Материал: 5525
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
0 |
90 |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
|
160 |
|
|
|
|
х |
Нетрудно убедиться, что площадь построенных прямоугольников равна |
||||||||||||||
объему выборки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
7 |
ni |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
ni |
2 |
6 |
4 |
3 3 |
1 |
1 |
20. |
||
|
|
|
|
h |
||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гистограмму относительных частот строим аналогично гистограмме |
||||||||||||||
частот. Только на оси ординат вместо |
ni откладываем значения Wi , где Wi |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
– относительные частоты соответствующих частичных промежутков. |
||||||||||||||
Изображение гистограммы относительных частот см. на рисунке. |
||||||||||||||
Wi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
90 |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 150 |
160 |
|
|
|
|
х |
||
Сумма площадей построенных прямоугольников равна единице. |
||||||||||||||
Задача 3. Данные о продаже женской обуви в магазине за день заданы |
||||||||||||||
таблицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размер |
|
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
|
||
|
|
|
|
обуви |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
4 |
|
5 |
9 |
7 |
4 |
1 |
|
||
|
|
|
|
проданных |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
пар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти эмпирическую функцию распределения выборки и построить |
||||||||||||||
ее график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Эмпирическую функцию распределения выборки находим по |
|||||||||||||
формуле (9.1). Объем выборки равен |
4+5+9+7+4+1=30. Наименьшая |
|||||||||||||
варианта равна 35. |
Значит, |
F*(х)=0 при х 35. Значения Х<36, т.е. х1=35 |
||||||||||||
наблюдались 4 раза. Следовательно, F*(х)= |
4 |
|
при 35< х |
36. Значения |
||||||||||||||||
30 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Х<37 (х1=35, х2=36) наблюдались 4+5=9 раз. Следовательно, F*(х)= |
9 |
при |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
||
36< х |
37. |
Аналогично находим: F*(х) = |
4 |
5 9 |
|
18 |
|
|
при |
37< x |
38; |
|||||||||
|
30 |
|
30 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F*(х) = |
|
4 |
5 9 7 |
|
25 |
при 38< х 39; |
|
F*(х) = |
29 |
при 39< х |
40. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
30 |
|
30 |
|
30 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
79
Так как х=40 – наибольшая варианта, то F*(х)=1 при х>40. Запишем эмпирическую функцию:
|
|
|
|
|
|
0 |
при х |
35, |
|
|
4 |
|
|
при 35 |
х |
36, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
30 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
9 |
|
|
|
при 36 |
х |
37, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
30 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
F*(х) = |
18 |
|
|
при 37 |
х |
38, |
|||
|
|
|
|
|
|||||
30 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
25 |
|
при 38 |
х |
39, |
|||
|
30 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
29 |
при 39 |
х |
40, |
||||
|
30 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
при х |
40. |
|
График этой функции изображен на рисунке. y
0 |
|
|
|
|
|
|
|
х |
Задача 4. Распределение урожайности сои на площади в 1000 га |
||||||||
дано в таблице |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Урожай с га в |
9 |
9,6 |
10 |
10,5 |
11,4 |
12 |
|
|
центнерах |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число га |
80 |
100 |
120 |
160 |
200 |
340 |
|
Определить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение урожайности сои.
