Материал: 5525
83
1. Составить статистический закон распределения варианты Х – размера мужской обуви, проданной магазином за день в такой последовательности:
40, 42, 44, 41, 43, 44, 40, 41, 43, 43, 44, 43, 41, 40, 43, 43, 44, 44, 44, 43, 42, 42, 41, 43, 41, 43, 44, 44, 43, 42, 41, 40, 43, 42, 41, 44, 43, 42, 43, 44, 41, 43, 42, 43,
44, 41, 42, 43, 44, 43, 42, 44, 43, 42, 43, 44, 43, 41, 40, 44. Построить полигоны частот и относительных частот.
2. Распределение мигрировавшего городского населения области дано таблицей
Группы мигрировавшего |
До 10 лет |
От 10 |
От 20 |
От 30 |
От 40 |
От 50 |
|
населения по возрасту |
|
до20 |
до 30 |
до 40 |
до 50 |
до 60 |
|
Численность |
Прибыли |
7 |
20,2 |
43,5 |
13,8 |
8 |
7,5 |
населения |
Выбыли |
6,3 |
16,9 |
54,6 |
15,3 |
8,5 |
7,4 |
в процентах |
|
|
|
|
|
|
|
(частность) |
|
|
|
|
|
|
|
Построить гистограмму численности прибытия и выбытия населения области.
3. Найти эмпирическую функцию распределения по заданным выборкам:
хi |
1 |
6 |
11 |
15 |
|
xi |
-1 |
2 |
4 |
7 |
ni |
25 |
10 |
35 |
30 |
|
ni |
4 |
6 |
8 |
2 |
Построить графики этих функций.
4.В райторге имеется 20 магазинов, из которых 7 реализовали товаров на 40 000 руб.; 9 – на 50 000 руб. и 4 магазина – на 45 000 руб. каждый. Найдите выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение товарооборота магазинов торга. Поясните экономический смысл этих величин.
5.Распределение месячной выработки однотипных деталей рабочими цеха задано таблицей
Сделано деталей |
260-270 |
270-280 |
280-290 |
290-300 |
300-310 |
|
Число |
рабочих, |
12 |
18 |
58 |
28 |
14 |
сделавших |
|
|
|
|
|
|
данную выработку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить среднюю месячную выработку рабочего цеха и среднее квадратическое отклонение.
6. Распределение 50 складов по складскому обороту задано следующей таблицей:
Складской |
5-10 |
10-15 |
15-20 |
20-25 |
оборот (тыс.руб.) |
|
|
|
|
Число складов |
10 |
15 |
18 |
7 |
Найти коэффициент вариации.
7. Вычислить начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядка по заданному статистическому распределению:
хi |
2 |
5 |
7 |
9 |
12 |
ni |
2 |
5 |
3 |
6 |
4 |
84
8. Дневная выработка 100 рабочих, занятых на изготовлении деталей, задана статистическим рядом
|
Количество |
90-94 |
94-98 |
98-102 |
102-106 |
106-110 |
110-114 |
114-116 |
|
деталей |
|
|
|
|
|
|
|
|
(штук) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
2 |
8 |
20 |
32 |
24 |
12 |
2 |
|
рабочих |
|
|
|
|
|
|
|
Требуется найти медиану распределения. |
|
|
|
|||||
9. |
Итоги сдачи экзамена по теории вероятностей и математической статистике |
||||||||||||||||||||
|
студентами второго курса представлены таблицей: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Оценки |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Количество |
|
34 |
|
|
117 |
|
76 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
студентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вычислить: 1) среднюю оценку, полученную на экзамене; 2) среднее |
||||||||||||||||||||
|
квадратическое отклонение; 3) моду; 4) медиану; 5) размах варьирования; |
||||||||||||||||||||
|
6)коэффициент вариации; 7) асимметрию; 8) эксцесс; 9) среднее абсолютное |
||||||||||||||||||||
|
отклонение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Найти выборочную |
среднюю |
|
и |
выборочную |
дисперсию методом |
|||||||||||||||
|
произведений по следующему статистическому распределению: |
||||||||||||||||||||
|
|
Сумма |
500 |
|
1 000 |
|
1 500 |
|
2 000 |
2 500 |
|
3 000 |
|
3 500 |
|
4 000 |
|
||||
|
|
вклада |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в сберкассу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
30 |
|
22 |
|
16 |
|
28 |
40 |
|
30 |
|
21 |
|
13 |
|
||||
|
|
вкладчиков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
ТЕМА 10. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Понятие о статистических оценках параметров известного теоретического распределения и неизвестных числовых характеристик генеральной совокупности. Точечные и интервальные оценки. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценки. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Исправленная выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по выборочной. Доверительная вероятность (надежность) оценки. Доверительный интервал и доверительные границы. Точность оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении признака генеральной совокупности. Понятие о распределении Стьюдента. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном 
(среднем квадратическом отклонении). Оценка истинного значения измеряемой величины.
Л и т е р а т у р а
[1], раздел 2, гл.6, 6.2.2, раздел 3, гл.8; [4], §1; [5], гл.16, § 1, 2, 5, 13-17; [8], гл.7, § 1-5; [9], гл.10, § 1, 2, 4, гл.5, § 3; [11], гл.32, § 216-218; [12], ч.2, гл.5, § 1619; [16], гл.4, 5.
