Материал: 5525

38

5.Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель одиночными выстрелами до первого попадания или пока не израсходует все патроны. Составить ряд распределения случайной величины Х – количества израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.

6.Вероятность изготовления нестандартного изделия при производстве некоторой продукции составляет 5%. Для проверки качества изделий контролер из всей партии случайно выбрал 5 изделий и должен проверять их до обнаружения нестандартного. Составить закон распределения числа изделий, проверяемых контролером.

7.В партии из восьми деталей пять стандартных. Наудачу отбираются три детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

8.Построить график функции распределения

Найти плотность распределения вероятностей и построить ее график. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (0,

1).

9. Функция распределения непрерывной величины Х задана выражением

графики f(х) и F(х); 4) вероятность попадания величины Х на интервал

1; 3 .

11. Дана плотность вероятности случайной величины:

Требуется: 1) найти функцию распределения; 2) построить графики функций f(х) и F(х); 3) вычислить вероятность того, что значение случайной величины будет находиться в интервале (2; 5).

39

ТЕМА 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Вероятностный смысл математического ожидания. Постоянная величина, произведение постоянной на случайную, сумма случайных величин. Отклонение случайной величины от ее центра. Независимые и взаимно независимые случайные величины. Произведение случайных величин. Квадрат случайной величины, целая положительная степень случайной величины. Свойства математического ожидания. Мода и медиана. Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства дисперсии. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах распределения. Коэффициент корреляции и его свойства.

Л и т е р а т у р а

[2], гл.4, § 1, 3, 5, 6; [3], гл.5, 5.5-5.7, гл.10, 10.2; [5], гл.7, § 1-4, гл.8, § 1-5, 7-10, гл.12, § 1; [6], гл.5; [7], гл.8, § 20, гл.9, § 21, 22, гл.10, § 23-25; [8], гл.3, § 2-4, гл.4, § 4, 6; [9], гл.2, § 7-9, гл.3, § 8; [10], гл.4, § 1, 2; [11], гл.29, § 201, 202, 204; [12], гл.3, § 10, 11; [13], гл.20, § 9, 10, 14; [14], § 2; [15], гл.6, § 1-4; [16], гл.2, 2.2.4.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины с конечным числом значений определяется равенством

при этом предполагается, что ряд абсолютно сходится. Для непрерывной случайной величины М(Х) определяется формулой

Интегралы в равенстве (5.3) берутся по соответствующему множеству значений случайной величины, при этом предполагается, что несобственные интегралы сходятся абсолютно.

Пусть С – постоянная величина. Тогда

М(С)=С, М(СХ)=СМ(Х). (5.4)

40

Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных

независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Случайная величина Х-М(Х) называется отклонением случайной величины от ее центра. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Дисперсией (рассеянием) Д(Х) случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее

момент называется начальным. Само математическое ожидание есть начальный момент первого порядка. Если С=М(Х), то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.

Коэффициентом корреляции r(Х, Y) между случайными величинами Х

41

Часто приходится находить закон распределения случайной величины Y=y(Х) при известном законе распределения Х. Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения хi с вероятностями рi, полагают, что Y=y(Х) принимает значения yi=y(xi) с теми же вероятностями рi. При этом, если некоторым хi будут соответствовать равные между собой значения yi, то в ряде распределения случайной величины Y эти yi записываются только один раз с вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей.

Пусть Х и Y – дискретные случайные величины, при этом Х принимает значения хi с вероятностями Р(Х=хi), а Y – значения yj с вероятностями Р(Y=yj). Тогда их сумма Х+Y, разность Х-Y, произведение XY соответственно принимают всевозможные значения хi + yj, хi – yj , хi yj с вероятностями рij, определяемыми формулой

равные значения, то соответствующая вероятность есть сумма вероятностей по этим индексам i, j.

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Урожайность пшеницы в некотором районе определяется

где Х – урожайность в ц/га. Найти математическое ожидание урожайности, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Так как данная случайная величина дискретна, то согласно формуле (5.1) получим:

М(Х) = 27 0,3 + 32 0,5 + 40 0,2 = 32,1.

Таким образом, математическое ожидание урожайности пшеницы в этом районе составило 32,1 ц/га. Дисперсию найдем по формуле (5.9). М(Х) найдено, для нахождения М(Х2) запишем закон распределения Х2:

Задача 2. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: х1 с известной

42

вероятностью р1=0,4 и х2, при этом х1<х2. Известны также математическое ожидание и дисперсия: М(Х)=3,2; Д(Х)=0,96.

Решение. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

Х х1 х2

Р0,4 0,6

Значения х1 и х2 подлежат определению. По определению математического ожидания М(Х) =х1 0,4+х2 0,6, а по условию задачи М(Х)=3,2. Следовательно, 0,4х1+0,6х2=3,2 или 2х1+3х2=16. По условию Д(Х)=0,96. Поэтому, применяя формулу (5.9), получим: х12 0,4+х22 0,6-(3,2)2=0,96 или 2х12+3х22=56. Значения х1 и х2 найдем как решение системы уравнений

второе уравнение, получим после упрощения уравнение 5х22 – 32х2+48=0. Корнями этого квадратного уравнения будут числа х2=4 и х2=2,4. Для х2=4

х1<х2, поэтому остается принять, что х1=2, х2=4. Таким образом, ряд распределения случайной величины Х имеет вид

Составить закон распределения случайной величины Z=Х-Y. Проверить на этом примере свойства математического ожидания и дисперсии разности случайных величин.

Решение. Для составления закона распределения разности случайных величин найдем все возможные значения величины Z=X-Y, для чего от каждого значения величины Х вычтем каждое значение величины Y. Вероятность каждого из полученных значений определяется как произведение вероятностей слагаемых (см. формулу (5.16)). Например,

Р(Z=1-0)=Р(Z=1)=Р(Х=1) Р(Y=0)=0,15 0,1=0,015. В результате получим