Решение. Выборочная средняя урожайности с га вычисляется по формуле (9.4):
|
= |
9 80 9,6 100 10 120 10,5 160 11,4 200 12 340 |
10,9 (ц). |
||
xВ |
|||||
1 000 |
|
||||
|
|
|
|
||
Для определения выборочной дисперсии воспользуемся формулой (9.6). Получим
ДВ = |
80(9 |
10,9)2 |
100(9,6 |
10,9)2 |
120(10 10,9)2 160(10,5 10,9)2 |
||
|
|
|
|
|
1 000 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
200(11,4 |
10,9)2 |
340(12 |
10,9)2 |
|
1,04. |
|
|
1 000 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
80 |
Выборочное |
среднее |
квадратическое отклонение В находим по |
|
|
|
|
|
формуле (9.8): |
В = 1,04 |
1,02. |
|
Задача 5. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для распределения заработной платы водителей автобазы (в руб. за месяц):
Зарплата |
200-250 |
250-300 |
300-350 |
350-400 |
400-450 |
450-500 |
(руб./месяц) |
|
|
|
|
|
|
Количество |
10 |
30 |
20 |
20 |
10 |
10 |
водителей |
|
|
|
|
|
|
Решение. Превратим данный интервальный ряд в дискретный, взяв в качестве вариант середины интервалов:
Зарплата |
225 |
275 |
325 |
375 |
425 |
475 |
(руб./месяц) |
|
|
|
|
|
|
Количество |
10 |
30 |
20 |
20 |
10 |
10 |
водителей |
|
|
|
|
|
|
По формуле (9.4) выборочной средней найдем, что
|
|
|
|
|
= |
10 225 30 275 20 325 20 375 10 425 10 475 |
335. |
|
|
|
|
x |
В |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
100 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим выборочную дисперсию по формуле (9.7): |
|
|||||||
ДВ = |
10 2252 30 2752 20 3252 20 3752 10 4252 10 4752 |
|
3352 5 400. |
|||||
|
|
|
|
100 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Извлекая корень квадратный из дисперсии, получим выборочное среднее квадратическое отклонение В = 
5400 73,5.
Коэффициент вариации заработной платы водителей автобазы вычислим по формуле (9.16):
V = |
73,5 |
100% 21,9% . |
|
335 |
|||
|
|
Задача 6. Дано следующее статистическое распределение выборки:
хi |
3 |
5 |
6 |
8 |
ni |
2 |
4 |
3 |
5 |
Вычислить начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядка, размах варьирования и среднее абсолютное отклонение.
Решение. Используя формулу (9.9), находим начальные моменты:
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
4 5 |
3 6 |
5 8 |
|
|
||||
|
|
|
|
x1 |
6, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 32 |
|
4 52 |
3 62 |
5 82 |
|
||||
|
x2 |
|
|
|
|
39, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 33 |
4 53 |
3 63 |
5 83 |
|
|
|
||||||
x3 |
|
|
|
|
1 930,7. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Центральные моменты вычисляем по формуле (9.10):
81
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1=0, m2=ДВ= x2 |
(x)2 |
39 |
(6)2 |
3, |
|
|||
m3= |
2 (3 6)3 4 (5 6)3 |
3 (6 |
6)3 |
5 (8 |
6)3 |
7. |
|||
14 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя формулы (9.14) и (9.15), получим
R=8-3=5, = |
2 |
3 |
6 |
4 |
5 |
6 |
3 |
6 |
6 |
5 |
8 |
6 |
|
10 |
1,43. |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 7. Магазин в течение месяца реализовал 100 мужских костюмов. Распределение их по размерам дано таблицей
Размер костюма |
44 |
46 |
48 |
50 |
52 |
54 |
56 |
58 |
Количество |
3 |
9 |
16 |
24 |
29 |
15 |
3 |
1 |
костюмов |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти модальное значение размера проданного костюма.
Решение. Из таблицы видно, что частота 52-го размера проданного костюма равна 29 и она является наибольшей. Следовательно, мода М0=52.
Задача 8. Товарооборот магазина по месяцам составил (в тыс. руб.): 50; 53; 60; 52; 54; 48; 44,5; 62; 55; 53,5; 58, 64. Определить медиану и размах товарооборота.
Решение. Расположив месячные товарообороты в порядке их возрастания, получим ряд: 44,5; 48; 50; 52; 53; 53,5; 54; 55; 58; 60; 62; 64. В
этом вариационном ряде четное число данных и значения признака различны, поэтому по формуле (9.18)
Ме = |
x6 x7 |
|
53,5 54 |
53,75. |
|
2 |
2 |
||||
|
|
||||
Вычислим размах товарооборота по формуле (9.14). Получим, что
|
|
|
R = 64 - 44,5 |
= 19,5. |
|
|
|||
Задача 9. Пусть дан статистический ряд |
|
|
|||||||
|
хi |
12 |
17 |
22 |
26 |
|
30 |
34 |
38 |
|
ni |
2 |
5 |
9 |
12 |
|
8 |
6 |
5 |
Найти медиану этого ряда.
