Материал: 5525

28

маршрутов необходимо иметь на линиях не менее 70 машин. Определить вероятность нормального функционирования автобусных маршрутов.

Решение. Для нахождения вероятности того, что из имеющихся в наличии в автобусном парке 80 машин на маршруты выйдут не менее 70, воспользуемся формулой (3.6). По условию n=80, р=0,9, q=0,1. Далее, так как m 70, то k=70, r=80. Вычислим аргументы:

Задача 8. Школа принимает в первые классы 200 детей. Определить вероятность того, что число девочек будет по абсолютной величине отличаться от наивероятнейшего их числа не более чем на 10, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

Решение. Условие задачи позволяет применить приближенное равенство (3.7). В нашем случае число независимых испытаний n=200, вероятность наступления события в отдельном испытании р=0,485 (q=1-р=1-0,485=0,515), =10. Подставляя данные задачи в (3.7), получим

По таблице (см. [5], приложение 2) найдем Ф(1,41) 0,4 207. Следовательно, 2Ф(1,41) 0,8 414. Таким образом, с вероятностью 0,8 414 можно ожидать, что число девочек, среди принятых в первые классы 200 детей, будет по абсолютной величине отличаться от наиболее вероятного их числа 97 не более чем на 10 человек.

Задача 9. При установившемся технологическом процессе вероятность изготовления бракованного шарика для шарикоподшипника равна 0,02. Определить вероятность того, что доля бракованных шариков среди 800 изготовленных будет отличаться от вероятности изготовления бракованного шарика не более чем на 0,01 в ту или другую сторону.

Решение. По условию n=800, р=0,02, q=0,98, =0,01. Воспользуемся

По таблице (см. [5], приложение 2) найдем Ф(0,64) 0,2 389. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,4 778.

Задача 10. На керамическом заводе 90% тарелок выпускается продукцией первого сорта. Какое предельное отклонение (по абсолютной величине) доли первосортных тарелок от вероятности изготовления их

29

можно гарантировать с вероятностью 0,9 854 при проверке ОТК завода

таблице (см.[5], приложение 2) значению 0,4 927 функции Ф(х) отвечает аргумент х=2,44. Таким образом, для отыскания получаем уравнение 78,881 =2,44. Отсюда искомое отклонение =0,031.

Задача 11. Всхожесть семян подсолнечника характеризуется вероятностью р=0,85. Сколько семян подсолнечника нужно посеять для контроля всхожести, чтобы с точностью в 1% гарантирвоать, что 96% из них прорастут?

По таблице (см.[5], приложение 2) значению 0,48 функции Ф(х) отвечает аргумент х 2,06. Отсюда 0,028 n 2,06; следовательно, n=5413. Это число определяет объем работы контролирующей лаборатории.

За д а ч и

1.В хлопке содержится 20% коротких волокон. Определить вероятность того, что среди пяти отобранных наудачу волокон окажется три длинных.

2.Письменная экзаменационная работа по математике состоит из пяти задач, причем за решение любой задачи ставится 1 балл. Вероятность решения любой задачи для некоторого абитуриента равна 0,8. Определить вероятность того, что этот абитуриент получит за экзамен не менее 4 баллов.

3.По данным технического контроля в среднем 15% изготовляемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Найти

30

вероятность того, что из 300 изготовленных за смену часов 240 не будут нуждаться в дополнительной регулировке.

4.В стаде, содержащем 2 000 овец, проводятся прививки против заболеваний животных. Какова вероятность того, что при вакцинации заболеют три овцы, если вероятность заболевания каждого животного при вакцинации равна 0,001?

5.Счетчик Гейгера регистрирует частицы, вылетающие из некоторого радиоактивного источника, с вероятностью 0,0 002. Какова вероятность того, что счетчик зарегистрировал 4 частицы, если за время наблюдения из источника вылетело 15 000 частиц?

6.Вероятность того, что консервная банка будет недостаточно герметизирована, равна 0,002. Среди скольких банок, отобранных случайным образом, можно с вероятностью 0,9 512 ожидать отсутствие бракованных?

7.Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,015. Определить вероятность того, что с опечатками окажется не более трех страниц книги, содержащей 620 страниц.

