Материал: 5525

73

На практике для вычисления дисперсии применяется формула

Начальный эмпирический момент порядка k (xk ) определяется по формуле

r

ni xik

Отсюда мы видим, что начальный эмпирический момент первого порядка

Отсюда видно, что m2=ДВ, т.е. центральный эмпирический момент второго порядка совпадает с выборочной дисперсией.

Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h. Варианты Ui, определяемые равенством

называются условными. Здесь хi – первоначальные равноотстоящие варианты, h – разность прогрессии (шаг), С – ложный нуль (новое начало отсчета). В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Обычно в качестве ложного нуля выбирают варианту с наибольшей частотой или варианту, стоящую в середине вариационного ряда. Условные варианты являются целыми числами. При этом варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

Условные эмпирические моменты U k порядка k определяются по формуле

r

74

Легко установить, что

Метод произведений есть некоторый удобный способ вычисления условных моментов различных порядков в случае равноотстоящих вариант. По условным моментам можно найти начальные и центральные эмпирические моменты. Вычислять условные моменты

U k легко, так как условные варианты Ui есть целые числа. В частности, по формулам (9.12) и (9.13) можно вычислить xВ и ДВ.

Максимальная простота вычислений достигается, если в качестве ложного нуля С выбрать варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда.

Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

Размах есть самая простая характеристика рассеяния вариационного ряда. Еще одной характеристикой рассеяния служит среднее абсолютное отклонение , которое определяется равенством

Он служит для сравнения величин рассеяния двух вариационных рядов. Большее рассеяние имеет тот ряд, у которого коэффициент вариации больше.

Важными числовыми характеристиками являются мода и медиана. Для дискретного статистического ряда мода есть значение

признака, имеющего наибольшую частоту.

Определим теперь моду интервального ряда в случае постоянной длины h всех интервалов. Пусть (хk, хk+1) – модальный интервал, т.е. интервал, которому соответствует наибольшая частота nk. Пусть nk-1 – частота интервала, предшествующего модальному, а nk+1 – частота интервала, следующего за модальным. Тогда мода М0 вычисляется по формуле

Медианой Ме называется такое значение признака, относительно которого статистический ряд делится на две части, причем в одной из них содержатся члены, у которых значения не больше Ме, а в другой – члены со значениями не меньше чем Ме.

76

где m3, m4 – центральные эмпирические моменты, соответственно, третьего и четвертого порядка. Эти характеристики используют для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального.

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Выборка шарикоподшипников, изготовленных станкомавтоматом, дала после измерения на весах следующие результаты в граммах: 39, 41, 40, 40, 43, 41, 44, 42, 41, 41, 43, 42, 39, 40, 42, 43, 41, 42, 41, 39, 42, 42, 41, 42, 40, 41, 43, 41, 39, 40. Составить статистическое распределение выборки. Построить полигоны частот и относительных частот.

Решение. Значения хi вариант выборки (вес шарикоподшипников) расположим в порядке возрастания в первой строке таблицы, а во второй строке – количество шарикоподшипников этого веса (частоты):

Построим полигон частот. Для этого откладываем по оси Ох значения хi вариант выборки, а по оси ординат – частоты ni. Полученные точки соединяем отрезками прямых. Это и будет полигон частот (см.рис. ниже). ni

9

7

5

4

1

Полигон относительных частот строится аналогично полигону частот. На оси ординат вместо частот ni откладываем относительные частоты Wi. Полигон относительных частот изображен ниже на рисунке.

Wi

77

Задача 2. Составить статистическое распределение выборки – рабочих по процентам выполнения норм выработки, если произведена случайная выборка объема 20 человек и получены такие данные относительно выполнения ими норм выработки в процентах: 127, 121, 112, 114, 131, 117, 109, 107, 155, 135, 103, 145, 99, 100, 97, 102, 122, 115, 132, 105. Построить гистограммы частот и относительных частот.

Решение. Находим наибольшее и наименьшее значения варианты Х: хнаиб=155, хнаим=95. Разобьем здесь объем выборки на 7 промежутков длиной h=10. Частичные промежутки расположим в первой строке таблицы, а во второй – количество рабочих, чья выработка заключена в данном частичном промежутке. Получим следующее интервальное распределение:

Построим гистограмму частот распределения. Для этого по оси Oх отложим промежутки распределения выборки и на них как на основаниях

строим прямоугольники, высоты которых равны соответственно nhi .

Гистограмма частот изображена на рисунке ниже.

ni

h