Решение. Для этого ряда n=2+5+12+8+6+5=47, т.е. нечетное число. Для нечетного n с повторяющимися хi, медиана соответствует значению
признака Х, имеющего накопленную частоту SH= 472 1 24. Первое
значение признака Х, имеющего накопленную частоту, равную или большую 24, будет х=26, т.к. ему соответствует накопленная частота
SH=2+5+9+12=28. Следовательно, Ме=26.
Задача 10. |
Определить медиану следующего статистического ряда: |
|||||||||||
|
хi |
|
10 |
17 |
|
21 |
26 |
32 |
41 |
49 |
54 |
|
|
ni |
|
8 |
12 |
|
12 |
14 |
10 |
14 |
10 |
20 |
|
Решение. Для этого ряда |
n=8+12+12+14+10+14+10+20=100, т.е. четное |
|||||||||||
число. Первое значение признака Х, для которого накопленная частота равна или больше 50, будет 32. А первое значение признака Х, для
82
которого накопленная частота равна или больше 51, будет xS H'' 32. По формуле (9.20) определим медиану:
Ме = |
32 32 |
32. |
|
2 |
|||
|
|
Задача 11. Обследование выполнения годового плана на предприятиях города дало следующие результаты (в процентах):
Процент |
90-95 |
95-100 |
100-105 |
105-110 |
110-115 |
115-120 |
120-125 |
выполнения плана |
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
3 |
8 |
12 |
20 |
10 |
6 |
1 |
предприятий |
|
|
|
|
|
|
|
Найти медиану данного интервального статистического распределения.
Решение. Находим общее количество предприятий города: n = 3+8+12+20+10+6+1 = 60.
Четвертый интервал (105-110) является медианным интервалом. По формуле (9.21) находим медиану:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ме = 105 + |
30 23 |
5 |
|
106,75(%). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача 12. |
По результатам опроса 60 работников завода о величине |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
месячного душевого дохода были получены следующие данные: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Душевой |
доход |
|
65-70 |
75-85 |
|
|
85-95 |
|
|
|
95-105 |
|
105-115 |
|
115-125 |
|
125-135 |
|
||||||||||||||||||||
|
(руб.) |
|
|
|
|
|
|
70 |
80 |
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
100 |
|
110 |
|
120 |
|
130 |
|
||||||||||||
|
Число |
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
10 |
|
|
|
6 |
|
|
4 |
|
||||||||
|
работников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислить асимметрию и эксцесс распределения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Для вычисления асимметрии и эксцесса предварительно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
находим xВ , ДВ, |
В и центральные моменты 3-го и 4-го порядков. Получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 70 5 80 |
12 90 20 100 10 110 |
6 120 |
4 130 |
100,5; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
В |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ДВ= |
3 702 |
|
|
5 802 |
12 902 |
20 1002 |
|
10 1102 |
|
6 1202 |
|
4 1302 |
|
(100,5)2 |
|
214,63; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
214,63 |
14,65; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
m3= |
3( 30,5)3 |
5( 20,5)3 |
12( 10,5)3 |
20( |
|
0,5)3 |
10 9,53 |
6 19,53 |
4 23,53 |
127,75; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m4= |
3( 30,5)4 |
5( |
|
20,5)4 12( 10,5)4 |
|
20( 0,5)4 |
|
10 9,54 |
6 19,54 |
4 |
23,54 |
126 722,3 125. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По формулам (9.22) и (9.23) получим следующие результаты: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
127,75 |
|
|
0,0 406; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14,653 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
126 722,3 125 |
3 |
0,25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 062,823 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
З а д а ч и