О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы
Одной из задач математической статистики является задача о нахождении неизвестных параметров распределения. При этом характер закона распределения известен заранее до опыта из теоретических соображений. Например, известно, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона:
m
Р(Х=m) = m ! e
(m=0, 1, 2,…),
а надо найти параметр . Или известно, что случайная величина Х подчинена нормальному закону, плотность распределения вероятностей которого имеет
|
|
1 |
|
|
( x a) 2 |
|
||
вид |
f(х) = |
|
e |
2 |
2 |
и содержит два параметра а и . Тогда возникает |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
вопрос о нахождении этих параметров а и . В некоторых задачах и сам вид закона распределения несущественен. Требуется только найти числовые характеристики некоторого признака генеральной совокупности (например, генеральную среднюю или генеральную дисперсию). Задача определения параметров (или числовых характеристик) не может быть решена точно. Ставится задача об определении «подходящих значений» для искомых
86
параметров (так называемых «оценок»), т.е. задача – найти приближенно значение неизвестных параметров. При этом в распоряжении исследователя имеется экспериментальный материал – данные выборки. Через эти статистические данные и выражают оцениваемый параметр.
Пусть * есть точечная статистическая оценка неизвестного параметра 
теоретического распределения некоторого количественного признака генеральной совокупности. Точечная оценка характеризуется одним числом. При этом это число * есть функция значений данного количественного признака выборки: *= *(х1,…, хr). Оценку * можно рассматривать как случайную величину, принимающую определенные значения при извлечении из генеральной совокупности различных выборок одного и того же объема.
К статистической оценке предъявляется ряд естественных требований,
которые обеспечивают в некотором смысле ее «доброкачественность». |
|
Если при любом объеме выборки |
|
М( *)= , |
(10.1) |
то статистическая оценка является несмещенной. Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования (10.1) не устраняет ошибок, но гарантирует от систематических ошибок в сторону занижения и в сторону завышения от истинного значения . Требование несмещенности особенно важно при малом объеме выборки. В некоторых случаях приходится применять и незначительно смещенные оценки.
Несмещенная оценка не всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра, так как возможные значения * могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения М( *), т.е. дисперсия Д( *) может быть значительной. Из двух точечных несмещенных оценок 1* и 2* параметра 
лучшей (эффективней) считают ту, дисперсия которой меньше. Если несмещенная оценка по сравнению с другими имеет наименьшую дисперсию, то она называется эффективной.
Если при n→
* сходится по вероятности к оцениваемому параметру , то статистическая оценка называется состоятельной. Это означает, что при любом
сколь угодно малом положительном |
выполняется равенство |
|
|
lim P ( |
|
) 1. |
(10.2) |
* |
|||
n |
|
|
|
Если дисперсия несмещенной оценки при n→ стремится к нулю, то такая оценка будет и состоятельной. Это следует из неравенства Чебышева (см.(8.2))
Р |
|
* M ( *) |
|
1 |
Д ( |
|
*) |
для случайной величины |
*. |
|||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
Известно |
(см.(6.17)), |
|
что М(W)=р, Д(W)= |
p (1 |
p) |
, где W Wn(A) есть |
||||||
|
n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительная частота появления события А, а р – его вероятность. Первое равенство означает, что W есть несмещенная оценка р. Из второго равенства видно, что Д(W) 0 при n . Тогда из сказанного в предыдущем абзаце
87
следует, что эта оценка и состоятельна. Напомним, что это же утверждает и теорема Бернулли из законов больших чисел (см. (8.6)):
lim P ( W p ) 1.
n
Можно доказать, что W является эффективной оценкой для р. Равенство (9.2) (сравните его с (10.2)) означает, что эмпирическая функция F*(х) есть состоятельная оценка для теоретической функции распределения F(х) данного признака Х. Величина F*(х) является и несмещенной оценкой для величины
F(х).
Пусть генеральная средняя xГ некоторого количественного признака Х генеральной совокупности неизвестна. Рассматривая выборочную среднюю хВ , можно доказать равенство
|
|
|
|
|
|
М( X B ) = xГ . |
(10.3) |
||||
Равенство (10.3) утверждает, что выборочная средняя есть несмещенная оценка генеральной средней. На основании следствия из теоремы Чебышева показывается, что выборочная средняя является и состоятельной оценкой генеральной средней. В случае нормального распределения эта оценка также и эффективна.
Пусть теперь по данным повторной выборки объема n требуется оценить (найти приближенно) неизвестную генеральную дисперсию ДГ некоторого количественного признака. Рассматривая выборочную дисперсию ДВ как случайную величину DВ, можно установить равенство
|
|
|
|
М (D ) = |
n |
1 |
Д |
|
. |
|
|
|
|
|
|
Г |
|||
|
|
|
|
В |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
М (DВ) ДГ и, следовательно, ДВ есть смещенная оценка для ДГ. Так как |
|||||||||
|
n 1 |
1 |
, то при небольших объемах выборки выборочная дисперсия ДВ давала |
||||||
|
|
|
|||||||
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
бы заниженные значения для ДГ. Чтобы получить несмещенную оценку для ДГ, надо выборочную дисперсию «исправить». Величина S2, определенная равенством
|
|
|
S2 = |
n |
|
ДВ, |
|
(10.4) |
||
|
|
n |
1 |
|
||||||
называется исправленной выборочной дисперсией. Очевидно, что М(S2)=ДГ. |
||||||||||
Так как lim |
n |
|
1, то при достаточно больших значениях n объема выборки |
|||||||
n |
|
|||||||||
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выборочная |
дисперсия ДВ и |
исправленная выборочная дисперсия S2 |
||||||||
различаются мало и введение поправочного множителя |
|
n |
|
теряет смысл. На |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
практике исправленную оценку (10.4) применяют всегда, если n<30. Оценки ДВ и S2 являются состоятельными оценками ДГ. Оценка S2 для генеральной дисперсии ДГ не является эффективной.
При малых объемах выборки случайный характер точечной оценки * может привести к значительному расхождению между * и оцениваемым параметром