8.Радиолокационная станция за один цикл обзора обнаруживает крылатую ракету с вероятностью 0,25. Сколько потребуется циклов обзора для того, чтобы ракета была обнаружена с вероятностью не меньшей, чем 0,98?

9.На первый курс института поступило 480 человек. Найти наивероятнейшее число студентов первого курса, проживавших до поступления в институт в сельской местности, и соответствующую

вероятность, если численность городского населения составила в этом году 66%.

10.Оптовая база снабжает 24 магазина, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,6 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

11.Опытным путем установлено, что 80% растений рассады помидоров приживаются. Сколько надо посадить кустов помидоров, чтобы наивероятнейшее число неприжившихся было равно 30?

12.Установлено, что в среднем 70% посетителей уходят из магазина с покупками. Чему равна вероятность того, что из 250 посетителей магазина покупки сделают не менее 160 и не более 200 человек?

13.При изготовлении на термопластавтомате цветной облицовочной плитки 80% изделий выходит высшим сортом. Определить вероятность того, что число плиток высшего сорта среди 2 000 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от наиболее вероятного числа их не более чем на 30.

14.Статистическая вероятность наступления несчастного случая в течение года для моряка торгового флота равна 0,0 004. В пароходстве работает

31

5 000 моряков. Определить: 1) наиболее вероятное число несчастных случаев среди моряков этого пароходства и соответствующую вероятность; 2) вероятность того, что число пострадавших в течение года моряков отклонится от наивероятнейшего числа в ту или другую сторону не более чем на 2 человека.

15.Известно, что 60% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов выпускаются первым сортом. Какова вероятность того, что среди 400 проверенных приемщиком аппаратов доля первого сорта будет отличаться от вероятности изготовления аппарата первого сорта по абсолютной величине не более чем на 0,01?

16.На склад поступают детали, проверенные ОТК или изготовленные рабочими, имеющими личное клеймо. Вероятность того, что деталь помечена личным клеймом, равна 0,2. Определить, сколько нужно взять деталей, чтобы с вероятностью, равной 0,9 892, можно было утверждать, что доля деталей с личным клеймом среди них будет отличаться от вероятности изготовления детали рабочим с личным клеймом по абсолютной величине не более чем на 0,02?

17.К распределительному щиту подключено 600 лампочек, вероятность включения каждой из которых за время Т равна 0,8. Найти границу абсолютной величины отклонения частости включенных лампочек от вероятности включения лампочки, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью 0,9 826.

18.Для определения нормы высева требуется определить всхожесть семян с точностью до 2% и надежностью 98%. Сколько семян надо посеять?

32

ТЕМА 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры случайных величин. Закон распределения случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения (полигон). Функция F(х) распределения случайной величины (интегральная функция) и ее свойства. Вид функции F(х) для дискретной случайной величины. Графики функции F(х) для дискретных и непрерывных случайных величин. Плотность вероятности (дифференциальная функция f(х)) и ее свойства. Вероятностный смысл дифференциальной функции. Связь между дифференциальной и интегральной функциями. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный промежуток.

Л и т е р а т у р а

[2], гл. 3, § 1, 2; [3], гл.5, 5.1-5.4; [5], гл.6, § 1-3, гл.10, § 1-3, гл.11, § 1-5; [6], гл.4, § 18,19; [7], гл.7, § 18,19, гл.12, § 29, 30; [8], гл.3, § 1, гл.4, § 1-3; [9], гл.2, § 1, гл.3, § 1-4; [10], гл.3, § 1, 2; [11], гл.29, § 196-198; [12], гл.3, § 9; [13], гл.20, § 7, § 12, 13; [14], § 1; [15], гл.5, § 1-3; [16], гл.2, 2.1, 2.2.1- 2.2.3, 2.6.1.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Рассмотрим событие Х< х, состоящее в том, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение, меньше произвольного числа х. Функция

называется функцией распределения вероятностей случайной величины Х. Она обладает следующими свойствами:

Так, для дискретной случайной величины с конечным множеством значений (i=1, …, n) F(х) имеет следующий вид: