Материал: Уравнения и неравенства с двумя переменными

 + у)² = 0;

х + у = 0;

х = –у.

Подставим найденное значение х во второе уравнение:

–у² = –6;

у² = 6;

у₁ =                    х₁ = – ;

у₂ = –     х₂ =  .

Заметим, что этот способ является более рациональным и интересным.

2-я  г р у п п а.

1. № 451.

Р е ш е н и е

Известно, что прямая у = kx проходит через точку М (1; 2). Найдем значение k:

2 = k · 1       k = 2.

Таким  образом,  нужно  найти  точки  пересечения  графиков  уравнений (х – 4)² + (у – 6)² = 25 и у = 2х. Для этого нужно решить систему:



(х – 4)² + (2х – 6)² = 25;

х² – 8х + 16 + 4х² – 24х + 36 – 25 = 0;

5х² – 32х + 27 = 0;

х₁ = 1           у₁ = 2 · 1 = 2;

х₂ = 5,4        у₂ = 2 · 5,4 = 10,8.

Ответ: (1; 2), (5,4; 10,8).

2. № 450.

Р е ш е н и е

Парабола у = х² + 1 и прямая у = kx имеют только одну общую точку, если система   имеет единственное решение.

Подставим значение у = kx в первое уравнение:

kx = х² + 1;

х² – kx + 1 = 0.

Составленная система будет иметь единственное решение, если это квадратное уравнение имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю.

D = k² – 4;

k² – 4 = 0;

k² = 4;

k = ±2.

О т в е т: k = 2 и k = –2.

3. Решите систему уравнений:



Р е ш е н и е

Сложим  почленно  правые  и  левые  части  уравнений  системы.  Получим:

х² + у² + 2ху + х + у = 12;

(х + у)² + х + у = 12.

С д е л а е м   з а м е н у:  х + у = а  – и решим полученное уравнение:

а² + а – 12 = 0;

а₁ = –4,  а₂ = 3.

В е р н е м с я   к   з а м е н е:

х + у = –4     х = –у – 4;

х + у = 3                   х = 3 – у.

Подставляя поочередно данные выражения во второе уравнение исходной системы, получим:

–у – 4 + у – у (у + 4) = 5; – 4 – у2 – 4у = 5; у2 + 4у + 9 = 0; D1 = 4 – 9 = –5. Нет решений.

3 – у + у + у (3 – у) = 5; 3 + 3у – у2 = 5; у2 – 3у + 2 = 0; у1 = 1,  у2 = 2. Тогда х1 = 3 – 1 = 2,            х2 = 3 – 2 = 1.

О т в е т: (2; 1), (1; 2).IV. Итоги урока.В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:– Что называется решением системы уравнений?– Опишите способ подстановки решения систем уравнений второй степени.– Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.– Любое ли уравнение второй степени можно решить способом подстановки? способом сложения?Домашнее задание: № 443 (б, г), № 446, № 447 (б).Д о п о л н и т е л ь н о: № 438.                     У р о к  46                                                                                Дата:
СУТЬ СПОСОБА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙЦели: рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем  уравнений  второй  степени;  формировать  умение  решать  такие задачи.Ход урокаI. Организационный момент.II. Устная работа.Решите систему уравнений:а)                       б)  III. Объяснение нового материала.Учащиеся уже умеют применять системы линейных уравнений для решения текстовых задач. Поэтому главным при изучении данного материала будет обобщение и систематизация их знаний о решении таких задач, а также закрепление методов решения систем уравнений второй степени.Для демонстрации принципа решения задач с помощью систем уравнений второй степени достаточно привести пример из учебника.IV. Формирование умений и навыков.На этом уроке главное, чтобы учащиеся усвоили схему решения задач с помощью систем уравнений второй степени. Необходимо дать им под запись примерный план, согласно которому можно осуществлять решение таких задач.1. Прочитать условие задачи и понять его.2. Указать объекты, о которых идет речь в задаче.3. Одну из величин обозначить за х, а другую – за у.4. Составить систему уравнений по условию задачи.5. Решить эту систему уравнений.6. Интерпретировать полученные результаты.На первых порах необходимо, чтобы учащиеся вслух комментировали решение задач согласно записанному плану.Упражнения:

1. № 455, № 457.2. № 460.Покажем, как может быть решена эта задача по плану, приведенному выше.Р е ш е н и е1) В условии речь идет о прямоугольном треугольнике. Требуется найти его площадь.2) Известна гипотенуза треугольника и его периметр. Для нахождения площади нужно знать его катеты.3) Обозначим  один  катет  треугольника  через  х  см,  а  другой –  через у см.4) Зная периметр треугольника, составим уравнение:х + у +37 = 84.По теореме Пифагора составим второе уравнение:х² + у² = 37².Получим систему уравнений:5) Решим эту систему уравнений способом подстановки:47² – 94у + у² + у² – 37² = 0;2у² – 94у + (47 – 37) (47 + 37) = 0;2у² – 94у + 10 · 84 = 0;у² – 47у + 420 = 0;у₁ = 35         х₁ = 12;у₂ = 12         х₂ = 35.6) Получаем, что катеты треугольника равны 12 см и 35 см. Найдем его площадь:S =   · 12 · 35 = 210 (см²).О т в е т: 210 см².3. № 463.При решении этой задачи учащимся поможет рисунок, сделанный согласно ее условию.

S = 30 см2 2S1 + 2S2 = 122 см2

Пусть стороны прямоугольника равны х см и у см. Учитывая, что его площадь равна 30 см², получим уравнение: ху = 30.S₁ = х² см², S₂ = у² см².Получим уравнение 2х² + 2у² = 122 или  х² + у² = 61.Составим систему уравнений:Находим ее решения: (–6; –5), (6; 5), (–5; –6), (5; 6).Первое и третье решения не подходят по условию задачи. Значит, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.О т в е т: 5 и 6 см.V. Итоги урока.В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:– Какие  существуют  способы  решения  систем  уравнений  второй степени?– В чем заключается каждый из этих способов?– Опишите  план  решения  текстовой  задачи  с  помощью  системы уравнений.Домашнее задание: № 456, № 458, № 459.   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У р о к  47                                                                                                  Дата:
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

Цели: формировать умение решать задачи на движение с помощью систем уравнений второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь равна 21 см². Пусть х и у – стороны этого прямоугольника. Какая из систем соответствует условию задачи?

а)           б)           в) 

III. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м² обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

В а р и а н т  2

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м² обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.

IV. Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив  р я д   э т а п о в.

1) Анализ условия:

– Какие объекты рассматриваются в задаче?

– Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?

– Значения каких величин известны?

2) Выделение процессов, которые описаны в задаче.

3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.

4) Составление системы уравнений.

5) Решение системы уравнений.

6) Интерпретация и проверка полученного решения.

Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472.

Р е ш е н и е

1) В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.

2) Выделим два процесса:– реальное движение пешеходов;– движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.3) Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода.Заполним две таблицы:

Реальное движение пешеходов					Движение с заданным условием
	S	V	t			S	V	t
1-й	4х км	х км/ч	4 ч		1-й	20 км	х км/ч	ч
2-й	4у км	у км/ч	4 ч		2-й	20 км	у км/ч	ч

4) Известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4х + 4у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение:   = 1.Составим систему уравнений:5) Решим ее способом подстановки:20у – 20 (9 – у) – у (9 – у) = 0;20у – 180 + 20у – 9у + у² = 0;у² + 31у – 180 = 0;у₁ = 5     х₁ = 9 – 5 = 4;у₂ = – 36 (не подходит по смыслу задачи).6) Получаем скорости  пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч.О т в е т: 4 и 5 км/ч.Упражнения:1. № 473, № 547.2. № 461.Р е ш е н и еПусть х км/ч – скорость первого отряда и у км/ч – скорость второго отряда.Заполним таблицу:

	S	V	t
1-й отряд	4х км	х км/ч	4 ч
2-й отряд	4у км	у км/ч	4 ч