(h= х

– x

) и при

= x*

получим формулу

i+1

P (xi < Х < xi+1) =

(12.11)

u 2

где

(u) =

e 2

- хорошо

известная

дифференциальная

функция

нормированного распределения (a=0, =1), которая уже табулирована. Множитель 1/s в формуле (12.11) естественным образом получается на основании

	x a
замены u =	x a	. Параметры a и заменены статистическими оценками x	B	и s.
замены u =		. Параметры a и заменены статистическими оценками x		и s.

При достаточно большом объеме выборки значение s в формулах (12.10) и (12.11) заменяется значением В (см. тему 10).

Критерий согласия Романовского состоит в следующем. По формуле (12.2)

	2	k
вычисляется величина 2. Затем находится значение выражения R =			, где



		2k

k – число степеней свободы. Если R>3, то выдвинутую гипотезу отвергают. Если R<3, то опытные данные согласуются с предполагаемыми теоретическими. Критерий удобен тем, что не нужно обращаться к таблицам критических точек.

112

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. На станке-автомате изготовлено за смену 1 000 графитовых стержней. Их распределение по весу (в граммах) задано таблицей:-

Вес в	134-	137-	140-	143-	146-	149-	152-	155-	158-	161-	164-	167-	170-
граммах	137	140	143	146	149	152	155	158	161	164	167	170	173
Число	1	4	16	53	121	193	229	186	121	53	17	5	1
стержней

Предполагая, что вес стержней подчиняется нормальному закону, найти теоретические частоты. Оценить с помощью критерия Пирсона, существенно ли

расхождение между эмпирическими																			и теоретическими частотами при уровне
значимости							=0,05.
		Решение. Вычислим характеристики эмпирического распределения:
			1
	xB		1		1 135,5				4 138,5			16 141,5				53 144,5				121 147,5						193 150,5				229 153,5			186 156,5

		1000
		1000
121 159,5							53 162,5			17 165,5				5 168,5				1 171,5					153,5;
ДВ		=	1			1 (135,5			153,5)2			4 (138,5				153,5)2				16 (141,5 153,5)2									53 (144,5 153,5)2


		1000
121 (197,5							153,5)2			193 (150,5				153,5)2				229		(153,5				153,5)2				186	(156,5			153,5)2
121 (159,5							153,5)2			53	(162,5			153,5)2			17		(165,5				153,5)2			5		(168,5		153,5)2
1		(171,5			153,5)2					28,134;

	B		28,134				5,3.
	B
		Так как n=1000, то									заменяем величиной												В.
		Вычислим теоретические частоты. Для расчетов используем формулы (12.7) и
(12.10).
		Все расчеты теоретических частот целесообразно свести в таблицу (характер
вычислений указан в первой строке таблицы).
Вес				Число				хi- x			xi+1- x				x		x				x			x			Р(хi<X<xi+1)					'	Округ.
								хi- x		B	xi+1- x		B		x		x				x			x							ni
Стержней				стержней						B			B		i	1		B				i			B								Част.
															i	1		B				i			B
														Ф						Ф
граммах				(ni)										Ф						Ф
граммах				(ni)					B		B																						'
(хi-xi+1)																B							B										ni
																B							B

134-137					1			-3,68			-3,11			-0,999065						-0,499885							0,00082					0,82	1
137-140					4			-3,11			-2,55			-0,494615						-0,499065							0,00495					4,45	4
140-143					16			-2,55			-1,98			-0,47615						-0,494615							0,018965				18,965		19
143-146]					53			-1,98			-1,42			-0,422195						-0,47615							0,053955				53,955		54
146-149					121			-1,42			-0,85			-0,30234						-0,422195							0,119855				119,85		120
149-152					193			-0,85			-0,28			-0,11026						-0,30234							0,19208				192,08		192
152-155					229			-0,28			0,28			0,11026						-0,11026							0,22052				220,52		221
155-158					186			0,28			0,85			0,30234						0,11026							0,19208				192,08		192
158-161					121			0,85			1,42			0,422195						0,30234							0,119855				119,85		120
161-164					53			1,42			1,98			0,47615ъ						0,422195							0,053955				53,955		54
164-167					17			1,98			2,55			0,494615						0,47615							0,018465				18,465		18
167-170					5			2,55			3,11			0,499065						0,494615							0,00445					4,45	4
170-173					1			3,11			3,68			0,499885						0,499065							0,00082					0,82	1
				1000																													1000

Для вычисления наблюдаемого значения критерия составим расчетную таблицу с объединением малочисленных групп:

Источник: https://studfile.net/preview/16711185/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика