Материал: 5525

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Угловой коэффициент а1 прямой (11.11) называется коэффициентом регрессии Y

на Х и обычно обозначается символом

yx:

x y

(11.18)

Уравнение (11.11) очевидным образом преобразуется к виду

Yx y

yx (x

x) .

(11.19)

Аналогично теоретическое уравнение

b2 линейной регрессии Х на Y

X y

b1 y

с помощью коэффициента

(11.20)

регрессии Х на Y приводится к виду

X y

xy ( y

y) .

(11.21)

Из формул (11.18) и (11.20) следует, что коэффициенты регрессий имеют одинаковые знаки, которые определяются знаками совпадающих числителей этих формул (знаменатели формул различны, но положительны).

Выборочным коэффициентом корреляции rВ признаков Х и Y называется число, равное среднему геометрическому коэффициентов регрессии и имеющее их знак:

rВ =

x y

(11.22)

xy yx

Таким образом, коэффициент корреляции положителен, если коэффициенты регрессии положительны, и отрицателен, если они отрицательны.

С помощью коэффициента корреляции уравнения прямых линий регрессии записываются в следующем симметричном виде:

Yx y rB y


(x x) ,			(11.23)

X y x rB x


( y y) .			(11.24)


Прямые пересекаются в точке ( x,	y ),		которая называется	средней	точкой
корреляционного графика.
Коэффициент корреляции имеет		важное самостоятельное		значение.	С его

помощью оценивается теснота (сила) корреляционной связи между признаками.

Коэффициент корреляции rВ							обладает следующими свойствами:
1.	rB	1 или	-1		rB	1.
2.	Условие			rB	1	(rВ=	1) является необходимым и достаточным условием

существования линейной функциональной зависимости (при этом уравнения (11.23) и (11.24) определяют одну и ту же прямую).

3.При rВ =0 линейной корреляционной связи между признаками не существует (при этом может быть нелинейная корреляционная связь и даже нелинейная функциональная зависимость).

Следовательно, при возрастании rB от 0 до 1 теснота линейной

корреляционной зависимости увеличивается. Если коэффициент корреляции очень мал, то считают, что линейной корреляции нет.

Важным случаем является ситуация, когда значения хотя бы одного из признаков являются равноотстоящими. Пусть для примера этим свойством обладает признак Х. Тогда вводят условные варианты и вычисляют условные эмпирические моменты первого и второго порядка по формуле (9.12). Из формулы (9.13) следует, что х= uh. Найденные x и х подставляются в уравнения (11.23) и (11.24). Кроме того, коэффициент корреляции rВ сохраняет значение и форму записи, т.е.


rB =	uy		u y		.	(11.25)

		u		y
Пусть значения обоих признаков Х и Y						равноотстоящи соответственно с

шагами h1 и h2. Тогда переходят к новым переменным u и v, предварительно

выбрав соответствующие ложные нули С1

и С2. Далее, по формуле (9.11)

находятся условные моменты u, u2 , v,

v2. Из (9.12) и (9.13) следует, что

x u h1

c1 ,

u h1,

y v h2

c2 ,

v h2.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

rВ =

u v

(11.26)

u v

Теперь все эти значения подставляются в уравнения (11.23) и (11.24).

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Зависимость между вариантами Х – стоимостью основных производственных средств (млн руб.) и Y – средней месячной выработкой продукции на одного рабочего (тыс.руб.) дана следующей таблицей:

Х	9,9	10,0	10,1	10,2	10,3	10,4	10,5	ny
Y
0,8	1	2						3
0,9		1	2	1				4
1,0			2	2	1			5
1,1				1		3		4
1,2		1					2	3
1,3							1	1
nx	1	4	4	4	1	3	3	n=20

Требуется: 1) вычислить условные средние данных переменных; 2) составить линейное уравнение регрессии Y на Х; 3) для каждого табличного значения х вычислить теоретическое среднее Yx и сравнить его с условным средним.

Решение. 1. Находим условные средние переменной Y по формулам (11.6). Для этого составляем частные распределения этой переменной. Их будет столько,

100

сколько значений х в статистической таблице. Для х1=9,9 распределение Y имеет вид

		Y		0,8		0,9		1,0		1,1		1,2	1,3
		ny		1		0		0		0		0	0
Отсюда
			0,8 1		0,9		0	1	0	1,1	0	1,2	0	1,3	0
	y1		0,8 1		0,9		0	1	0	1,1	0	1,2	0	1,3	0	0,8.

										1
										1

В дальнейшем значения варианты Y, имеющие нулевые частоты в частных распределениях, записывать не будем. Для х2=10:

		Y			0,8					0,9				1,2
		ny			2					1				1
Отсюда
					0,8				2		0,9 1				1,2 1
			y2		0,8				2		0,9 1				1,2 1			0,925.

												4
												4
Для х3=10,1:
				Y					0,9				1,0
				ny					2				2
Отсюда
									0,9		2		1,0		2
						y3			0,9		2		1,0		2		0,95.

												4
												4
Для х4=10,2:
	Y						0,9				1					1,1
	ny						1				2					1
Отсюда
								0,9 1				1		2	1,1 1
								0,9 1				1		2	1,1 1
					y4													1.
					y4								4					1.
													4
Для х5=10,3:
								Y				1
								ny				1
Отсюда
												1 1
										y5		1 1			1.

													1
													1
Для х6=10,4:
								Y				1,1
								ny				3
Отсюда
											1,1		3
									y6		1,1		3		1,1.

												3
												3

Для х7=10,5:

101

	Y			1,2			1,3
	ny			2			1
Отсюда
			1,2		2	1,3 1
			1,2		2	1,3 1
		y7						1,233.
		y7				3		1,233.
						3

Итак, распределение условных средних варианты Y выразится следующей таблицей:

Х		9,9	10	10,1	10,2	10,3	10,4	10,5
		0,8	0,925	0,95	1	1	1,1	1,23
	yx	0,8	0,925	0,95	1	1	1,1	1,23

Аналогично, используя формулы (11.7), находим условные средние варианты Х. Их будет столько, сколько значений Y в данной статистической таблице. Эти значения следующие:

							9,9 1			10		2
				x y	0,8		9,9 1			10		2	0,97;

									3
									3
					10 1			10,1 2				10,2 1
	x y 0,9				10 1			10,1 2				10,2 1		10,1;

									4
									4
	10,1						2	10,2		2	10,3 1
	10,1						2	10,2		2	10,3 1
xy 1														10,18;
xy 1								5						10,18;
								5
					10,2 1				10,4			3
					10,2 1				10,4			3
		x y 1,1											10,35;
		x y 1,1						4					10,35;
								4
							10 1		10,5			2
			x y		1,2		10 1		10,5			2	10,33;

								3
								3
								10,5 1
						xy	1,3	10,5 1				10,5.

									1
									1

Таким образом, получаем распределение условных средних варианты Х:

	Y		0,8	0,9	1	1,1	1,2	1,3
			9,97	10,1	10,18	10,35	10,33	10,5
		x y	9,97	10,1	10,18	10,35	10,33	10,5


Графически эмпирические зависимости между y x							и Х, а также между x y и Y

показаны на следующем рисунке.

y ( y x )


0	x ( x y )

102


		2. Параметры а1								и					а2				линейной зависимости															Y x = а1х+а2				определяем из
решения системы (11.12). В нашем случае имеем следующее:
								9,9 1		10				4				10,1 4					10,2			4	10,3 1			10,4			3	10,5		3
							x	9,9 1		10				4				10,1 4					10,2			4	10,3 1			10,4			3	10,5		3	10,205;

																									20
																									20
										0,8				3				0,9			4		1,0		5	1,1		4	1,2		3		1,3 1
									y	0,8				3				0,9			4		1,0		5	1,1		4	1,2		3		1,3 1		1,015;

																									20
																									20
					(9,9)2		1	(10)2		4			(10,1)2							4			(10,2)2			4		(10,3)2			1	(10,4)2			3	(10,5)2		3
			x2		(9,9)2		1	(10)2		4			(10,1)2							4			(10,2)2			4		(10,3)2			1	(10,4)2			3	(10,5)2		3	104,765;
			x2																						20														104,765;
																									20
				1
	xy			1	(1 9,9		0,8	2 10		0,8				1 0,9 10									2		0,9 10,1				1 0,9 10,2					2 1 10,1			2 1 10,2			1 1 10,3
	xy	20			(1 9,9		0,8	2 10		0,8				1 0,9 10									2		0,9 10,1				1 0,9 10,2					2 1 10,1			2 1 10,2			1 1 10,3
		20
1 1,1 10,2						3 1,1 10,4				1 1,2 10										2 1,2 10,5						1 1,3 10,5)						10,3 785.
Следовательно, мы получим систему
																		104,1 765a1							10,205a2					10,3 785,
																		10,205a1									a2				1,015.
Отсюда а1						0,592, а2 = -5,03.
		Таким образом, искомое уравнение регрессии Y на Х запишется так:
																								= 0,592 х – 5,03.
																						Yx		= 0,592 х – 5,03.
		3. Вычислим для каждого значения варианты Х теоретические значения Yx ,

используя уравнение регрессии Yx = 0,592 х – 5,03:
																				= 0,592 9,9 – 5,03 = 0,8 308;
														Y x				9,9		= 0,592 9,9 – 5,03 = 0,8 308;
																					= 0,592 10 – 5,03 = 0,89;
																Y x 10					= 0,592 10 – 5,03 = 0,89;
																				= 0,592 10,1 – 5,03 = 0,9 492;
												Y x					10,1			= 0,592 10,1 – 5,03 = 0,9 492;
																				= 0,592 10,2 – 5,03 = 1,0 084;
											Y x						10,2			= 0,592 10,2 – 5,03 = 1,0 084;
																				= 0,592 10,3 – 5,03 = 1,0 676;
												Y x					10,3			= 0,592 10,3 – 5,03 = 1,0 676;
																				= 0,592 10,4 – 5,03 = 1,1 268;
											Y x						10,4			= 0,592 10,4 – 5,03 = 1,1 268;
																		10,5 = 0,592 10,5 – 5,03 = 1,186.
															Y x			10,5 = 0,592 10,5 – 5,03 = 1,186.

Сравнивая полученные значения Yx																									с соответствующими значениями условных

средних, видим, что они очень близки друг к другу. Следовательно, полученное уравнение регрессии хорошо описывает зависимость между стоимостью основных производственных средств и месячной выработкой продукции.

Задача 2.	Распределение 100 заводов по производственным средствам в
миллионах рублей (Х) и по суточной выработке в тоннах (Y) дается в следующей
таблице:
		Y	10	15	20	25	30	35	nх
		Х
		50	2	2					4
		60	2	4	5	6	4		21
		70		2	7	12	10	4	35
		80				10	10	6	26
		90				8		6	14
		ny	4	8	12	36	24	16	n=100

Источник: https://studfile.net/preview/16711185/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика