Материал: 5525
58
2. Для нахождения математического ожидания и дисперсии применим формулы (7.3). Получим следующие значения:
М(Х) = |
0 6 |
3 ; |
Д(Х) = |
(6 0)2 |
= 3. |
|
2 |
12 |
|||||
|
|
|
|
3. Если пассажир подойдет к остановке не ранее чем через две минуты после ухода предыдущего троллейбуса, но не позднее чем за минуту до отхода следующего, то он будет ожидать троллейбус не менее минуты и не более четырех минут. По формуле (7.4) определяем вероятность того, что случайная величина Х примет значение в промежутке [1, 4]:
Р (1 Х 4) = |
4 1 |
= |
1 |
. |
|
6 |
2 |
||||
|
|
|
Задача 3. Случайная величина подчинена показательному закону распределения с параметром . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее ее математического ожидания.
Решение. Для показательного распределения, согласно (7.7), М(Х)= 1 .
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале 0, 1 , определяем по формуле (7.8):
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
Р (0 < Х < |
1 |
) = e -e = 1- |
0,6 321. |
|||
|
e |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Функция распределения случайного времени безотказной
t
работы радиоаппаратуры имеет вид: для t<0 F(t)=0 и для t 0 F(t) = 1-е T . Найти: 1) плотность вероятности f(t); 2) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т.
Решение. 1. Для отыскания f(t) можно воспользоваться равенством
f(t)=F (t) или формулами (7.6) и (7.5) с |
= |
1 |
. Тогда |
||||||
T |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(t) = |
|
0 при t |
|
0, |
|||||
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
е T |
при t |
0. |
||||||
|
Т |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Вероятность безотказной работы аппаратуры за время Т вычислим по формуле
Р (t T) = 1- Р (0 |
t < T). |
|
|
||||||
Значение Р (0 t < T) находим по формуле (7.8) |
|
|
|
||||||
1 |
0 |
1 |
T |
|
1 |
|
|||
Р (0 t < T) = e |
T |
e |
T |
1 |
. |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
||
Следовательно, Р (t T) = 1-(1-е -1) = е –1 |
0,367 879. |
||||||||
Задача 5. Найти плотность распределения нормально распределенной случайной величины, если известны ее числовые характеристики: М(Х) = 4, (Х)= 
3 . Построить график этого распределения.
59
Решение. Согласно (7.11)-(7.13) и условию задачи имеем, что а=4, = 
3 . Плотность вероятности нормально распределенной случайной
величины имеет вид (7.9). Подставляя данные значения а и |
|
в (7.9), |
|||||||||||||||||
получим искомую плотность вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( x 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f(х)= |
|
e |
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция f(х) имеет максимум |
|
при х=4, |
равный f(4)= |
|
1 |
|
|
0,23 033. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
6 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Абсциссы точек перегиба: х1= а- |
и х2=а+ . В данном случае |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
х1=4- 3 2,268 и х2=4+ 3 5,732; их ординаты: f(х1)=f(х2)= |
|
|
|
|
|
0,1 397. |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6 e |
|||||||||||||||||||
График функции симметричен относительно прямой х=4, ось абсцисс является асимптотой.
y
1 
6
1
6 e
|
|
|
|
|
4- 3 4 4+ 3 |
x |
|||
Задача 6. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, которая распределена по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 176 см, а дисперсия – 25. Найти плотность распределения
60
вероятностей и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что рост наугад выбранного мужчины будет находиться в пределах от 173 до 180 см.
Решение. По условию задачи а=176, = 
25 =5. Поэтому согласно (7.9) плотность распределения вероятностей данной случайной величины такова:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
( x |
176)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(х) = |
|
|
|
|
|
e |
50 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем функцию распределения по формуле (7.10): |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
(t 176)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(х) = |
|
|
|
|
|
|
e |
50 |
|
|
dt . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Введем подстановку z= |
t |
176 |
, тогда dt=5dz. При t |
|
|
- |
переменная z - , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при t=х переменная z= |
x |
176 |
. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x 176 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 176 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x 176 |
|
||||||||||||||||||
F(х)= |
|
|
|
|
e 2 |
dz |
|
|
e |
|
2 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 dz |
|
Ф |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Здесь учтено, что |
e |
2 dz |
|
e |
2 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(интеграл Пуассона). Вычислим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
по формуле (7.14) вероятность того, что выбранный наугад мужчина будет иметь рост от 173 до 180 см:
Р(173<Х<180)=Ф |
180 176 |
-Ф |
173 176 |
= Ф(0,8) – Ф(-0,6) =Ф(0,8) +Ф(0,6). |
|||
|
5 |
|
|
5 |
|||
|
|
|
|
||||
Из приложения 2 ([5]) находим Ф(0,8) |
0,2 881, Ф(0,6) 0,2 257. |
||||||
Окончательно имеем: Р(173<Х<180) 0,5 138.
Задача 7. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d0=5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр – случайная величина, описываемая нормальным законом распределения со средним значением d0 и средним квадратическим отклонением =0,05. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков будет отбраковываться.
Решение. Пусть Х – случайная величина, выражающая диаметр шарика.
По условию задачи требуется определить |
в процентах |
Р |
|
|
X |
d0 |
|
0,1 . |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
Определим вероятность |
противоположного |
события, т.е. |
Р |
|
|
X |
d0 |
|
0,1 . |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
Применяя формулу (7.15), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
X |
5 |
|
0,1 = 2Ф |
|
|
= 2Ф(2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По таблице (приложение 2 из [5]) находим Ф(2) 0,4 772. Тогда искомая вероятность равна
61
Р 
X 5 0,1
= 1- Р 
X 5 0,1
1- 0,9 544 = 0,0 456.
Таким образом, при данном технологическом процессе около 4,6% шариков будут отбраковываться.
Задача 8. Средний процент выполнения плана определенной группой предприятий составляет 106%, среднее квадратическое отклонение =8%. Полагая, что процент выполнения плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить, в каких границах следует ожидать процент выполнения плана этими предприятиями с вероятностью
0,95. |
|
|
|
|
|
Решение. |
Применим |
формулу (7.15). Согласно условию |
задачи |
||
|
|
|
|
|
|
а=М(Х)=106, |
=8, Р |
X |
106 |
=0,95. Неизвестную величину |
находим |
|
|
|
|
|
|
как решение трансцендентного уравнения
Ф= 0,475.
Спомощью таблицы (приложение 2 из [5]) определяем 
=1,96, откуда
=8 1,96=15,68. Итак, с вероятностью Р=0,95 можно ожидать, что процент выполнения плана данной группой предприятий будет находиться в границах от 90,32% до 121,68%.
За д а ч и
1.Ошибка указания времени часами со скачущей минутной стрелкой имеет равномерное распределение. Определить вероятность того, что при определении времени ошибка не будет превышать 20 секунд.
2.Служащий при поездке на работу тратит от 25 до 35 минут. Любое затраченное время на дорогу в этих пределах равновероятно. Определите теоретический вид случайной величины Х – требуемого служащему на дорогу времени. Запишите плотность и функцию распределения этой случайной величины и постройте их графики. Найдите математическое ожидание и дисперсию Х. Вычислите вероятность того, что дорога на работу займет у служащего от 28 до 32 минут.
3.Автобусы некоторого городского маршрута идут по расписанию с интервалом движения 20 минут. Пассажир подходит к остановке случайно в некоторый момент времени. Случайная величина Х – время ожидания пассажиром автобуса. Требуется определить вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 5 минут.
62
4.Функция распределения времени работы ЭВМ до первой неисправности имеет вид
F(t) = |
0 |
при t T0 , |
||
1 e |
t T0 |
при t T0. |
||
|
||||
|
|
|||
При возникновении неисправности она мгновенно обнаруживается, и ЭВМ поступает в ремонт. Ремонт продолжается время Т0, после чего ЭВМ снова включается в работу. Найти плотность f(t) распределения промежутка времени Т между двумя соседними неисправностями. Найти его математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что Т будет больше 3Т0.
5.Случайная величина распределена по показательному закону с параметром =2. Требуется: 1) записать плотность распределения этой случайной величины; 2) найти вероятность того, что случайная величина примет значение большее ее среднего квадратического отклонения.
6.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(Х) = -2 и 
(Х)=4. Найти плотность распределения случайной
величины Х и построить ее график.
7. Случайная величина Х распределена
плотностью вероятностей f(х)= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 |
2 |
|
||
по нормальному закону с
x 5 2
e 98 . Определить: 1)ее
математическое ожидание и дисперсию; 2) вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение в интервале (-7; 5).
8.Известно, что длина деталей, изготовляемых автоматом, представляет собой величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 30 см и среднее квадратическое отклонение 0,3 см. Найти вероятность того, что длина наугад взятой детали будет заключена между 29,8 и 30,2 см.
9.Известно, что вес вылавливаемых в прудах совхоза сазанов подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием, равным 600 г, и средним квадратическим отклонением 70 г. Определить вероятность того, что вес наудачу взятого сазана будет:
1)не менее 400 г., 2) не более 800 г, 3) заключен в пределах от 500 до
700 г.
10.Распределение продавцов по выработке подчинено закону нормального распределения с математическим ожиданием 110% и средним квадратическим отклонением 5%. Определить вероятность того, что выполнение нормы выработки у наудачу выбранного продавца отклонится от ее математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 8%.
11.Известны следующие характеристики непрерывной случайной величины: М(Х)=170, Д(Х)=25. При этом выполняется равенство