Материал: 5525

93

Определить, в каких пределах будет заключен диаметр 20-летнего дерева, если результат необходимо гарантировать с вероятностью 0,98. Предполагается, что диаметр деревьев данного возраста подчиняется нормальному закону.

7. Глубину моря измеряют прибором, случайные ошибки которого распределены нормально со средним квадратическим отклонением Г=10 м. Систематическая ошибка отсутствует. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы с надежностью 95% определить глубину с точностью 5 м?

94

ТЕМА 11. КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ

Понятие о системе случайных величин. Независимые и зависимые случайные величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин: корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции. Коррелированность и некоррелированность двух случайных величин. Функциональная и статистическая (стохастическая) зависимости между случайными величинами (признаками). Корреляционная таблица. Групповые (условные) средние yx и xy . Корреляционная зависимость между двумя

признаками. Уравнения регрессии и линии регрессии. Основные задачи теории корреляции. Линейная и нелинейная корреляционная зависимости. Эмпирические (опытные) линии регрессии. Приближение эмпирических линий теоретическими кривыми регрессии по данным выборки с помощью метода наименьших квадратов. Нахождение параметров теоретических прямых линий регрессии. Коэффициенты регрессии. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Запись уравнений прямых линий регрессии (теоретических) с помощью коэффициента корреляции. Упрощенный способ нахождения выборочного коэффициента корреляции и прямых линий регрессии в случае равноотстоящих вариант. Нелинейные корреляционные зависимости между двумя признаками. Корреляционные отношения и их свойства. Понятие о множественной корреляции. Уравнение линейной множественной регрессии. Совокупный коэффициент корреляции и его свойства. Частные коэффициенты корреляции и их свойства.

Л и т е р а т у р а

[1], раздел 2, гл.5, 5.5.3, 5.6.7, гл.6, 6.1.4, 6.1.5, 6.2; [4], §3; [5], гл.14, § 1-4, 7- 9, 11, 16-18, гл.12, § 10, 12, гл.18, § 1-15; [8], гл.9, § 1-7; [9], гл.6, § 1, 2, гл.9, § 1- 3; [11], гл.29, § 199, 200, 205, гл.33, § 220-225; [12], ч.2, гл.6, § 21-26; [16], гл.8.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Для характеристики связи между признаками Х и Y служит корреляционный момент (ковариация) Kxy, который (которая) определяется как математическое

Легко доказать, что корреляционный момент двух независимых случайных

является необходимым условием независимости случайных величин. Следовательно, если Kxy 0, то X и Y – зависимые случайные величины.

95

Если Kxy=0, то величины Х и Y не обязательно независимы. Если Х и Y – зависимые случайные величины, то отсюда еще не следует, что Kxy 0.

Корреляционный момент зависит от выбора единиц измерения случайных величин Х и Y, поэтому использовать эту характеристику не всегда удобно. От этого недостатка свободна характеристика, называемая коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции определяется равенством

Размерность Kxy равна произведению размерностей величин Х и Y. Тогда из равенства (11.4) следует, что коэффициент корреляции является безразмерной величиной. В этом его преимущество перед корреляционным моментом, в остальном он играет роль корреляционного момента.

Две случайные величины Х и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля (или, что следует из (11.4), rxy 0). Х и Y называются некоррелированными величинами, если Kxy=0 (rxy=0).

Из этих определений и сказанного ранее получаются следующие выводы: 1) из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще не следует независимость этих величин; 2)из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность.

Статистическая зависимость между двумя признаками Х и Y выборки характеризуется корреляционной таблицей, общий вид которой следующий:

Здесь хi (i=1,…, k), yj = (j=1,…, s) – соответственно значения признаков Х и Y;

96

предполагаемом законе функциональной зависимости f коэффициенты а1,…,аn выбираются «наилучшими», т.е. так, чтобы сумма

Мi(хi, Y xi ), лежащих на предполагаемой теоретической кривой (11.8), до угловых точек Мi*(xi, y xi ) эмпирической (опытной) кривой. Множителем nxi

учитывается значимость (вес) каждого хi. Минимум функции F(а1,…, аn), определенной равенством

будет и минимумом суммы (11.9). Теперь функцию (11.10) как функцию многих переменных а1,…, аn исследуют известными методами на экстремум. Если f дифференцируема по переменным а1,…,аn, то получится система алгебраических уравнений относительно неизвестных а1,…, аn, решение которой дает «наилучшие» параметры при выбранном законе зависимости f. В этом и состоит метод наименьших квадратов.

Если f(х, а1,…, аn)=а1х+а2, то теоретической кривой регрессии Y на Х будет

В этом случае легко показать, что минимум функции (11.10) достигается при параметрах а1, а2, являющихся решением системы линейных алгебраических уравнений

97

n

Рассмотрим еще два случая нелинейной (криволинейной) корреляции Y на Х: параболической корреляции, когда теоретическое уравнение регрессии имеет вид

и гиперболической корреляции, когда теоретическое уравнение регрессии имеет вид

В этих ситуациях методом наименьших квадратов получаются следующие системы линейных алгебраических уравнений для нахождения «наилучших» параметров:

Найденные из систем (11.16) и (11.17) параметры подставляют, соответственно, в (11.14) и (11.15). В итоге получим искомое теоретическое уравнение регрессии Y на Х, предполагаемая кривая которого выравнивает эмпирическую кривую регрессии Y на Х.

Конечно, имеется некоторая неоднозначность в выборе выравнивающей теоретической кривой (11.8) (формы корреляционной связи) при конкретно построенной эмпирической кривой регрессии по данной корреляционной таблице. Одну и ту же эмпирическую кривую можно приблизить, например, «наилучшей» прямой и «наилучшей» параболой. Тогда лучшей из таких теоретических кривых надо считать ту, при которой величина (11.10) будет наименьшей.

Аналогично решаются задачи нахождения теоретических уравнений регрессии Х на Y.

Рассмотрим подробно линейную корреляцию. Решая систему (11.12),

x